黎曼猜想内容

1、很多人如果对高等数学和复变函数没有一点儿概念的话，说起黎 曼猜想，估计只是认识这几个字而已。那么，这个黎曼猜想到底说了 些什么呢？证明过程肯定很复杂的，我们就先不管它了，至于黎曼猜想的内 容原来是这样的。在自然数序列中，质数（素数）的概念，是小学生都能够理解的， 数就是那些只能被1和自身整除的整数，比如2, 3, 5, 7, 11等等 都是质数。4, 6, 8, 9等等都不是质数。由于每个自然数都可以唯 一地分解成有限个质数的乘积，因此在某种程度上，质数构成了自然 数体系的基石，就好比原子是物质世界的基础一样。质数的特性，让数学界历来都为它们迷恋不已。 但是质数是没有 规律可循的，最早用数学表

2、达式来表达质数的普遍规律，还是瑞士的 天才数学家欧拉在1737年发表了欧拉乘积公式。在这个公式中，如 鬼魅随性的质数不再肆意妄为，终于向人们展示出了其循规蹈矩的一 面。沿着欧拉开辟的这一战场，数学王子高斯（ Gauss）和另一位数 学大师勒让德（Legendre）深入研究了质数的分布规律，终于各自独 立提出了石破天惊的质数定理。这一定理给出了质数在整个自然数中 的大致分布概率，且和实际计算符合度很高。在和人们玩捉迷藏游戏 两千多年后，质数终于露出了其漂亮的狐狸尾巴。虽然符合人们的期待，质数定理所预测的分布规律和实际情况仍 然有偏差，且偏差情况时大时小，这一现象引起了黎曼的注意其时，年仅33岁的

3、黎曼(Riemann)当选为德国柏林科学院通信 院士。出于对柏林科学院所授予的崇高荣誉的回报，同时为了表达自己的感激之情，他将一篇论文献给了柏林科学院，论文的题目就是论 小于已知数的质数的个数。在这篇文章里，黎曼阐述了质数的精确 分布规律。没有人能预料到，这篇短短8页的论文，蕴含着一代数学大师高 屋建甑的视野和智慧，以至今日，人们仍然为隐匿在其中的奥秘而苦 苦思索。就是数学界在一百多年前，在研究质数的过程中，黎曼定义出来 的黎曼Zeta函数，就是黎曼猜想的主要内容。现在关键的问题，是 当时黎曼认为很显然的定理，没有证明，出现了类似费马猜想的乌龙， 让整个数学界前赴后继，却不能证明，但是他们延伸

4、出来的应用，已 经遍布整个科学体系的方方面面了。黎曼在文章里定义了一个函数，它被后世称为黎曼 Zeta函数， Zeta函数是关于s的函数，其具体的定义就是自然数n的负s次方， 对n从1到无穷求和。因此，黎曼 Zeta函数就是一个无穷级数的求 和。然而，遗憾的是，当且仅当复数s的实部大于1时，这个无穷级 数的求和才能收敛(收敛在这里指级数的加和总数小于无穷)。黎曼观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼 zeta函数t(s)的性态。黎曼假设断言，方程t(s)=0的所有有意义 的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证黎曼（函数 Us）是级数表达式:(Re(

5、) 1, n e N1为了研究Zeta函数的性质，黎曼通过围道积分的方式对该函数做了一个解析延拓，将s存在的空间拓展为复数平面，具表达式： L解析延拓后的黎曼，函数可以表示为2加人出-1 2其中积分路径C踉上面所述相同.环绕正实轴，可以形象地这样表示:y这里我们采用的是历史文献中的记号.式中的积分实际是一个环绕 正实轴进行的围道积分（即从+8出发，沿实轴上方积分至原点附 近，环绕原点积分至实轴下方，再沿实轴下方程分至+8 ，而且 离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于0）,按照现代数学记号应记 成：2711 Jc / - 1 zI研究函数的重要性质之一就是对其零点有深刻的认识。零点就是那些使得函数

6、的取值为零的数值集合。 比如一元二次方程一般有两个 零点，并且有相应的求根公式给出零点的具体表达式。黎曼对解析延拓后的Zeta函数证明了其具有两类零点。其中一 类是某个三角sin函数的周期零点，这被称为平凡零点；另一类是 Zeta函数自身的零点，被称为非平凡零点。针对非平凡零点，黎曼 提出了三个命题。第一个命题，黎曼指出了非平凡零点的个数，且十分肯定其分布 在实部大于0但是小于1的带状区域上。第二个命题，黎曼提出所有非平凡零点都几乎全部位于实部等于1/2的直线上。从表达式:黎曼，函数满足以下代数关系式;3） -昌 sinI 1 _$）1901年Hgge ypn Kh指出，黎曼猜想与强条件的素数

7、定理等忤 7（ = Lix+ 0（依 Inx）1932年CL迫9乩发表的文章中？有下面这样一个公式亡+呜区=R（2tH吟/）（R二；）不难看出，黎曼（函数在s=-2n （n为正整数）取值为零-因为sin（兀s/2）为零。复平面上的这种使黎曼（函数取值为零的点被称为黎曼（函数的零点。因此s=-2n （n为正整数）是黎曼（函数的零点。这些零点分布有序、 性质简单，被称为黎曼（函数的 平凡零点（trivial zero） 。除了这些平凡零点外，黎曼 （函数还 有许多其它零点，它们的性质远比那些平凡零点来得复杂， 被称为 非平凡零点（non-trivial zeros） 。黎曼（函数的所有非平凡零点都

8、位于复平面上Re（s）=1/2 的直线上，也即方程t（s）=0的解的实部都是1/2。在黎曼猜想的研究中，数学家们把复平面上Re（s）=1/2 的直线 称为critical line （临界线）。运用这一术语，黎曼猜想也可以表 述为：黎曼（函数的所有非平凡零点都位于critical line 上。第三个命题，黎曼用十分谨慎的语气写到：很可能所有非平凡零 点都全部位于实部等于1/2的直线上。这条线，从此被称为临界线。 而最后这个命题，就是让后世数学家如痴如醉且寝食难安的黎曼猜想。黎曼函数还可以如下的一些表达方式：有人曾经问希尔伯特，如果500年后能重回人间，他最希望了解 的事情是什么？希尔伯特回答说：我想知道，黎曼猜想解决了没有。 美国数学家蒙哥马利（Montgomery）曾经也表示，如果有魔鬼答应让 数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。黎曼猜想，俨然就是真理的宇宙里， 数学家心目中那颗最璀璨的明星。有人统计过