时域数学模型

1、第二章控制系统的数学模型概述 时域数学模型 复数域数学模型 结构图与信号流图数学模型的实验测定法概述、数学模型的定义、建立数学模型的意义、建立数学模型的方法、建立数学模型的工具、系统数学模型的定义物理量或变量之间关系的数学表达式描述系统称为数学模型。物理模型任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。电子放大器 看成 理想的线性放大环节。通讯看成 质点 。、数学模型的意义定量研究的基础研究系统的基础对系统行为进行控制的基础对系统未来进行

2、的基础、建立数学模型的方法法根据具体系统服从的规律，运用适当的数学工具列出各变量间的关系。实验法在系统通过实验统辨识关系复杂时，为达到某种目的，可以，测量该系统的输入输出，然后运用系段，构建出一个近似的数学模型。实验法:基于系统辨识的建模方法输出（已知）输入（已知）黑匣子已知知识和辨识目的实验设计-选择实验条件模型阶次-适合于应用的适当阶次参数估计-最小二乘法模型验证将实际输出与模型的计算输出进行比较，系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近、建立数学模型的数学工具数学模型时域模型频域模型状态空间模型方框图和信号流图微分方程传递函数拉氏变换传递函数，Z变换传递函数差分方程其他数学工具（如R

3、oughSet，Petri等）时域数学模型一、线性元件的微分方程二、控制系统微分方程的建立三、线性系统的特性四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法）五、非线性微分方程的线性化六、运动的模态（振型）Mode一、线性元件的微分方程例根据RLC 无源网络的微分方程电压定律i(iiRi t 0Ldt1C )(do合并，整理d 2u (t)du (t)RCuo (t) ur (t)LCodt2odtLRUr(t)CU0(t)例2-2求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。k xF解：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量， f为粘性阻尼系数，

4、k为弹性系数。kFmxfx图2图1根据定理，可列出质量块的力平衡方程如下：d 2 x(t)d x(t)fkx(t) F (t)mdtdt这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。在国际制中，m,f和k的分别为：kg, N.s / mfm例2-3电枢控制式直流电电能转换为机械能，也就是由输入if-La的电枢电压U (t)在电枢回路中产生Raa电枢电流ia(t)，再由电流ia(t)与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm(t)，从而拖动负载运动。iaWmUaSMEaJm,fm-因此，直流电的运动方程可由图2-3电枢控制直流电原理图以下三部分组成。电枢回路电压平衡方程电磁转距方程电轴上的转距平衡

5、方程SN负载电枢回路方程dia (t) R i(t) E u (t)Laa aaadt其中Ea 为反电势， Ea Cem (t)Ce称为电电势常数if-电磁转距方程LaRaMm (t) Cmia (t)iaWmUaC 称为电转矩常数SMEaJm,fmm-电轴上的转距平衡方程图2-3电枢控制直流电原理图dm (t) fw (t) M(t) MJ(t)mmmmcdtJm转动惯量（电和负载折合到电轴上的） kgmfm 电和负载折合到电轴上的粘性摩擦系数（Nm/rad/s）Mc折合到电轴上的总负载转矩负载整理得：d 2 (t)d (t)f C C ) (t)L Jm (L f R J) m (Rama

6、mamammemdtdtdMc (t) R M C u (t) L(t)maaacdt在工程应用中，由于电枢电路电感La较小，通常忽略不计，因而上式可简化为dm (t) (t) K u (t) K M (t)Tmm1a2cdt机电时间常数（s）电TmamCmRCaeRaKK1RC2afCaemme如果电枢电阻Ra和电还可进一步简化为Cem (t) ua (t)的转动惯量Jm都很小而忽略不计时，系统最基本的数学模型是它的微分方程式。建立微分方程的步骤如下：确定系统的输入量和输出量将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。消去中

7、间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。需要：相似系统和相似量：注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一样的。 id这是因为：若令(电荷)，则例2-1的结果变为：2dq1LRi2dtt可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。定义具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中 x, f , k分别与, R, 1C 为相似量。qi作用利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。二、线性系统的特性在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模

8、型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。1、线性系统的性质可叠加性均匀性（或奇次性）d 2c(t)dc(t) c(t) f (t)dt2dt(t)，f)(f1a ft若2a c)(t则ftct2、线性系统性质的应用多个外作用产生的响应可通过逐个外作用响应的叠加。零输入和零初始条件响应得到非零响应。系统对输入和干扰分别研究。只有线性时不变微分方程才能运用Laplace变换为代数方程。三、非线性微分方程的线性化在实际工程中，几乎所有的器件、系统都是非线性的，完全线性的几乎没有。（）许多情况下，在一

