数学模型(第4版)全套课件完整版电子教案最新板

1、数学模型（第4版）前 言 (2010年) 数学建模是我国大学20世纪80年代初开设的一门新课，其主要内容是通过众多的示例着重介绍如何将实际问题“翻译” 成数学问题，以及数学求解的结果又如何“翻译”回到实际中去。课堂讲授需要简明的实际背景、合理的模型假设、有创意的模型构造及必要的模型检验，不会涉及太多的数学概念和繁琐的公式推导，因此适宜采用多媒体电子课件进行教学。 本电子教案是根据数学模型（第四版）（姜启源、谢金星、叶俊编）研制的，包含了该书全部章节的内容，共873页，其中大部分内容经过了以数学模型（第三版）的多年教学实践，力求做到精练简明、形式活泼、信息量大、便于使用。使用者如有条件，还可以将

2、其中一些内容链接到数学软件上，作数值计算和图形演示。 根据编制者的教学经验，电子教案应该像板书一样，将重点内容给以提纲式的演示，而不要把教师的讲解都制作在教案上。打算利用本电子教案的教师，需要结合教案仔细研究教材的内容，体会编制者的意图。 对教师来说，课堂教学是极具个性化的表现艺术。不同教师对同一内容完全可以有不同的处理，各个学校的学生状况也不一样。因此，提倡教师仅以本电子教案为参考资料，编制适合自己教学风格和具体的教学对象的教案。 由于时间和精力所限, 目前提供的课件存在许多不完善之处, 欢迎大家提出各种意见，我们今后将不定期地出版增补、改进的版本。第一章 建立数学模型第二章 初等模型第三章

3、 简单的优化模型第四章 数学规划模型 第五章 微分方程模型第六章 代数方程与差分方程模型第七章 稳定性模型第八章 离散模型第九章 概率模型第十章 统计回归模型第十一章 博弈模型第十二章 马氏链模型第十三章 动态优化模型第一章 建立数学模型1.1 从现实对象到数学模型1.2 数学建模的重要意义1.3 数学建模示例1.4 数学建模的基本方法和步骤1.5 数学模型的特点和分类1.6 数学建模能力的培养玩具、照片、飞机、火箭模型 实物模型水箱中的舰艇、风洞中的飞机 物理模型地图、电路图、分子结构图 符号模型模型是为了一定目的，对客观事物的一部分进行简缩、抽象、提炼出来的原型的替代物.模型集中反映了原型

4、中人们需要的那一部分特征.1.1 从现实对象到数学模型我们常见的模型你碰到过的数学模型“航行问题”用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：答：船速为20km/h.甲乙两地相距750km，船从甲到乙顺水航行需30h，从乙到甲逆水航行需50h，问船的速度是多少?x=20y =5求解航行问题建立数学模型的基本步骤 作出简化假设（船速、水速为常数） 用符号表示有关量（x, y分别表示船速和水速） 用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘以 时间）列出数学式子（二元一次方程） 求解得到数学解答（x=20, y=5） 回答原问题（船速为20km/h）数学模型 (Mathematical Model) 和数学

5、建模（Mathematical Modeling)对于一个现实对象，为了一个特定目的，根据其内在规律，作出必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学表述.建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）数学模型数学建模1.2 数学建模的重要意义 电子计算机的出现及飞速发展. 数学以空前的广度和深度向一切领域渗透.数学建模作为用数学方法解决实际问题的第一步，越来越受到人们的重视. 在一般工程技术领域, 数学建模仍然大有用武之地. 在高新技术领域, 数学建模几乎是必不可少的工具. 数学进入一些新领域，为数学建模开辟了许多处女地.“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术”. 数学“由研

6、究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力具有重要意义”. “计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径” .数学建模的重要意义数学建模的具体应用 分析与设计 预报与决策 控制与优化 规划与管理数学建模计算机技术知识经济如虎添翼1.3 数学建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析模型假设通常 三只脚着地放稳 四只脚着地 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形. 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面. 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地.模型构成用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来. 椅子位置利用正方形(椅脚连线)的对称性.xB

7、ADCODC B A 用(对角线与x轴的夹角)表示椅子位置. 四只脚着地距离是的函数.四个距离(四只脚)A,C 两脚与地面距离之和 f()B,D 两脚与地面距离之和 g()两个距离椅脚与地面距离为零正方形ABCD绕O点旋转正方形对称性用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来.f() , g()是连续函数对任意, f(), g()至少一个为0数学问题已知： f() , g()是连续函数 ; 对任意， f() g()=0 ; 且 g(0)=0， f(0) 0. 证明：存在0，使f(0) = g(0) = 0.模型构成地面为连续曲面 椅子在任意位置至少三只脚着地模型求解给出一种简单、粗糙的证明

