笔记Peter Patterson老师的华德福数学教学笔记分享

1、Peter Patterson老师的华德福数学教学笔记分享感谢 HYPERLINK :/bbs.liyueer /space.php?uid=26856 t _blank 萱萱(璨如)妈妈 妈妈的分享这是我第一次听到关于华德福数学教学的有关内容，Peter老师讲的是那么有趣，那么魅力四射（这是我对许多许多华德福老师的感觉）。我第一次发现我曾经最擅长的数学，那么基础的内容中，还有许多不为我所知的内容。探索的乐趣是无穷的，大家玩的非常高兴和尽兴。我们大家还一起唱歌，还进行了音语舞的活动，大家一起兴高采烈的大喊Hey，Ah Hey。呵呵，太有趣了。现在请大家和我一起进入数学的王国，一起来体验一下这开

2、心和兴奋的旅程吧！水平有限，请参加培训的同学补充和更正，谢谢！第一天： 早上我们首先做了数学晨圈，呵呵。从0-12，数到2的倍数时举右手，数到3的倍数举左手，数到4的倍数时抬右腿，数到6的倍数时抬左腿。也就是0跳起来，1光数数，2抬右手，3抬左手，4右手和右腿，5光数数，6右手左手和左腿，7光数数，8右手和右腿，9左手，10右手，11光数数，12跳起来。呵呵，很有趣呢。做错的不少哦！ 其它的晨圈内容是编花篮和走螺旋，还有数蛤蟆（一只蛤蟆一张嘴，2只眼睛4条腿，扑通扑通跳下水，蛤蟆不识水，太平年。-），就不赘述了。然后，Peter老师开始讲课了。内容如下：Peter老师曾经在7所华德福学校看见过

3、下面的情况，其实，这样的情况是很普遍的。高中的孩子们非常擅长画画；音乐；写作等科目，但是数学却不好。例如在一所学校的10年级，有6个男孩和女孩甚至连2n+5=3这样非常简单的数学都不能做。他（她）们对数学不感兴趣。感到恐惧。Peter不是他们原来的数学老师。在他和孩子们一起学习了一个学期的数学之后，孩子们可以一起合作进行解更加困难的数学题，像2n/3+5=3这样的题。看起来取得了很大的进步。其实没有取得任何进步，因为当Peter让他们独自一人去解这样的题目时，他们还是不愿意，还是感到恐惧。他们说这些字母n是什么，我们以前从来没有见到过。在这些孩子小时候对数学所受到的伤害是如此严重，也许这一生的

4、时间已经没有办法进行改变了。这些孩子的数学学习受到伤害，可能的原因之一是教他们数学的老师自己对数学可能根本就不感兴趣。可能的原因之二是教孩子数学的老师非常擅长数学，开始他（她）对于孩子却没有耐心，觉得孩子们太笨了，连那么简单的题都不会。这个真实的故事说明：如果在孩子小时候，教孩子们数学的老师不改变是不行的。孩子数学受到伤害的根本原因在这里。其实发现数学世界的过程和进行环球旅行一样都是非常有趣的。在二年级的时候，如果让孩子们进行 563288这样的计算来学习数学，那么就犯了一个大错！其实，仔细的想一想，这些和孩子有什么关系吗？答案是没有。孩子们喜欢做的是和我们的数学晨圈一样的活动。会做那样的计算

5、，其实和数学是没有任何关系的。真正的数学是和思考问题相关的。Peter老师曾经见过一所印度的华德福学校六年级的数学老师把整个黑板上写满了类似 563卢布的19.6%是多少？ 这样的问题，而且这些问题中的数字包含的小数点后的部分非常的多，Peter老师自己曾经连续算了3次都没有算对。事实上，这样的计算是在浪费时间。在孩子们上高中之后，孩子们会使用计算器去计算这些问题。应该在课堂上引入一些其它的内容，例如代数。可是现在遇到了数学老师个人的问题，他自己不懂代数！可是，Peter知道他们学校的图书馆有一个老师的数学非常棒，为什么不请她来帮助呢？答案是我不喜欢她！所以，你看数学是关于思考（mind）的科

6、目，可是在实际教授的时候却包含着这么多情绪上的问题。教授数学需要对孩子们负责任。要让孩子们在学习数学的时候充满兴趣。要保证即使数学学习慢的孩子也不会觉得自己很失败。而是感觉自己做的还好。要通过活动和游戏来学习数学，孩子在家里正是通过这种非常自然的方法学习数字的。在一/二年级的时候，可以通过去购物或者摆碗筷来学习数字。而Peter老师自己是在他妈妈做窗帘，或者他爸爸做木工的时候，通过测量用的尺子学会数字的。让孩子们熟悉数字，而不是对数字感觉到恐惧。在孩子们对数字感觉到熟悉之前，应该一直和数字进行游戏。这些简单的重复活动只会使我们大人感到厌倦，而孩子却会乐此不疲。学习数字时要从0开始，第一个数字是

7、0。像下图那样： 9-6-3-0- 2-4-6 -5-10-15从0开始，以0结束。数数字的时候正着数完，倒着数。我们人正着数数，和音语舞中向前的动作一样，都是很自然的事情，有时候即使我们迷迷糊糊不太清醒也可以完成。但是我们向后数数，或者向后做动作，却必须清醒一些，保持意识清醒。同样学习字母表时，也要正着和倒着数。学习乘法表也是如此！（要求很高吧？我们大人自己能做到的也没有几个人啊！）在晚上睡觉的时候，我们可以以倒序的方式回顾一天所发生的事情，因为大脑天生的功能是向前的，向后倒序是可以使我们的精神（spirit）变得强大的。使孩子们在学习数学的时候变得更清醒一些，而不是睡着了，可以做游戏。比如

