等积法求体积点到面距离教师版

1、等积法求体积点到面距离教师版等积法求体积点到面距离教师版等积法求体积点到面距离教师版等法求三棱的体【教版】2014/10/14由于三棱锥是由4个三角形围成的周围体，任何一个三角形都能够看作其底面。但在求体积时需要选择合适的底和高，这就需要灵便换底面，但是三棱锥的体积保持不变。这种方法我们称为“等积法”，它是三棱锥求体积的巧妙方法，也是其“专属产品”。其他的，如四棱锥求体积就不能够随意换底，不能够用等积法求体积。别的，等积法的优越性还表现在求“点到平面的距离”中。【注意】等积法求体积时，要切记“先证后求”的原则，先作出或证明底面的高，再计算三棱锥的体积。例1例2（2011佛山一中三校考）如，已知

2、三棱ABPC中，APPC，ACBC，MAB中点，DPB中点，且PMB正三角形。（）求：DM平面APC；（）求：平面ABC平面APC；（）若BC4，AB20，求三棱DBCM的体例2解：（）由已知得，MD是ABP的中位MDAP2分MD面APC4分（）PMB正三角形，DPB的中点，MDPB，5分APPB6分又APPC,PBPCPAP面PBC7分又BCAC,ACAPABC面APC9分BC面ABC平面ABC平面APC10分（）MD面PBC，MD是三棱MDBC的高，且MD5311分又在直角三角形PCB中，由PB10，BC4，可得PC22112分于是SBCD1SBCP221，13分2VDBCMVMDBC1S

3、h10714分3例3（茂名2010二模）如，在底面是菱形的四棱SABCD中，SA=AB=2，SBSD22.1）证明：BD平面SAC；2）问：侧棱SD上可否存在点E，使得SB/平面ACE？请证明你的结论；3）若BAD1200，求几何体ASBD的体积。例3解：（1）Q四棱锥SABCD底面是菱形，BDAC且AD=AB，又SA=AB=2，SBSD22.SAAB,SAAD，又ABADA，2分SA平面ABCD，BD平面ABCD，从而SABD3分又SAACA，BD平面SAC。4分2）在侧棱SD上存在点E，使得SB/平面ACE，其中E为SD的中点6分证明以下：设BDACO，则O为BD的中点，又E为SD的中点，

4、连接OE，则OE为SBD的中位线。7分OE/SB，又OE平面AEC，SB平面AEC8分SB/平面ACE10分（3）当BAD1200时，SABD1ABADsin12001223312分222几何体ASBD的体积为VASBDVSABD1SABDSA13223.14分333点到面的距离一、知识点（求点到面的距离主要方法：）（1）直接法：由定义作出垂线段并计算，用线面和面面垂直的判断及性质来作；（2）转移法：若直线AB/平面，则直线AB上随意一点到平面的距离相等；（3）等体积法：用同一个三棱锥选不同样底计算体积，再求高，即点到面的距离。二、基础热身1、在棱长为a的正方体AC1中找出表示以下距离的垂线段

5、:直接法：1）点A到面BCC1B1的距离；2）B1D1到面ABCD的距离；3）点A到面BDD1B1的距离求C到平面BDC1的距离。A1C转移法：棱长为1的正方体ABCDABCD中，E,F分别是棱AA,BB中点，求点B到平面DEF的距离提示：由于AB/平面，所以点B到平面DEF的距离即为点A到平面DEF的距离。作AHED，证明AH平面DEF。AH5。5【活学活用】3、在棱长为1的正方体ADE的距离。ABCDABCD中,E,F分别为棱BB和CD的中点,求点F到平面提示：法一直接法：将三角形扩大到平行四边形，高FH平面ADGE。取CC的中点G，连接DG、EG，过F作垂线FHDG。能够证得EG/AD，