8、方法3）由 f, g 的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 ( 0 0 0，知 f(/2)=0, g(/2)0.2）令 h()= f()g(), 则 h(0)0 和 h(/2)0)，总剂量1100 mg药物在t=0瞬间进入胃肠道.2. 血液系统中药物的排除率与y(t) 成正比，比例系数(0)，t=0时血液中无药物.3. 氨茶碱被吸收的半衰期为5 h，排除的半衰期为6 h. 4. 孩子的血液总量为2000 ml. 胃肠道中药量x(t), 血液系统中药量y(t)，时间t以孩子误服药的时刻为起点（t=0）. 模型建立x(t)下降速度与x(t)成正比(比例系数), 总剂量110

9、0mg药物在t=0瞬间进入胃肠道.转移率正比于x排除率正比于y胃肠道血液系统口服药物体外药量x(t)药量y(t)y(t)由吸收而增长的速度是x，由排除而减少的速度与y(t) 成正比(比例系数) , t=0时血液中无药物.模型求解 药物吸收的半衰期为5 h 药物排除的半衰期为6 h 只考虑血液对药物的排除血液总量2000ml血药浓度200g/ml结果及分析 胃肠道药量血液系统药量血药浓度100g/mly(t) =200mg严重中毒y(t) =400mg致命t=1.62t=4.87t=7.89y=442孩子到达医院前已严重中毒，如不及时施救，约3h后将致命！y(2)=236.5 施救方案 口服活性

10、炭使药物排除率增至原来的2倍. 孩子到达医院(t=2)就开始施救，血液中药量记作z(t) =0.1386 (不变)， =0.11552=0.2310 施救方案 t=5.26z=318 施救后血液中药量z (t)显著低于y(t). z (t)最大值低于致命水平. 要使z (t)在施救后立即下降，可算出至少应为0.4885. 若采用体外血液透析，可增至0.11556=0.693，血液中药量下降更快；临床上是否需要采取这种办法，当由医生综合考虑并征求病人家属意见后确定. 数学建模的基本方法机理分析测试分析根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律.将对象看作“黑箱”,通过对量测数据的统计分

11、析，找出与数据拟合最好的模型.机理分析没有统一的方法，主要通过实例研究 (Case Studies)来学习.以下建模主要指机理分析.二者结合用机理分析建立模型结构,用测试分析确定模型参数.1.4 数学建模的基本方法和步骤 数学建模的一般步骤模型准备模型假设模型构成模型求解模型分析模型检验模型应用模型准备了解实际背景明确建模目的搜集有关信息掌握对象特征形成一个比较清晰的“问题”模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设在合理与简化之间作出折中模型构成用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法尽量采用简单的数学工具 数学建模的一般步骤模型求解各种数学方法、软件和计算机技术.如结果的误

12、差分析、统计分析、模型对数据的稳定性分析.模型分析模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性.模型应用 数学建模的一般步骤数学建模的全过程现实对象的信息数学模型现实对象的解答数学模型的解答表述求解解释验证(归纳)(演绎)表述求解解释验证根据建模目的和信息将实际问题“翻译”成数学问题.选择适当的数学方法求得数学模型的解答.将数学语言表述的解答“翻译”回实际对象.用现实对象的信息检验得到的解答.实践现实世界数学世界理论实践1.5 数学模型的特点和分类模型的逼真性和可行性模型的渐进性模型的强健性模型的可转移性模型的非预制性模型的条理性模型的技艺性模型的局限性 数学模型的特点数学模型的分类

13、应用领域人口、交通、经济、生态、数学方法初等数学、微分方程、规划、统计、表现特性描述、优化、预报、决策、建模目的了解程度白箱灰箱黑箱确定和随机静态和动态线性和非线性离散和连续1.6 数学建模能力的培养数学建模与其说是一门技术，不如说是一门艺术技术大致有章可循艺术无法归纳成普遍适用的准则想像力洞察力判断力 学习、分析、评价、改进别人做过的模型. 亲自动手，认真作几个实际题目.参加全国大学生数学建模竞赛的意义和作用 1992年中国工业与应用数学学会(CSIAM)开始组织 1994年起教育部高教司和CSIAM共同举办(每年9月)2010年33省/市/区(含港澳)的1197校17317队内容 赛题：工

