高中数学人教A版高中必修5第二章数列-等比数列的定义与通项公式教案

1、2.4.1等比数列的定义与通项公式 内江天立（国际）学校陈山学习目标： 通过实例，理解等比数列和等比中项的概念，深化认识并能运用(重点)2探索并掌握等比数列的通项公式，能运用通项公式解决简单的问题(重点)3体会等比数列的通项公式与指数函数的关系(难点)本节课我们一起学习等比数列的定义与通项公式。类比学习在我们的学习过程中具有重要作用，因此本节内容我们类比等差数列进行学习。首先我们一起回顾等差数列的内容:等差数列的定义文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示 符号语言：an1and(nN*)等

2、差数列的通项公式ana1(n1)d(nN*).等差中项由三个数a，A，b组成的等差数列中，A叫做a与b的等差中项这三个数满足关系式ab2A接下来我们同样从：等比数列的定义，等比中项，等比数列的通项公式入手，研究等比数列。荷兰教育家弗赖登塔尔曾说：数学来源于生活，也必须植根于生活。那么本节课我们就从生活中的两个案例来认识等比数列：一尺之锤日取其半，万世不竭：1, 1/2 ,1/4, 1/8,.,细胞分裂，1,2,4,8,16，.（视频展示细胞分裂过程加深学生印象和提高学生兴趣）请大家观察这两个数列有什么特点：学生回答：从第二项开始每一项与前一项的比为1/2和2。教师点评：某某同学的观察能力很强哦

3、，掌声鼓励。那么接下来根据以上两个案例我们请某某同学来总结等比数列的定义（学生对ppt填空）。对于等比数列的定义用符合语言如何表示？学生一起回答通过预习继续完成等比数列通项公式和等比中项的定义,【探究1】根据等比数列的定义我们探究第一个问题：等比数列各项和公比可以为零？为什么？公比大于零和公比小于零时数列有什么特点？（探究一采用学生自己独立探究2分钟，小组讨论一分钟的方式，最后展台展示学生答案，教师给出点评：这就是团队的力量，掌声送给自己团队的小伙伴）学生回答：不能根据等比数列的定义，公比为每一项与前一项的比，即：eq f(an,an1)q，若q0，则an0，所以数列中每一项都为零，所以an1

4、0，这样比值eq f(an,an1)无意义，所以an和q不等于0.当q大于零时各项符号相同，当q小于零时相邻两项符号相反.【探究2】利用等比数列的定义证明数列为等比数列的关键是什么？（教师引导类比等差数列的证明）学生回答：关键是能够证明eq f(an1,an)(nN*)是一个非零常数【探究3】你能类比推导等差数列通项公式的方式推导等比数列的通项公式？（教师引导学生利用累乘法，学生自主解答，教师利用软件展示3位同学的答案，点评：3位同学书写规范、计算准确，掌声送给他们）学生回答：可以用累乘法当n2时，eq f(an,an1)q，eq f(an1,an2)q，eq f(a2,a1)q，ana1eq

5、 f(a2,a1)eq f(a3,a2)eq f(an1,an2)eq f(an,an1)a1qn1.【探究4】 等比数列通项公式与指数函数的关系 （直接讨论2分钟，学生口头回答，教师点评：某某同学利用通项公式变形后找到了等比数列通项公式与指数函数的关系，请坐下）学生回答：等比数列的通项公式可整理为aneq f(a1,q)qn，而yeq f(a1,q)qx(q1)是一个不为0的常数eq f(a1,q)与指数函数qx的乘积，从图象上看，表示数列eq f(a1,q)qn中的各项的点是函数yeq f(a1,q)qx的图象上的点 类型一等比数列通项公式及应用(重点突破)在等比数列an中，(1)a2a5

6、18，a3a69，an1，求n.(2)因为eq blc(avs4alco1(a2a5a1qa1q418，,a3a6a1q2a1q59 .)由eq f(,)得qeq f(1,2)，从而a132，又an1，所以32eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq sup12(n1)1，即26n20，所以n6.（本题请学生独立思考2分钟，然后请同学起来回答思路，教师点评学生思路清晰。教师展示标准答案，指出本题的解题关键和数学思想）方法规律（小组讨论总结，学生代表发言）学生回答：已知等比数列an的某两项的值，求该数列的其他项或求该数列的通项常用方程思想，通过已知可以得到关于a1和q的两个方程

7、，从而解出a1和q，再求其他项或通项突破练1（2分钟学生完成变式练习，教师给出答案，统计学生正确率）已知等比数列an满足a1a23，a2a36，则a5（ ）A4B8C16D64类型二等比中项及应用(展示学生答案即可)已知等差数列an的公差d0，若a9是a5，a15的等比中项，那么公比为（ ）A.eq f(3,4) B.eq f(2,3) C.eq f(4,3) D.eq f(3,2)依题意aeq oal(2,9)a5a15，即(a18d)2(a14d)(a114d)，a14d.所以公比eq f(a9,a5)eq f(a18d,a14d)eq f(3,2).故选D.类型三等比数列的判定与证明（先让学生总结等比数列的判定方法，请同学起来分享解题思路，教师展示解题格式和步骤。并对本题延伸拓展an1panq(nN*其中p、q为常数）如何由递推公式求通项公式在数列an中，若a11，且an12an3(nN*)证明：数列an3是等比数列，并求其通项公式。教师展示：证明：an12an3，eq f(an13,an3)eq f(2an33,an3)eq f(2（an3）,an3)2.又a11，a130，数列an3是首项为a134，公比为2的等比数列延伸探究：an1panq(nN*其中p、q为常数）如何由递推公式求通项公式教师引导：构造新数列ant,如何求