课堂实录：《摆放中的三角形》

1、 课堂实录：摆放中的三角形董彩丽授课地点：九（5）班授课教师：董彩丽授课状况：因为内容新颖，与平时复习课选材有所不同，学生的兴趣很浓，探究欲望很强，参与意识、主人翁意识很强，学生纷纷上台分析、讲解、交流。作为第一轮复习的一节复习课，设置的探究一起点低，调动了每位学生探究的热情，而探究三的教学，使本节课的探究进入了高潮。1教学背景1.1这是第一轮复习三角形基础知识的一节数学复习课，为了面向全体学生，设置探究的起点较低，为了让不同的学生在数学上有不同的发展，探究三的难度适当加深。1.2本节课选材的立意来自于2007年浙江省义乌市中考的第22题。1.3动态几何问题能够有效考察学生对图形的想象能力、分

2、析能力以及综合应用能力，是近几年中考的热点问题，甚至常常被各省市列为中考的压轴问题。在各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转问题等为代表的动态几何问题在填空、选择、解答题中频频出现。1.3课前准备：全等的等腰直角三角形纸片6张，同桌两人共准备两个全等的含30度角的直角三角板。2课堂实录2.1创设情境，知识回顾：探究一：师：把一张正方形纸片沿着一条对角线剪开，可以得到两个什么图形？生（集体）：两个全等的等腰直角三角形。师：如果把这两个等腰直角三角形重新摆放，可以得到什么图形？生1：平行四边形（如图1）。生2：正方形（如图2）。生3：等腰直角三角形（如图3）。为了加强摆放的直观性

3、，回答的3位学生都用纸片模型摆放出自己的答案）我们若AB，AC上分别取点匚、F,使得BE二AF,连结DE、DF、EF（如图4）,得到了ADEF。猜想:DEF生4:ADEF是一个等腰三角形生5（补充道）:ADEF是一个等腰直角三角形理由是:（上讲台板书并分析）/ZB=Z1=45,BD=AD,图4是什么三角形？你的理由是什么？（学生思考后）又vBE=AF,DE=DF,Z2=Z3,ZEDF=ZEDA+Z3=ZEDA+Z2=90。,DEF为等腰直角三角形。【设计意图】借助学生熟悉的正方形、等腰直角三角形来创设情境，旨在让学生从图形变换的角度认识基本图形，掌握：直角三角形的性质及等腰三角形的性质和证明三

4、角形全等的方法，形成良好的知识结构，从而达到梳理知识的目标。师：若将E,F两点分别在AB,AC上运动（不与A、B重合），但使得BE=AFO则:ADEF的形状是否会发生改变？生6：不会发生改变，ADEF仍然是等腰直角三角形。师：我们发现图形在运动过程中，ADEF的形状始终不变，是否图形的其他相关的量也都不变？比如线段长？周长？面积？再如:AADE和AADF组合成的四边形AEDF的面积会变吗？（学生从投影演示的动态的图形中一一探索出结论）生7:ADEF的三边长都会发生变化，因此周长也会发生变化、ADEF的面积也会发生变化。师:ADEF的三边长之间有没有什么关系？生8：满足勾股定理。生9:斜边长EF

5、始终是直角边长ED的弋2倍。师:真厉害，连这层较隐秘的数量关系都被你发现了。生10:虽然ADEF的面积会发生变化，但是我发现ADE和AADF组合成的四边形AEDF的面积不会发生变化。师：若四边形AEDF的面积不会发生变化，则四边形AEDF的面积会等于哪个定值？生10:四边形AEDF的面积等于ABD的面积，等于ABC面积的一半。师:你判断的依据是什么？生10（上讲台分析）：因为BDE匕AADF,所以ADF的面积等于ABDE的面积，则四边形AEDF的面积等于ADE的面积加上AADF的面积，也就等于AADE的面积加上ABDE的面积，也就等于厶ABD的面积，等于ABC面积的一半。（如图5）师：真聪明！

6、这个题目中虽然点E、点F在运动，但是我们可以发现变化中某些量仍然是不变的，比如DEF的形状，四边形AEDF的面积A图5【设计意图】图形在运动过程中往往存在着变的量和非变的量，要求学生深入研究，正确分析变量与其他量之间的内在联系，培养学生抓住动点运动的特点和规律，抓住变化过程中不变的元素，让学生感悟数学的思想方法，提高数学学习的能2.2归纳总结，掌握方法探究二：师：同样地，把一个长方形纸片沿着一条对角线剪开，可得到两个什么图形？生（集体）：两个全等的直角三角形。师：将它们重新摆放成如（图6）形式，其中B、F、D三点在同一条直线上，此时线段AF与线段BD有怎样的位置关系？生11：垂直。师：除此之外

7、，你还能找到互相垂直的线段吗？你的依据是什么？生12:还有AB丄DE.师：你的理由是?生12（上讲台分析）：延长DE交AB于G（如图7）,则乙B+ZD=ZB+ZA=90，故乙DGB=90师：若将厶ABF沿BD方向平移，在平移过程中线段AB与线段DE始终保持互相垂直吗（如图8）?生（集体）：始终垂直。师强调：是的,平移不会改变线段的位置关系。A图8师：若将厶ABF沿BD方向平移到HFK这个位置时，如果已知乙D=30。，斜边DE=10,你能求出线段FG的长度吗？生（集体）：能生13（上讲台板书并分析）：因为乙D=30。，DE=10，所以乙DEF=60。，EF=5，所以FG二EFsin60=5x3二