14、程技术、管理科学中简化的实际问题. 答卷：包含模型假设、建立、求解计算方法设计和计算机实现、结果分析和检验、模型改进等方面的论文.形式 3名大学生组队，在3天内完成的通讯比赛. 可使用任何“死”材料（图书、计算机、软件、互联网等），但不得与队外任何人讨论.宗旨创新意识 团队精神 重在参与 公平竞争标准假设的合理性，建模的创造性，结果的正确性，表述的清晰性.全国大学生数学建模竞赛 竞赛培养创新精神和综合素质 赛题紧密结合科技和社会热点问题，培养理论联系实际的学风和实践能力. 解决方法没有任何限制，培养主动学习、独立研究的能力. 没有事先设定的标准答案，留有充分余地供同学们发挥聪明才智和创造精神.

15、 综合运用学过的数学知识和计算机技术(选择合适的数学软件)通过数学建模分析、解决实际问题的能力. 三天内自由地使用图书馆和互联网，培养同学在短时间内获取与赛题有关知识的能力. 分工合作、取长补短、求同存异、同舟共济，培养同学的团队精神和组织协调能力. 完成一篇用数学建模方法解决实际问题的完整的科技论文，培养同学的文字表达能力.竞赛培养创新精神和综合素质 在三天开放型竞赛中自觉遵守纪律，培养诚信意识和自律精神. 多位中国科学院和中国工程院院士以及教育界的专家参加数学建模竞赛举办的活动，为竞赛题词,对这项活动给予热情关心和高度评价.竞赛长期以来受到媒体关注与支持 第二章 初等模型2.1 光盘的数据

16、容量2.2 双层玻璃窗的功效2.3 划艇比赛的成绩2.4 实物交换2.5 污水均流池的设计2.6 交通流与道路通行能力2.7 核军备竞赛2.8 扬帆远航2.9 天气预报的评价 研究对象的机理比较简单 用静态、线性、确定性模型即可达到建模目的可以利用初等数学方法来构造和求解模型尽量采用简单的数学工具来建模如果用初等和高等的方法建立的模型，其应用效果差不多，那么初等模型更高明，也更受欢迎.初 等 模 型2.1 光盘的数据容量背景和问题 20世纪80年代出现激光唱片(CD)与激光视盘(LD), 统称光盘，用于储存数字声频、视频信号和计算机数据等. 20世纪90年代出现数字视频光盘(DVD). 21世

17、纪初光盘集计算机、光学记录和影视技术为一体, 带动了出版、广播、通信、互联网等行业的发展. CD的数据容量: 单层650MB(兆字节)DVD的数据容量: 单层4.7GB(千兆字节)从数学建模的角度研究 : 光盘的数据容量是怎么确定的，在一定条件下怎样使其最大化.调查和分析45mm120mm2mm信道间距信道(螺旋线)经过编码的数字信息，以一定深度和宽度、不同长度的凹坑的形式，用烧蚀技术存储在光盘表面呈螺旋线形状的信道上. 当盘片上环形区域面积一定时，数据容量的大小取决于信道的总长度与信道上存储数据的线密度. 决定信道长度和线密度大小的主要因素是所用激光的波长，和驱动光盘的机械形式.调查和分析

18、当光盘运转时激光束要能识别出信道上的凹坑所携带的信息，必须精确地聚焦. 数据容量 激光波长 驱动形式 信道长度 线密度激光波长 光的衍射使激光束在光盘上形成圆状的光斑. 为了提高存储数据的线密度，应该使光斑尽量小，而光斑的大小与激光波长成正比. 激光器激光波长（m）光斑直径（m）信道间距（m）数据线密度（字节/mm）红外(CD)0.7821.6121红色(DVD)0.640.9250.74387蓝色(DVD)0.410.40.32800调查和分析恒定角速度(CAV)驱动光盘的机械形式每一圈螺旋线上存储同等数量的数据信息容量取决于最内圈的长度、线密度以及总圈数 各圈螺旋线上数据的线密度不变 容量

19、取决于固定的线密度和螺旋线总长度 恒定线速度(CLV )从光盘的容量比较，CLV优于CAV. 数据读取时间: CLV每圈转速不同，当读出磁头在内外圈移动时，需要等待光盘加速或减速，而CAV不需要. 对音乐、影像、计算机文件等按顺序播放的信息，多用CLV;对词典、数据库、人机交互等常要随机查找的信息，多用CAV.模型建立 CLV(恒定线速度)光盘R1光盘环形区域内圆半径, R2 外圆半径, d 信道间距LCLV 信道总长度 环形区域面积/信道间距 同心圆平均周长*总圈数 数据容量线密度,(n总圈数)其他方法建模模型建立 CAV(恒定角速度)光盘螺旋线最内圈的长度近似为2R1, 总圈数可视为 数据