6、所以平面ADGE，即平面ADE。能够证得EG平面DCCD，所以EGFH由FHDG、EGFH，EG?DG?=?G?可知FH平面ADGE所以FH即F到平面ADE距离。依照勾股定理能够求得：DG21(1)25，DG5242又知：FDG的面积?=?S四边形DCCD?-?SDDF?-?SDCG?-?SFGC1113，FH2335。184488DG10DCABDFCQEAPB法二：转移法：FP/平面ADE，作PQAE。等积法求点到面的距离：已知在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求点B到平面AECF的距离。等积法VBAEFVFAEB三、知识运用例1：如图四棱锥SABCD，

7、ABAD,AB/CD,CD3AB,面SAD面ABCD,M是线段AD上一点，ABAM1,DMDC,SMAD.证明：BM面SMC求点C到面SMB的距离。EX1如图，在边长为a的菱形ABCD中，ABC60,PC面ABCD，E,F是PA和AB的中点。P1）求证：EF/平面PBC;（）求E到平面的距离。E2PBC提示：由（1）知EF/平面PBC，所以E到平面PBC的距离等于点F到平面PBC的距离DCFHBC，FHa即为所求。AFB2例2：（2010江苏卷）如图，在四棱锥P-ABCD中，PD0平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，ABDC，BCD=90。求点A到平面PBC的距离。剖析（方法一）分别

8、取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：易证DECB，DE平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的倍。由（1）知：BC平面PCD，所以平面PBC平面PCD于PC，由于PD=DC，PF=FC，所以DFPC，所以DF平面PBC于F。易知DF=22，故点A到平面PBC的距离等于2。（方法二）等体积法：连接AC。设点A到平面PBC的距离为h。00由于ABDC，BCD=90，所以ABC=90。从而AB=2，BC=1，得ABC的面积SABC1。由PD平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积V1SABCPD1。33由于PD平面ABCD，DC平

9、面ABCD，所以PDDC。又PD=DC=1，所以PCPD2DC22。由PCBC，BC=1，得PBC的面积SPBC2。2由VAPBCVPABC，1ShV1，得h2，VPBC33故点A到平面PBC的距离等于2。EX2:（2010广东文数）如图4，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三均分点，平面AEC外一点F满足FC平面BED,FB=5a1）证明：EBFD2）求点B到平面FED的距离.【剖析】（1）证明：点B和点C为线段AD的三均分点，点B为圆的圆心又E是弧AC的中点，AC为直径，BCEB即BDEBFC平面BDE，EB平面BDE，FCEB又BD平面FBD

10、，FC平面FBD且BDFCCEB平面FBD又FD平面FBD，EBFD（2）解：设点B到平面FED的距离（即三棱锥BFED的高）为h.FC平面BDE,FC是三棱锥F-BDE的高，且三角形FBC为直角三角形由已知可得BCa，又FB5aFC(5a)2a22a在RtBDE中，BD2a,BEa，故SBDE12aaa2,1122VFBDESBDEFCa22aa3,333又EB平面FBD，故三角形EFB和三角形BDE为直角三角形,EF6a,DE5a，在RtFCD中，FD5a,SFED21a2,2VFBDEVBFED即121a2h2a3，故h421a,32321即点B到平面FED的距离为h421a.21备用题

11、：、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PD底面ABCD，PD=DC=BC=，AB，AB1CD,ABC。，求点D到平面PAB的距离1=2.=902、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AB=6，分别求点C与点D到平面PAB的距离.3、如图几何体是由正方体11111111ABCD-ABCD与四棱锥E-ABCD第2题组成，E为CC的延长线上一点，1且EC1=CC1，AB=2，M为EB1的中点，求点M到平面ACD1的距离.第3题、如图BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD4平面BCD，AB平面BCD，求点A到平面MCD的距离.PG5、圆锥PO如图5所示，图6是它的正(主)视图已知圆O的直径为AB，C是?的中点，D为的中点ABACDCAEOBD第4题A图6BC图5F第6题1）求该圆锥的侧面积；（2）证明：AC平面POD；3）求点O到平面PAC的距离6、如图，ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AD、AB的中点，GC垂直于ABCD所在的平