8、5v322师：若将AABF绕点F顺时针旋转，观察两条斜边是否仍然互相垂直（如图9）?生14：不会再垂直。图9生15：也有可能会垂直。师：在旋转过程中，斜边DE可能会与哪条线段垂直呢？生16:DE可能会与AF垂直。师：当ABF绕点F顺时针旋转多少度时DE会与AF垂直？生17：旋转30。师：当ABF绕点F顺时针旋转30时DE会与AF垂直，其实继续旋转下去，我们还是能找到与DE垂直的线段。师：若将厶ABF沿着直线AF翻折，使点B落在FD上，你能找到哪些正确的结论（如图10）？生18:可以找到6对相等的线段，2对全等的三角形【设计意图】平移，旋转，轴对称变换，是图形的一种基本变换，要求学生会用运动变化

9、的观点来研究问题。做到做一题会一类，这将对学生的解题能力的培养起到事半功倍的成2.3运用拓展，能力提升探究三：师：如果将刚才剪的两个直角三角形按如（图11）的方式摆放，在图形中，你还能找到互相垂直的线段吗？生19:AB丄BO,EF丄F0,生20:还有AO丄OE（该生叙述理由后，学生热烈鼓掌）。师：将AEFC沿着CB方向平移，则EFC与AABO的重叠部分的形状是否会发生变化？（课前同桌两人共准备两个全等的含30度角的直角三角板）生实验：同桌两人1组，通过动手进行平移实验，观察动态中的图形变化规律。生21:通过平移实验，我发现厶EFC与厶ABO的重叠部分的形状变化的规律：先是直角三角形，再是四边形

10、，再是五边形，最后变为直角梯形。（如图12、图13、图14、图15）师：真棒！实验完全正确。若设EFC平移的距离CO为x,AB=1,BC=2,AEFC与、ABO的重叠部分的面积为S,你能写出S关于x的函数解析式吗？（学生思考计算后）生22：若重叠部分是直角三角形时，关系式为S-5x2-圏12圏13圉L4图15师：你是如何计算的？CMMOCO生22（上讲台板书并分析）：可以证明ACMO与AABO相似，得到乔=而=AO其中CO二x,AB=1,BC=2,A0=v5，可以求得CM=5x，MO：x,所以SCMO=2CMMO=2弓x迸x=5x2师:很好。你们都是用同样的方法计算吗？SCOx1生23（上讲台

11、板书并分析）我不是这样计算的，我是利用JMO=（花）2=（丐）2=5x2,aABO“11而SABO=2x1x2=1，所以SCMO=5X2（生热烈鼓掌）师：非常棒！两种方法，你们更喜欢哪一种？生（集体）：第二种。师：用最便捷的方法解答题目，应该是我们解题时追求的最佳境界。请问这里的X可以取任何实数吗？生24:x的取值范围是oX1。师：当x=0时，实际意义是什么？生25:表示AEFC还没有开始平移。师：当x=1时，实际意义是什么？生26:表示AEFC平移到点F与点O重合的位置。师：若将AEFC继续沿CB方向平移，则AEFC与厶ABO的重叠部分的形状是？生（集体）：是四边形。师：这个四边形的面积该如

12、何计算？生27:可以利用CMO的面积与ANFO的面积相减，或者利用ECF的面积与厶EMN的面积相减求得（学生们一一对四种不同位置的各种数量关系进行分析、交流，并逐步得出S关于x的函数解析式及其自变量的取值范围，随着问题的深入，学生的思路逐渐清晰，思维更加严密。）1当0 x1时，S=5x2，此时重叠部分是直角三角形；111当1x2时，S=20 x2+x4，此时重叠部分是四边形；521917当2x时，S=0 x2+x4，此时重叠部分是五边形；5113当2x3时，S-x2+x+4，此时重叠部分是直角梯形；师：对于动态几何问题，我们不要被“动”、“变”、迷惑，要通过观察、分析、动中窥静，变化之中求不变

13、，从而明确图形之间的内在联系，找到解题的途径。【设计意图】通过学生动手进行平移实验，直观感知动态中图形变化的规律，同时培养了学生研究动态图形的一种简易但有效方法：动手实验。而实验中让学生自己总结不同的结论，渗透了分类讨论的思想，同时渗透了高中分段函数的思想，此探究题的设置，给数学学有余力的学生提供了一个广阔的思维空间，顺应了新课程“让不同的学生在数学上得到不同的发展”的理念，更把本堂课推向了一个探究的高潮。2.4梳理反思，知识小结：师：学习了本节课，你有什么收获和体会？生28：我认为，解答运动的几何问题时，应该画出各种可能性的图形，借助图形分析数量关系，解答问题可以事半功倍。生29：有时动手实

14、验很重要，可以让复杂的问题简单化。师：对，比如探究三，通过动手实验平移，我们可以轻松的找到各种可能性，从而不会遗漏某种可能性，复杂的问题也可以分解为一个个小问题，从而各个击破。生30：图形虽然在变化，但有时有些量是不变的。生31：我觉得数学很神奇，通过对两个三角形的不同位置的摆放，不断出现新的图形，新问题。【课例的自我评述】：本节课围绕最基本的图形：两个直角三角形，将他们通过不同的摆放，展现给学生几副不同位置的几何图形，设置不同的数学问题，展开探究，贯穿了：三角形的形状、面积、三角形全等、相似、等腰直角三角形、直线的位置关系、图形的旋转、轴对称、平移等主要知识点进行复习，突出了初中学业考试的精髓所在。内容的设计特别突出表现在：1、由“动”到“静”。本节课的3个探究问题均由最基本的图形：2个直角三角形，通过重新摆放，重新组合创造成新的图形，体现了数学图形既是动态的，又可以是在某一状态静止的情况下去研究数学问题，让学生感受到数学图形的魅力所在。在面对动态几何问题时，引导学生不要被“动”、“变”、迷惑，要通过观察、分析、动中窥