8、学习2的乘法表时，孩子们围成一个圆圈，数到是2的倍数的孩子不能发出声音。慢慢的数的更快。还可以另一种相反的玩法，不是2的倍数的孩子们保持沉默，是2的倍数的孩子发出声音。慢慢的可以玩更加难的游戏，3的倍数（0-3-6-9）等等。还有一种是6的倍数和包含6的数字的时候，都说饺子，这就更难了。正的顺序数完，还可以倒着顺序数。这些游戏对于成年人可能多次玩会觉得厌倦，但是对孩子来说是完全不同的，孩子们喜欢重复同样的事情和同样的游戏。同样的一个游戏做的越来越快，持续许多天，直到这个游戏对于孩子们来说显得有些太容易了，那么进入更难的游戏。老师在孩子们做游戏时可以看着表，看看我们今天玩的时候有没有比昨天玩的快

9、甚至一秒钟。为了使孩子们更加的清醒，数数字时可以一直接着数，直到100结束这个游戏。也可以从不同的人开始数0，这样也可以使大家保持清醒。还可以孩子们围成两圈走，遇到对面是2的倍数的孩子就拍数。这些活动都是让孩子们以数学的方式进行思考。还有一个关于青蛙和池塘的游戏，玩法如下：6个人围成1圈，面向中心尽可能近的一起坐在地上。其中一个人作为老师，其他的人作为孩子。有10块石头盖在一块布的下面。这块布作为池塘，石头是青蛙。一个孩子作为青蛙妈妈，从池塘中拿出几块石头，比如说2块，让其他的孩子计算池塘中还有几只青蛙宝宝？孩子们不能掀开布来看。大家需要一起讨论有什么方法可以算出剩下的青蛙数目。大家可以发现原

10、来除了自己计算的方法之外，还有别的计算方法。有的孩子会随便说一个数字，有的孩子会说我就是知道正确的数字，有的孩子会数手指等等。游戏的过程中老师什么话也不说，最后把大家总结出来的计算方法全部记录下来。这个游戏的目的：（1） 计算10n=？的减法（2） 更重要的目的在于数学的根（the root of math），通过和孩子一起讨论，而不是仅仅告诉孩子们怎么做。（Dont tell them，ask them）在孩子一开始学习数学，就注意让孩子没有厌烦，没有恐惧。如果老师总是告诉孩子们怎么做，这就是不可避免的。孩子说：107=3，老师问孩子你是怎么得到这个数字的？曾经有一个八年级的小男孩，这是一个

11、不是那么容易使人爱的孩子，也不像其他的孩子那样聪明。上高中的时候，他不喜欢数学，拒绝做数学题。而且老师教他别的科目时也非常困难。考试时，他对所有的数学问题都只写答案，而没有过程。但是他所有的答案都是正确的。老师问他是怎样得到答案的，他说自己是信撒旦的，老师是不会理解自己怎样得到答案的。长大后，这个孩子当了FBI的数学家。这个孩子的数学水平其实比别人的数学水平高多了。给孩子唱的歌的注意事项：（1）每句歌词的最后一个字要有许多的音，这是Steiner的建议。重要的是，在歌曲的最后一个字的时候，歌曲不要立刻停止，而是要拖长一些时间，余音绕梁。（2）音乐的节奏是3拍的，而不是4拍的。想妈妈抱着宝宝慢慢

12、摇一样，从身体的一边到另一边。在1234这样的节奏中，仅仅强调了身体的一边。等孩子长大一些时，再引入。因为这样的节奏会使孩子非常深刻的进入物质世界。 在音乐和诗歌中一定要注意节奏对孩子的影响。（3）在一年级到八年级，在做完晨颂后，和孩子们一起唱歌。同样的晨颂词进行好几年，但是歌曲每个月换一首新的歌。在晨颂和唱歌曲之前，孩子们可以决定邀请朋友或者家人来参加，老师问孩子你想把这光和祝福送给谁？孩子们非常重视这一点。他们会很严肃的送给他们最重视的人。有个孩子的奶奶住院了，这个孩子送光给他的奶奶，希望她早日康复。当孩子长大一些之后，当孩子觉得自己是这个世界的一部分时，思想（mind）的力量会进入这个世

13、界，孩子会学会更加有力量和有责任。50年前的一些古老的华德福的书籍和现在的华德福书籍是非常不同的。在古老的华德福书籍中是探讨如何把课讲的更加有趣，更加适合孩子。而现在的书籍则是希望老师和孩子进行探讨，新的原则是问孩子，而不是仅仅教孩子。（Dont tell them，ask them）这样老师会学到一些非常有趣的想法，学会倾听孩子。 年轻人除了有强烈的信念表达自己的观点之外，还有另外一半，那就是学会真正的倾听。不是为了听完别人的话之后，去抨击别人，而是真正的理解别人所感觉到的。 规则：每次上课的时候，班里只有一个人在说话，不论这个人是老师还是孩子。在新西兰的奥克兰一所华德福学校的一年级，在做晨

14、圈时，都会问问大家在昨天晚上经历的事情中有没有什么想和大家分享的。也许有一个小女孩会说说昨天的经历，如果这时候有两个男孩在那里玩，没有听，老师一定要制止这两个男孩。孩子们要学会倾听每一个人所说的。如果这个女孩说的时间实在是太长了，那么老师可以温和的说，也许我们今天就到这里，明天再说。老师要确保每一个孩子都曾经分享过他（她）的经历。如果老师发现有的孩子一次也没有说过，那么第二天老师需要对这个孩子进行帮助。老师可以在私下温柔的问问孩子为什么从来不分享，也许孩子说觉得没有什么可以说的。那么第二天老师可以站在这个孩子的身旁，问他（她）昨天晚上做梦了吗？做了什么梦？这些简单的问题，让这个孩子简单的回答几