9、定工作范围，一定精度范围下，可以近似看作是线性。（）严重非线性情况下，在工作点附近，可以局部的线性化。局部线性化切（小偏差法）连续变化的非线性函数：y fx设在平衡状态工作点A(，xo)处y连o续可微,则在该点附近用级数展开1 2fxxxy 2xx(xfo )oo2dxxo!2dxxo增量较小时略去其高次幂项，则有xf) fy yxx(ooodxx19oxf) fy yxx(ooodxxo写出增量线性化微分方程令y y y0 f (x) f则: y K x x0, K (df (x)/dx)x ,0略去增量符号，便得到函数 y f线性化方程：x 在工作点A附近的y Kx显然，上式是线性方程，是

10、非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。20对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开。设双变量非线性方程为：(xx，工作点为x2(x10 x1x20。则可近似为： y K10， x式中：。 y |y 2K,为与工作点有关的常数。1 2 1x12121注意：上述非线性环节不是指典型的非线性特性(如间隙、干摩擦、饱和特性等)，它是可以用实际的工作情况在工作点附近。级数展开的。变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非线性情况及变量变化范围有关。续（例2-7）23 例2-5试把非线性方程z=xy在区域5x7、z z00 ) 11y y0a(x10y

11、12上线性化。求用线性化方程来计算当x=5， y=10时z值所产生的误差。解：由于研究的区域为 5x7、10y12，故选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0y0=611=66.求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表a z y0 x00b z x 60y00因此，线性化方程式为：z-66=11(x-6)+6(y-11)z=11x+6y-66当x=5,y=10时，z的精确值为达式。将非线性方程在点级数， z=xy=510=50 x ,y ,z 处展开成000由线性化方程求得的z值为并忽略其高阶项，则有z=11x+6y=55+60-66=49150因此，误差为50-4

12、9=1，表示成百分数【归纳】非线性微分方程线性化的步骤（）写出动态微分方程；（）在平衡点处，对非线性项采用Taylor展开，并取一阶近似（即线性近似）；（）把一阶近似式带入原微分方程；（）利用平衡方程，获得增量微分方程；（）为记述方便，省去增量符号，获得所谓的在增量情况下的线性化微分方程。线性化微分方程的运用条件（）在获得方程的平衡点附近。如平衡点改变，则增量方程也改变。（输入、输出一定在增量数量级四、线性定常微分方程的求解（拉氏变换法）微分方程的解法直接法（分离变量法）适用于少量简单的情况仅适用于线性时不变情况仅适用于线性时不变情况适用于所有情况Laplace变换状态转移矩阵法数值法法本节用

13、Laplace变换法解线性时不变微分方程例2-6已知L=1H,C=1F,R=1欧姆，且电容上的初始电压U0(0)=0.1V，初始电流i(0)=0.1A，电源电压ur(t)=1V。求电路突然接通电源时，电容电压u0(t)的变化规律。解：【RLC无源网络微分方程】为：d 2u (t)du(t)LC 0 RC0 u dt(t) u (t)0rdt 2令Ur (s) ur (t)U 0(s) u0(t)据Laplace变换的微分性质du0(t) sU (s) u (0)00dtd 2u (t)0 s U (20(0) u0 (0)dt2LRUr(t)CU0(t)其中：u0 (1u0 ) i)()tCt

14、0t0待入整理得： 0.2s s 1ss1U (s) 1因突u (然t)加电1V压( 相当于1输V 入为阶跃函数即),rrs代入整理 2)2 0.8662对上式进行Laplace反变换，得系统的阶跃响应：1 (s 2）11.0u(t L1U)(.08662 (s.0866 o)2)225.05.0.15e5.0t0.2e5.0tsin(0.866t 30 )sin(0.866t120 ) 1u(0 (s)s 2.01.01i22111.0(s 2)1 1)2.08662 )2.08662(5.0(s5.0 .15e5.0 sin( 0.866t120 ) 0.2e5.0 sin( 0.866ttt30 ) 零输入响应 由输入电压产生的输出分量与初始条件无关由初始条件产生的输出分量与输入电压无关零初始条件响应零初始条件响应零输入响应阶跃响应【Laplace法解线性定常微分方程归纳】（1）考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，将微分方程转换为变量s的代数方程；（2）由代数方程求出输出量的拉氏变换表达式，使之成为典型分式之和；（3）