20、容量LCLV 信道总长度 线密度,当线密度、信道间距d和外径R2给定后， 可选择环形区域的内圆半径R1，使数据容量最大 .模型求解 CLV(恒定线速度)光盘激光器激光波长(m)信道长度(mm)信息容量, (MB)影像时间(min)红外(CD)0.785,611,17967918红色(DVD)0.6412,132,2794,695126蓝色(DVD)0.4128,055,89522,445603R2=58 mm , R1=22.5 mm CD信道长度在5km以上，容量约680 MB; DVD容量在GB量级. 影像时间按照每秒钟占用0.62 MB计算 .模型求解 激光器激光波长 (m)信道长度 (

21、mm)信息容量, (MB)影像时间(min)红外(CD)0.783,302,59940011红色(DVD)0.647,140,7552,76474蓝色(DVD)0.4116,512,99613,210355CAV(恒定角速度)光盘即使在内圆半径的最佳选择下，CAV光盘的信息容量也小于CLV光盘 .R1=R2/2时LCAV最大 2d墙室内 T1室外 T2dd墙l室内 T1室外 T2问题双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失.假设热量传播只有传导，没有对流.T1,T2不变，热传导过程处于稳态.材料均匀，热传导系数为常数.建模热传导定律Q1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量T温差,

22、 d材料厚度, k热传导系数2.2 双层玻璃窗的功效双层单层dd墙l室内 T1室外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数k2空气的热传导系数建模记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙室内 T1室外 T2Q2双层与单层窗传导的热量之比k1=48 10-3 (J/cmskwh), k2=2.510-4, k1/k2=16 32对Q1比Q2的减少量作最保守的估计，取k1/k2 =16建模hQ1/Q242O0.060.030.026模型应用取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%

23、的热量损失.结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气的热传导系数k2极低, 而这要求空气非常干燥、不流通.房间通过天花板、墙壁、损失的热量更多.实际上双层窗的功效不会如此之大!2.3 划艇比赛的成绩赛艇 2000m成绩 t (min)种类 1 2 3 4 平均单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84空艇重w0(kg) 桨手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇 (单人、双人、四人、八人) 4次国际大赛

24、冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系. 试建立数学模型揭示这种关系.问题准备调查赛艇的尺寸和质量l /b, w0/n 基本不变艇长l 艇宽b l/b (m) (m) 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75 0.574 21.018.28 0.610 30.0问题分析 前进阻力 浸没部分与水的摩擦力 前进动力 桨手的划桨功率分析赛艇速度与桨手数量之间的关系赛艇速度由前进动力和前进阻力决定:划桨功率 赛艇速度赛艇速度前进动力前进阻力桨手数量 艇重浸没面积 对桨手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定. 运用合适的物理定律建立模型.模型假设1）艇形状相同(l/

25、b为常数), w0与n成正比2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 桨手数 n, 桨手功率 p, 桨手体重 w, 艇重 W.艇的静态特性艇的动态特性3）w相同，p不变，p与w成正比桨手的特征模型建立f sv2,p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3,A W(=w0+nw) n s n2/3v n1/9比赛成绩 t n 1/9np fv,模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84线性最小二乘法利用4次国际大赛冠军的平均成绩对模型 t n 1/ 9 进行检验.与模型吻合！tn12487.216.8

26、86.325.84O划艇比赛的成绩 对实际数据做比较、分析，发现并提出问题. 利用物理基本知识分析问题. 模型假设比较粗糙. 利用合适的物理定律及简单的比例方法建模(只考虑各种艇的相对速度). 模型结果与实际数据十分吻合 (巧合！)问题甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分. 研究实物交换方案.yxp.用x,y分别表示甲(乙)占有X,Y的数量. 设交换前甲占有X的数量为x0, 乙占有Y的数量为y0, 作图：若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y). xyy0Ox02.4 实物交

27、换xyy0y1y2Ox1x2x0p1p2.甲的无差别曲线分析与建模如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度,即p1, p2对甲是无差别的.MN将所有与p1, p2无差别的点连接起来, 得到一条无差别曲线MN.线上各点的满意度相同, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度.N1M1p3(x3,y3).比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线M1N1上, 于是形成一族无差别曲线（无数条）.p1.p2.c1yOxf(x,y)=c1无差别曲线族的性质： 单调减(x增加, y减小) 下凸(凸向原点) 互不相交在p1点占有x少、y多，宁愿以较多的 y换取较少的 x;在p2点占有y少