15、句，慢慢的进行引导。 在新西兰的第一所华德福学校中，原来没有高中的班级。这对于14或者15岁的孩子来说，是比较困难的情况，因为他们想和自己班级之外的孩子们教朋友。孩子们说华德福学校不是通常的情况，他们想知道通常的学校是什么样子的。所以他们问Peter老师能否去参观一所不是华德福学校的其他学校，Peter老师说可以，于是他们就去了。孩子们去了之后发现他们不喜欢那样的学校。于是邀请别的学校的孩子去自己的华德福学校，讨论关于教育的话题，要求Peter老师不能在场。等那些别的学校的孩子离开后，Peter老师问孩子们感觉怎样。孩子们说糟透了。因为那些别的学校的孩子根本就不能倾听别人在说些什么。这使得孩子

16、们非常不开心。也许从幼儿园开始，孩子们就应该学习只有一个人在说话，而其他的人在倾听。在学习数学时，要非常小心，注意不要告诉孩子你做不了这些。在孩子进入三年级之后，Peter老师就不再批改孩子的作业了，不画对错了。而是把正确答案放在自己的桌子上，让孩子们自己批改作业。如果孩子发现自己做错了，但是不知道为什么，他可以请教做对的同学，也可以请教Peter为什么会做错。当然最好是去问同学，虽然Peter总是在准备帮助孩子。数学会深深进入一个人的思维结构中。所以孩子们才会对不会学习数学感到如此的敏感。如果一个孩子是写作或者拼写出错，孩子们不会觉得特别糟糕。但是如果是孩子觉得自己学不好数学，那么会对孩子的

17、一生造成伤害，这很危险。会造成这种危害的通常是孩子的母亲，她会说自己小时候也学不会数学，所以我也不期待你可以学会。如果父母不能和老师一样，给孩子的是一种支持的态度，那么老师的工作就会遇到困难。老师在学校里做的所有的好的工作，当孩子回到家时，会被父母所损害。Peter老师举了一个典型的这样的妈妈的例子。在4年级快结束的时候，有一个个子和体重对于她的年纪来说都显得大的女孩子，她的妈妈对Peter说，自己的女儿是艺术天才，而不是数学家。Peter对这个女孩的妈妈说：“我才是孩子的老师，这样的事情由我来决定，而不是你。”这件事情发生在42年之前，那时Peter还年轻气盛。事实上，这个女孩的数学水平和普

18、通人是一样的正常水平，而且在数学学习上取得了很大的进步。可是孩子的妈妈是一个问题。Peter在对女孩进行家访时和她的妈妈说如果她能帮助孩子一下的话，那么这个女孩的数学还可以取得进步。可是女孩的妈妈说自己没有时间，她在忙着取得一所大学的数学学位！所以可以看到在数学学习中孩子和妈妈之间的心理影响是非常重要的，有时候是孩子和父亲之间的心理影响。每过半个月老师要和父母一起做孩子在这两周之间学习的内容，否则老师会在工作中遇到困难。父母们也需要华德福。Peter老师有了2个孩子之后，在教三年级的一个班的数学时，因为没有那么多时间和精力去和父母见面，所以后来他发现父母对他的支持没有以前那么多了。过了一段时间

19、之后，他去一个非常聪明，在华德福学校取得了巨大成绩的男孩的家进行家访。这个男孩非常适合华德福学校，学习非常棒，Peter觉得男孩的父母会很高兴。可是男孩的父母和Peter说他们要给孩子转学了。为什么呢？男孩的父母说他们知道孩子学习的非常好，可是他们说华德福学校的老师们心里有一种温暖的火光吸引他们靠近，可是等他们靠近了，他们发现没有得到温暖，而是更加寒冷了。这是一个令人悲哀的故事。后来Peter老师再也没有见过这个男孩子。这个例子说明老师要多和家长进行沟通，父母也需要华德福。华德福学校也是为父母们开的，否则老师的工作会遇到大困难。下午我们做了音语舞：第一个： Sun Says I Glow 太阳

20、说我发光 Wind Says I Blow 风说我吹 Stream Says I Flow小溪说我流动 Tree Says I Grow 树说我生长 And We Say I Know我们说我知道第二个： Substance of Earth 大地的实质 Essence of Light 光的本质 Praise of Heaven 宇宙的？ In Us Unite 在我们的身体里进行连接想像头顶有从星星传来的光，像一根丝线一样进入我们的身体。我们的身体中充满了光，然后透过我们的双脚进入大地的中心，然后这些光和能量再从大地的中心反射回来，进入宇宙。做完音语舞之后要保持安静一会儿，感觉到那些能量进

21、入到我们自己想让他们去的地方，成为我们身体的一部分。直到自己觉得可以了，再进行别的活动。 音语舞的作用非常好。曾经有一个新西兰的女孩子，她是华德福学校的学生，她想做一个计算机的编程人员，她想接受最后的培训，所以她申请一所位于澳大利亚的学校。她的入学测验是这所学校自从创办以来最好的。后来对这个女孩进行了一次广播访谈，问她为什么取得这么好的成绩，她说是因为音语舞，她从幼儿园一直到12年级都在学习音语舞。音语舞带给她的思维方式是3维的，而一般的人的思维是2维的。华德福学校的艺术活动是支持智力活动的。许多人认为华德福学校是一所艺术性的学校，这是一种错误的认识。在华德福学校中，各种活动是彼此相互支持的，

