高中数学必修二 7.2.2复数的乘、除运算

1、7.2.2复数的乘、除运算一二三一、复数的乘法及其运算律1.思考(1)根据代数式的乘法法则,(a+b)(c+d)的值是什么?(a+b)(a-b)的值是什么?提示(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd;(a+b)(a-b)=a2-b2.(2)in(nN*)有什么规律?提示i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,即是以4为周期循环出现的.(3)乘法运算律有哪些?提示乘法交换律:ab=ba;乘法结合律:abc=a(bc);乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.一二三2.填空(1)复数乘法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR)是任意两个复数,那么它

2、们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(2)复数乘法的运算律对于任意z1,z2,z3C,有一二三3.做一做(1)(4-i)(3+2i)=.(2)(-3+2i)2=.答案:(1)14+5i(2)5-12i解析:(1)(4-i)(3+2i)=12+8i-3i+2=14+5i;(2)(-3+2i)2=9-4-12i=5-12i.一二三二、复数的除法1.思考2.填空一二三3.做一做 一二三三、复数范围内一元二次方程的解法1.思考已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,cR,且a0),如何求它的实根?提示求出判别式=b2-4ac的

3、值,判断根的情况,若0,方程有两个不相等的实根;若=0,方程有两个相等的实根;若0,方程无实根.一二三2.填空(1)在复数范围内,任何实系数一元二次方程都是有根的,当实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式0时,其求根公式为(2)若复系数方程有实数根,通常将这个根设出,代入方程,利用复数的运算以及复数相等的充要条件进行求解.一二三3.做一做若关于x的方程x2+(1-2i)x+a-i=0(aR)有实数根,则这个实数根等于()答案:B探究一探究二探究三思维辨析复数的乘法与除法运算例1计算下列各题:分析按照复数乘法与除法的运算法则进行计算.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究

4、三思维辨析反思感悟 1.复数乘法运算的技巧(1)复数乘法与实数多项式乘法类似,在计算两个复数的乘积时,先按照多项式的乘法展开,再将i2换成-1,最后合并同类项即可.(2)三个或三个以上的复数相乘可按从左到右的顺序运算或利用结合律运算,混合运算和实数的运算顺序一致.(3)在复数乘法运算时,若符合乘法公式,则可直接运用公式计算.例如(ab)2=a22ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2等.(4)对于复数的高次乘方运算,可以利用公式 =zmn(m,nZ)进行转化求解.2.复数除法运算的技巧(1)根据复数的除法法则,通过分子、分母都乘分母的共轭复数,使“分母实数化”,这个过程与“分母有理化”类

5、似.(2)复数除法运算的结果要进行化简,通常要写成复数的代数形式,即实部与虚部要完全分开的形式.探究一探究二探究三思维辨析变式训练1计算下列各题:(1)(1+i)(1-i)+(-1+i);探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析i幂值的周期性及其应用例2计算下列各式的值:(1)i2 016;(2)(1+i)12+(1-i)12;(3)1+i+i2+i2 016.分析根据i幂值的周期性以及复数高次乘方的运算法则进行计算求解.解:(1)i2 016=i4504=i4=1.(2)(1+i)12+(1-i)12=(1+i)26+(1-i)26=(2i)6+(-2i)6=(-4)3+(-4)

6、3=-128.(3)1+i+i2+i2 016 =(1+i+i2+i3)+(i4+i5+i6+i7)+(i2 012+i2 013+i2 014+i2 015)+i2 016=0504+i2 016=1.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟 利用i幂值的周期性解题的技巧1.熟记i的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时,相应的幂值分别为1,i,-1,-i.2.对于nN*,有in+in+1+in+2+in+3=0.探究一探究二探究三思维辨析A.3B.4C.8D.16答案:B解析:当n=1时,x=i2+i-2=-1+(-1)=-2,当n=2时,x=i4+i-4=1+1=2,当n=

7、3时,x=i6+i-6=-2,当n=4时,x=i8+i-8=2,因此A= ,故A有4个子集.探究一探究二探究三思维辨析与复数有关的方程问题例3设关于x的方程x2-(tan +i)x-(2+i)=0有实数根,则锐角以及实数根分别为()分析可将实数根设出,代入,利用复数相等的充要条件求解.答案:C解析:设方程的实根为a,则a2-a(tan +i)-(2+i)=0,即a2-atan -2-(a+1)i=0,a,tan R,探究一探究二探究三思维辨析反思感悟 与复数有关的方程问题,一般是利用复数相等的充要条件,把复数问题实数化进行求解,根与系数的关系仍适用,但判别式“”不再适用.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3已知关于x的方程x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)有实根b,求实数a,b的值.解:b是方程x2-(6+i)x+9+ai=0(aR)的实根,解得a=b=3.探究一探究二探究三思维辨析答案:D 2.mR,i为虚数单位,若(m+i)(2-3i)=5-i,则m的值为()A.1B.-1C.2D.-2答案:A探究一探究二探究三思维辨析A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B