22、帮助彼此一起发展。音语舞的学习和数学的学习是一样的，如果方法不对，也会让孩子憎恨这项活动。曾经有一个女孩，她不喜欢音语舞，每次上课她都会带给老师很多的麻烦。可是当她毕业后，她参加了音语舞的培训，最后在美国成为了一位音语舞老师。呵呵，很有趣吧。所以我们看待孩子喜欢或者讨厌一件事，不能从表面来看，因为爱和恨都是一种很强烈的情绪，差距是非常小的。爱的反面其实是漠不关心。如果一个3或者4年级的男孩说我不喜欢女孩，那么这个男孩在15岁左右一定会有很多的女朋友。这是许多男孩的反应，虽然他们感觉受到了深深的吸引，但是无法进入和谐的状态。第三个：走螺旋One misty moisty morning 一个雾蒙

23、蒙潮湿的早上When cloudy was the weather 天气多云I chanced met an old man 我偶然遇到一个老人Clothed all in leather 全身穿着皮衣with a cap beneath his chin 下巴上系着帽子He Began to compliment 他开始赞美And I Began to grin 我开始笑Good day to you 日安Good day to you 日安Good day to you again 再次日安音语舞能够帮助孩子在整体能量上保持健康，可以帮助孩子们调整内在能量。在朗读诗歌的时候边读边走，总是有

24、2-3个孩子走路的时候不押韵。通常是男孩子，行为恶劣，扰乱课堂。为什么呢？因为这个男孩子的能量无法带到他的双脚上，能量只是停留在他的身体的上半部分。上下两种能量在身体里没有连接，不和谐。要改善这一点，可以让这几个男孩子去踢球。曾经有一次Peter在一个班级上发现了一个这样的男孩子，可是在他和那个班的主班老师说的时候，主班老师说他没有注意到这一点。老师必须注意观察，发现孩子所有的情况，才能帮助孩子进入和谐的状态。下一次老师可以站在这个孩子的旁边，和他一起做，让孩子的意识保持清醒，来帮助他。如果这样还不行，也可以在午饭时间和孩子一起进行5-10分钟的练习。但是不要当着其他孩子的面这样做。可以对这个

25、孩子说我发现你需要帮助，我想花一些时间来帮助你。帮助孩子克服这个障碍，使孩子取得进步。这样整个班级可以获得新的能量，一起进步。可以通过观察孩子的运动（胳膊的/腿的/身体姿势），来发现孩子的障碍究竟在何处。可以和孩子一起画线画。也许孩子的障碍在于孩子自己的身体本身，也许孩子的障碍在于他和父母的关系。我们必须尽力找到答案。我们这样做不仅仅是为了更好的教孩子，而且是为了帮助孩子解决他的问题。没有孩子是愚蠢的，只是有些孩子的身体或者一部分身体（有机体）是在沉睡的。我们人都有自我（ego）。自我是必须的，只有有自我，我们才能聚精会神的尽力专注于一件事，没有自我，人就会总是在梦幻状态。现在很多成人和孩子对

26、大自然的声音都是聋的。他们无法听到鸟的叫声，也无法听到风吹树叶的声音。有的人在身上喷非常多的香水，其实他们是不想闻到其他的味道。养育孩子的感官是非常重要的。Peter老师讲了一个关于成立华德福学校的有趣的故事。1973年，在英格兰西部的布里斯托有3个家长和1个老师想办一所华德福学校，希望Peter老师给一些建议。他们4个人和一些其他关心华德福的家长们已经准备了33年了，他们每2个星期聚会一次，可是学校还是没有办起来。Peter老师问他们这些年都在做什么？他们说读Steiner的书，然后做冥想。所以Peter老师的建议是：（1）开始做，不要仅仅是冥想，不然33年学校也建不起来。只有开始做了，别的

27、人才可以来帮助这所学校。不然，别人无法提供帮助。（2）开始建立学校时，需要把管理学校的方式确定好，不然以后调整会有困难。这是Peter老师的切身体会。Peter等几个老师一开始建立一所华德福学校时，有许多的家长进行帮助，为他们提供经济援助。这些家长承诺去和老师们一起开会，问老师们需要什么帮助，然后提供帮助。但是家长并不会在学校常驻。在2年之后，当学校有更多的老师加入时，问题出现了。这些家长说这所华德福学校是家长的学校，这所学校办成什么样子要由家长来决定。但是这些家长关于华德福学校的愿景和老师们是不一样的，所以老师们不同意这一点。经过了非常艰难的商讨过程，最终决定学校的管理只能由老师们来决定，而

28、家长们有的只有建议权。对于老师们的决定，家长们像镜子一样反射老师们的观点，让老师们发现他们的观点会有什么问题。对学校的管理必须由每天在学校常驻的人进行，因为他们对学校的运行最了解，而不应该由那些仅仅是参加会议的家长来决定。在华德福学校刚建成的5年或者6年时间之内，这是一段非常幸福的时光，学校很小，所有的老师和家长就像朋友一样。但是学校变大之后，管理工作会变得非常多。开会时间会越来越长，因为每一个人都想在会议上说几句话。在1982年，Peter老师他们开会，从下午4点到7点，持续3小时。慢慢的随着老师人数的增加，从下午4点到8点，然后到9点/10点/11点/12点/1点，会议越来越长，但是并不能

29、做出很好的决定，因为大家都太疲劳了。为了解决这个问题，最后分成了2种会议，教师会议和管理会议。教师会议上只讨论和教学相关的事情。在学校变大之后，还有一个问题是家长们觉得被推到了旁边，被忽视了，觉得学校和老师变得不那么友善了。其实不是的，只是老师们实在太忙了。关于学校的管理问题，每一所学校都应该找到它自己的解决方法。现在Peter老师他们的做法是成立一个小型的教师组，这个教师组不做任何决定，他们只负责倾听老师和父母们的决定。还有许多别的小组，仅仅关心某一方面的事情，会对这些事情做决定，写出书面的决定报告。比如是财务，或者是关于学校建筑，或者关于筹款，或者关于节日庆祝等等。如果这些小组所做的决定和

30、其他小组所做的决定有冲突，那么由那个负责倾听的小型教师组，通知他们进行调整，因为这个小型教师组对学校的整体把握最好，是学校的耳朵和心脏。现在这样做，对一所大学校来说，运作的很好。对于一开始建立华德福学校大家意见不能统一，大家都是为了这所学校好，但是谁也没有办法说服谁的问题，Peter说大家需要学习一起工作，需要学习相互妥协。但是不要采用选举的方法，因为选举是权力的一种体现。大家需要真正的理解别人的意见，需要学会倾听。不表达自己的意见，也是一种自律。有时候你会发现别人会以一种比你自己更加温和和更加有效的方式表达了你的意见。如果有人总是说个没完，会议的主席可以以一种清晰/有礼貌/强烈的方式说：请给

31、其他人一些时间。每个人只能发表一次意见等等。第二天：一开始Peter老师让大家关于昨天所讲的内容进行提问。问题和答案如下：（1）关于学校管理的问题一所学校，老师是雇佣的，当老师走进教室时的心情和一所老师自主进行管理的学校，老师走进教室的心情是决然不同的。（2）关于蒙特梭利教具对数学教育的看法？蒙特梭利教育和华德福教育相比，蒙特梭利教育缺少那种培养孩子梦幻般的想象力的活动。而这些培养孩子想象力的活动是华德福教育的基础。华德福教育一直到六年级才从故事和颜色等培养想象力的活动，转变为智力教育的活动。华德福教育也在慢慢的进化为不要仅仅教孩子，而是问孩子，和孩子讨论。（Dont tell them，as

32、k them。）（3）关于孩子有机体部分和全部沉睡的问题？ 其实我们每个人都有这样的体会。例如当我们刚迷迷糊糊睡醒，还没有完全清醒时，有时候会撞到东西，有时候会绊到别人的脚摔倒。其实我们每一个人在和别人比时，都有某些方面在沉睡。比如问路时，手指左边，嘴里说右转。在一个人出生前，精神是怎么进入人的身体的呢？在Audrey McAllen 写的The Extra Lesson这本书中说，是以螺旋的方式进入身体的。这本书是关于一些行为和学习有问题的孩子的。写于1960年。Audrey McAllen在1950年于一所英格兰的华德福学校教7年级的孩子，她得了很严重的癌症，医生说她活不了多久了，让她去瑞

33、士疗养等待死亡。但是她不愿意，她通过冥想身体里都是光，把癌细胞一点点的排出体外，最终康复了。而且90多岁了，依旧健在。在她康复后，她多了一种能力，她看到一个有问题的孩子，她可以正确的知道是什么方面的问题。后来她写了这本书。1965年Audrey McAllen作为督导第一次到Peter老师所教的班级，事先没有任何人和Audrey McAllen介绍这个班级的孩子们的情况。事实上，Peter老师这个班上有一个男孩子非常让人头疼，他甚至曾经给别人的房子放火。这个班总共有30个男孩和女孩。Audrey McAllen发现了这个非常让人头疼的男孩子，她走过去问他是否可以帮助自己关上窗户，这个男孩子拒绝

34、了她。她说那好吧。下课后，Audrey McAllen和Peter老师说那个男孩子身体里完全没有糖，她说Peter老师应该和男孩的妈妈打 问问情况。打 之后情况清楚了，原来男孩的妈妈不让男孩子吃任何糖，那个男孩子每次到买东西的小店时会不由自主的偷糖。解决的办法就是在学校和家里给男孩子提供高品质的/天然的黄矿糖，还有小勺子，当他想吃的时候，就吃一勺。男孩子后来的情况是慢慢好转的，刚才说的放火就是在吃了糖之后，还发生过的。这个男孩子后来是一个非常有天分的艺术家，而且喜欢用哲学思想思考生活。糖是和快乐相联系的。如果没有糖，一个人会变得很严肃。不吃糖的人，虽然会是好的父母，但是却不会是一个快乐的人，找

35、到光和快乐和爱对于他们是很困难的。对于一个梦幻的孩子，如果他是多血质，多动的，那么可以控制他吃糖。如果孩子的行动缓慢，就不可以控制孩子吃糖。对于7年级或者8年级的女孩子来说，如果没有糖吃，那女孩子会非常易怒和抑郁。以螺旋的方式进入身体或者说是入室为人的螺旋是什么意思呢？在一本德国的华德福杂志曾经发表过这样一边文章。文章说二十世纪60年代/70年代的孩子和现在的孩子已经完全不同了。在二十世纪60年代/70年代的一家德国的华德福学校，在一节3年级的课上，老师问孩子们：你们谁记得你们出生之前的事情？孩子们说：这是什么问题啊？我们那个时候还不存在呢，哪里记得什么事情。而现在，确切的时间发生在2003年

36、，在3年级的课堂上问这个问题时，有一个男孩子说，他到这个世界是坐着滑梯滑下来的。另外一个孩子说：不对，不是那种直的滑梯，是螺旋型的。这个时候所有的孩子都开始了讨论，他们都还记得一些事情。所以一些很久以前的华德福书籍所讨论的孩子和现在的孩子是不同的。例如：（1）在很久以前的华德福书籍中，一年级的孩子不能倒着数数，因为这会让孩子太清醒。而现在在一年级完全可以倒着数数。（2）在六年级之前，不要教孩子代数。这也是一个巨大的错误。事实上从一年级开始就可以讲代数了。在一年级和二年级时，在黑板上写14=9+ ,其实这就是代数。14=9+n和前面那个式子相比，在思考上没有进行任何改变，改变的仅仅是语言。如果在

37、六年级教代数时，才开始教14=9+n，那么语言和思考需要同时进行改变，许多孩子就会觉得困难和恐惧。对于数学来说，在学会用数学思考之前要先学会数学的语言。如果在六年级时才介绍2n是2*n，那么许多孩子都会觉得困难，无法吸收。但是如果在六年级之前，就已经介绍了2n这种数学语言，孩子们会很高兴学习到这种数学语言。（3）在六年级或者7年级之前不要引入负数。这也是不对的。Peter老师曾经在一个五年级问34=？，孩子们做不出来。事实上，在一年级就可以引入负数的概念，比如有一排学生。中间的那个孩子是0，右边的是1/2/3/4/5，左边的是-1/-2/-3/-4/-5，然后给一个球给那个是3的孩子，问她减4

38、是多少，孩子会一个一个往前数，计算出为-1。在北京，冬天的晚上有零下几度，孩子们早都知道负数了。在二年级的时候，可以和孩子们玩借钱的游戏，我自己没有钱，和孩子借50元钱，花完了。现在我有多少钱呢？不是0元，是-50元。孩子们很容易理解这一点。这是实际发生的情况，这是一种数学语言。但是我们在二年级的时候，不能做（-3）（-2）=？这样的题目，这是用数学进行思考。（4）华德福大纲上说要先整体，后部分来学习数学。所以有的老师认为应该写成15=35，如果写成35=15这就是错的。这也是一大误解。先整体，后部分指的是先用律动的方法学会乘法表的模式（pattern），然后才去背乘法表。如下所示，先学会：0

39、 3 6 9 12 15 18 21 然后在孩子熟悉这一系列数字之后，才开始背13得3，23得6，等乘法口诀表。也就是说首先作为一个整体，孩子要先学会0/3/6/9/12。在这个之后，还有一个更大的整体。我们为什么现在都采用10进制呢？有人说因为我们有10个手指头。不对！在古印度，人们用手指数数，一直数到12，因为人们用除大拇指之外的其他四根手指的关节来计数，所以是12，即一打。0这个数字来源于古印度。所以10进制不是因为我们人有10个手指头。还有音语舞的词也很好，配上动作：The sun says I glowThe wind says I blowThe stream says I flo

40、wThe tree says I growAnd we say I knowSubstance of earthEssence of the lightGrace from heavenIn us they unite在以12为基的时候，3的倍数会产生4，如下图： HYPERLINK :/bbs.liyueer /attachment.php?aid=98332&k=93cd6f03045d64d837d4c660700b861d&t=1260880917¬humb=yes&sid=e6c7ciyWFLyy9uikYbuI46DSE6VzOK6zrb0%2FZNlK32Yviyw o 1

41、2的3的倍数产生4.jpg t _blank 下载 (8.15 KB)昨天12:18在以12为基的时候，4的倍数会产生3，如下图： HYPERLINK :/bbs.liyueer /attachment.php?aid=98333&k=45ce2818bca9684d63c74a5c6204bafc&t=1260880917¬humb=yes&sid=e6c7ciyWFLyy9uikYbuI46DSE6VzOK6zrb0%2FZNlK32Yviyw o 12的4的倍数产生3.jpg t _blank 下载 (6.6 KB)昨天12:18在以12为基的时候，5的倍数会把所有的数字都包含进去

42、（注：数到10之后，11，0=12，1=13，2=14，3=15，所以10和3连接起来。以下类推。），如下图： HYPERLINK :/bbs.liyueer /attachment.php?aid=98334&k=327a29e11bc3be2e6dc31f92c817818a&t=1260880917¬humb=yes&sid=e6c7ciyWFLyy9uikYbuI46DSE6VzOK6zrb0%2FZNlK32Yviyw o 12的5的倍数所有数字全部包括进来.jpg t _blank 下载 (13.46 KB)昨天12:18这种图形只是在以12为基的情况下才发生。在以10为基的

43、情况下，图形就完全不同了。在以10为基的时候，7的倍数会把所有的数字都包含进去。如下图所示： HYPERLINK :/bbs.liyueer /attachment.php?aid=98335&k=c350e9b8360fd82ef2e811dafbc2cede&t=1260880917¬humb=yes&sid=e6c7ciyWFLyy9uikYbuI46DSE6VzOK6zrb0%2FZNlK32Yviyw o 10的7的倍数.jpg t _blank 下载 (10.86 KB)昨天12:18在以10为基的时候，11的倍数也会把所有的数字都包含进去。如下图所示： 可以让孩子们拿着绳子

44、来形成各种图形，然后让孩子们把他们的发现画下来。要画的大大的图形。有许多智力开发很多的孩子，他们画的图形会比较小，不能画的大大的。曾经有一个六年级的男孩子，从写一所非常智力开发的学校转到华德福学校，这个孩子的智力非常好，是他原来学校该年级的第一名。有一个大头，身体非常瘦弱，在绘画课上，画的画非常小。Peter老师让他练习大提琴，后来在Peter老师的乐队中弹奏电贝斯。这个男孩子转到华德福学校之后，他们班的学生，非常喜欢国际象棋，他们喜欢和华德福学校以外的孩子一起下棋，孩子们总是输，可是孩子们并不在意。因为他们其实是想交朋友。而且在华德福学校教的国际象棋，是全班一起学的，而别的学校那些孩子是作为

45、特长专门单独学习的。这个新转来的男孩子下国际象棋一直赢他们班别的孩子，一直到这个班里有一个非常梦幻的女孩子，尽管这个女孩子需要进行螺旋练习，可是这个女孩子赢了这个男孩子。这个男孩子现在终于开心了，因为他可以做一个普通的学生了，不用总是担负着第一名的重担了。从一年级开始，就可以做这种数数形成图形的游戏，可以正着数，也可以倒着数。只要这些活动让孩子们觉得很有趣就行。一年级还可以接着做0 4 8 12 16，0 5 10 15 20，等等。在二年级，可以更加困难做0 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225等等平方数序列，这些数字很特殊，像是人的

46、脊椎一样，把其他的数字联系起来。为什么叫平方数呢？为什么44=16呢？通过下面的图，孩子们可以知道为什么会这样。 HYPERLINK :/bbs.liyueer /attachment.php?aid=98343&k=9c81695f970252e541de350567c4f8b4&t=1260880917¬humb=yes&sid=e6c7ciyWFLyy9uikYbuI46DSE6VzOK6zrb0%2FZNlK32Yviyw o 44表格1.jpg t _blank 下载 (4.41 KB)昨天12:33在孩子熟悉平方数序列之后，可以写成4的平方，即 HYPERLINK :/bbs

47、.liyueer /attachment.php?aid=98342&k=132b8c84413fc07c7bdabde7f97baab2&t=1260880917¬humb=yes&sid=e6c7ciyWFLyy9uikYbuI46DSE6VzOK6zrb0%2FZNlK32Yviyw o 4的平方.jpg t _blank 下载 (1.21 KB)昨天12:33=16。这样写也仅仅是数学语言。在熟悉之后，可以写成 =4。这些不必非得等到六年级才做。孩子们喜欢数学语言，就像他们喜欢拼图游戏一样。以10为基，3和7的乘法表。顺着右边的箭头是3的乘法表，顺着左边的箭头是7的乘法表。如下图

48、所示： HYPERLINK :/bbs.liyueer /attachment.php?aid=98345&k=d159287f8e99fece62111eab413cea60&t=1260880917¬humb=yes&sid=e6c7ciyWFLyy9uikYbuI46DSE6VzOK6zrb0%2FZNlK32Yviyw o 10基3和7的乘法表.jpg t _blank 下载 (10.88 KB)昨天12:40以10为基，2和8的乘法表。顺着右边的箭头是2的乘法表，顺着左边的箭头是8的乘法表。如下图所示： HYPERLINK :/bbs.liyueer /attachment.p

49、hp?aid=98344&k=2ed51809b433753d881ed8469690fe7b&t=1260880917¬humb=yes&sid=e6c7ciyWFLyy9uikYbuI46DSE6VzOK6zrb0%2FZNlK32Yviyw o 10基2和8的乘法表.jpg t _blank 下载 (7.26 KB)昨天12:40以10为基，4和6的乘法表。顺着右边的箭头是4的乘法表，顺着左边的箭头是6的乘法表。如下图所示： HYPERLINK :/bbs.liyueer /attachment.php?aid=98346&k=289b0f0b019fa4084b86b4802b6

50、ac728&t=1260880917¬humb=yes&sid=e6c7ciyWFLyy9uikYbuI46DSE6VzOK6zrb0%2FZNlK32Yviyw o 10基4和6的乘法表.jpg t _blank 下载 (9.02 KB)昨天12:40在四年级，可以画平方数，这个图形是不闭合的。以10为基的，平方数乘法表，也是六次方，十次方乘法表。如下图所示： HYPERLINK :/bbs.liyueer /attachment.php?aid=98349&k=ed7d6e47757f90845f855074fd0e8fc5&t=1260880917¬humb=yes&sid=

51、e6c7ciyWFLyy9uikYbuI46DSE6VzOK6zrb0%2FZNlK32Yviyw o 10基的平方数乘法表.jpg t _blank 下载 (7.91 KB)昨天12:40以10为基的，立方数乘法表，也是七次方，十一次方乘法表。如下图所示： HYPERLINK :/bbs.liyueer /attachment.php?aid=98350&k=41063a0f9d24506b09ff04c28a4c40fb&t=1260880917¬humb=yes&sid=e6c7ciyWFLyy9uikYbuI46DSE6VzOK6zrb0%2FZNlK32Yviyw o 10基的

52、立方乘法表.jpg t _blank 下载 (9.47 KB)昨天12:40以10为基的，四次方数乘法表，也是八次方，十二次方乘法表。如下图所示： HYPERLINK :/bbs.liyueer /attachment.php?aid=98348&k=aad54441ae4eeb4cd7d8859eb4526081&t=1260880917¬humb=yes&sid=e6c7ciyWFLyy9uikYbuI46DSE6VzOK6zrb0%2FZNlK32Yviyw o 10基的四次方乘法表.jpg t _blank 下载 (7.24 KB)昨天12:40以10为基的，五次方数乘法表，也是

53、九次方，十三次方乘法表。如下图所示：关于家庭作业，Steiner反对孩子做家庭作业，除非孩子是自愿的。因为放学后，孩子需要的是家庭生活，而不再是学校的生活。但是华德福学校的老师们不同意不留家庭作业，尽管他们非常尊敬Steiner。曾经有一个女老师，她别的方面都非常棒，但是拼写不好，有一些老师说这个老师教完四年级，应该重新去教一年级，而不应该再往上教了。可是Peter老师认为她可以接着往上教，因为孩子们会很高兴发现老师犯的拼写错误，总是盯着黑板，看她是不是又拼错了。所以这个老师一直教到八年级，而她教的这个班的孩子拼写是全年级最好的。呵呵！可以用扑克牌来玩数学游戏。把带花色的牌去掉（J/Q/K/大

54、小王），然后几个孩子一组一起玩，其中一个作为老师一次发2张牌，其他的孩子计算这两张牌加起来是多少，说的最快的孩子得到这两张牌，以做老师的那个孩子说的谁快为准。最后得到牌最多的孩子下次做老师发牌。孩子们非常喜欢玩这个游戏，最后会非常吵闹。我们也玩了，大家笑的嗓子都有些哑了。但是要和孩子们约定好，当小铃铛一响起来，大家都必须保持安静，这样才可以。在玩扑克游戏的时候，孩子们不能自己分组，老师要进行分组，把算的快的孩子分成一组，算得慢的孩子分成一组。以玩游戏的方式来学习数学，孩子们（包括16岁的孩子）的数学成绩会增长50%，上数学课的缺勤率会降低20%，IQ测试也会增加21分。这样学习数学的方式，是伴

55、随着笑声和快乐的学习方式。 曾经有一个14岁的女孩，她会计算4，但是 4 就会计算错。这个女孩还有一项能力 +7 7 11 +3 10，如果你告诉她你的生日是几月几号，那么她会完全正确的告诉你，你明年的生日是星期几。这和这个女孩的思考能力无关。上面那种书写方式是学习数学最终应该达到的结果，而不是学习数学的过程。音语舞： （1） You and Me 你和我Me and You 我和你You and Me are We 你和我是我们（2） Beat on the buckskin， 敲鹿皮鼓Beat on the drum 敲鼓Hi Hi Hi! For the thunderbird come

56、s 嗨！嗨！嗨！雷鸟来了His eyes are red with the blood of battle 他的眼睛是红色的，充满战争带来的鲜血His wild wings roar in the medicine rattle 他的翅膀扇动着发出啪啪的声音 Thunderbird God 雷鸟神 While our spirits dance 我们的精神在跳舞 Tip with your lightening the warriors lacer？ Hey ya Hey！ 嘿啊嘿！Hey ya Hey！ 嘿啊嘿！ 这是一首美国土著人在打仗之前吟诵的一首歌颂战神的诗，是祈祷用的。我们可以一边朗

57、诵这首诗，一边玩游戏。大家围成一个圈，左手拿球，然后传到右手，然后传到自己右边的人的左手。到朗诵到Thunderbird God时，球从左手传到自己的右手，然后传回自己的左手，然后传给自己左边的人的右手。在朗诵到Hey ya Hey！时，大家向圆心走，再走出来。 这个游戏玩的空间大时，大家都是互相扔球的，自己只要注意看传球给自己的人，而不必管扔出去的球，那是下一个接球的人的责任。我们不停的听到球砰砰落地的声音，最后大家一起喊Hey ya hey 时，那叫一个高兴，呵呵！用球玩这个游戏，是因为我们没有铜棒。在华德福学校，Peter老师和孩子们一起玩这个游戏时，用的是铜棒。因为铜棒有一种温暖的感觉

58、。大家想一想互相扔铜棒，哇！当孩子们练习的很好了之后，可以去给别的班级表演。而且一所印度的华德福学校的孩子们最喜欢这个音语舞了，因为可以大喊Hey ya Hey！而别的时候，经常要求孩子保持安静。在Peter老师他们参加一个会议时，还有一个调皮的男孩子跑进来大喊了一声Hey ya Hey！，然后就逃走了，呵呵！在地上画个螺旋，螺旋线条之间的间距和肩膀差不多宽。螺旋画好了之后，在玩游戏的时候只能顺着螺旋走进或者走出，而不能在螺旋上迈过来迈过去，也不能踩到螺旋。这一点非常重要！螺旋的样子如下图所示：玩这个游戏所需要的需要新鞋的顾客和制鞋匠之间的对话：顾客：Good day，you cobbler，

59、wise and old，you are good at making shoes，Im told制鞋匠：So come right in and step this way，but dont forget you will have to pay顾客：my feet now measure for their size， and then your price I beg advise制鞋匠：Ill draw around your feet. Thats it. Youll soon have shoes. A perfect fit.顾客：One thing more I ask of

60、you. A pair of laces，bright and new制鞋匠：I have these here and many more， I keep them hidden in this drawer即：顾客：日安，聪明的老鞋匠，我听说你很会做鞋子制鞋匠：来吧，这边走。但是别忘了付钱顾客：量量我脚的尺寸吧，然后告诉我价钱制鞋匠：我把你的脚画下来。好了。你很快就会有一双非常合脚的鞋了。顾客：还有一件事，我需要漂亮的新鞋带。制鞋匠：这儿有一些。还有很多别的样子的，我把他们放到这个抽屉里了。 玩这个游戏时，鞋匠站在螺旋的中心，顾客拿着个小铃铛站在螺旋最外面的起点处，并且摇铃铛。鞋匠听到铃铛