28、、x多，就要以较多的 x换取较少的 y.甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度（f 等满意度曲线）甲的无差别曲线xyOg(x,y)=c2c2乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同性质（形状可以不同）. 双方的交换路径xyy0Ox0f=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族 g=c2 (坐标系xOy, 且反向）甲的无差别曲线族 f=c1ABp P 双方满意的交换方案必在AB（交换路径）上!因为在AB外的任一点p, (双方)满意度低于AB上的点p.两族曲线切点连线记作AB分析与建模AB 交换方案的进一步确定交换方案 交换后甲的占有量 (x,y)0 xx0, 0yy0矩形内任一点交换路径

29、AB双方的无差别曲线族X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值相同，则等价交换原则下交换路径为CD(x0,0), (0,y0) 两点的连线CD.AB与CD的交点p设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)等价交换原则x0yy0O.xp.2.5 污水均流池的设计城市生活污水的流量是时刻变化的, 在净化处理前需要先进入一个集中、储存的大池子，再通过水泵和输水管以恒定的流量流向净化设备. 背景和问题集中、储存、均衡调节流量的池子称为均流池.根据污水的流量设计均流池的容积及水泵和输水管的规格；在一定条件下按照施工成本最小的原则确定均流池的具体尺寸.调查和分析除了

30、节假日等特殊情况以外，生活污水进入均流池的流量是以天为周期变化的.典型调查得到以小时为单位间隔、一天的污水流量(m3/s) 时间(h)01234567流量0.04170.03210.02360.01850.01890.01990.02280.0369时间(h)89101112131415流量0.05140.06300.06850.06970.07250.07540.07610.0775时间(h)1617181920212223流量0.08100.08390.08630.08070.07810.06900.05840.0519污水一天进入均流池的平均流量（忽略蒸发等损失） =从均流池用水泵打入净

31、化设备的恒定流量 由以小时为单位间隔的污水流入量和从均流池到净化设备的恒定流出量，可得均流池中污水随时间变化的容量. 调查和分析 均流池的容积应该按照污水的最大容量，并考虑留有一定裕量来设计. 均流池的面积可以由它的容积和深度得到. 均流池的施工成本：底部单位面积的成本，四条边上单位长度的施工成本. 均流池的形状一般为矩形，其深度通常按照工程需要（底部需安装设备、进行清理等）确定. 模型假设与建立 以调查得到的一天的污水流量为依据，并留有25%的裕量进行均流池的设计. 均流池的深度为3m，施工成本：底部面积 340元/m2，两条长边及一条短边250元/m，另一条短边450元/m. 模型1 均流

32、池的恒定流出量和最大容量模型流量单位换算成m3/h,记为f(t)平均流入量=恒定流出量=203.67(m3/h )设计流量255 m3/h (25%的裕量)f(t)模型1均流池中污水的容量为c(t) (m3)时间01234567容量0 53.55141.66260.37397.44533.07665.10786.69时间89101112131415容量857.52876.15853.02810.09762.84705.51637.74567.45时间1617181920212223容量492.12404.19305.82198.81111.96 34.4710.2616.83时间0123456

33、7容量876.15822.60734.49615.78478.71343.08211.0589.46时间89101112131415容量18.63023.1366.06113.31170.64238.41308.70时间1617181920212223容量384.03471.96570.33677.34764.19841.68886.41892.98设c(0)=0 c(9)最小设c(9)=0 c(23)最大模型1f(t)c(t)f(t)gc(t) 最小 f(t)g f(t)gc(t) 最大 最大容量为892.98m 设计容量1116 m3 (25%的裕量)模型2 均流池的具体尺寸模型设计容量1

34、116 m3, 深度3m施工成本：底部面积 340元/m2, 两长边及一短边250元/m,另一短边450元/m. l长边长度， w短边长度底部面积 l w=372, w =372/ l 建造一个23 m16.5m的均流池，成本约15万元. S(l)=149301元, w =16.30m2.6 交通流与道路通行能力现代城市生活中交通拥堵是普遍存在的现象，在许多平面交叉路口，红灯后面总是排着长长的汽车队伍等待放行. 背景和问题通过信号灯控制等管理手段提高道路通行能力，已经成为城市交通工程面临的重要课题之一. 介绍交通流的基本参数及它们之间的关系; 讨论一般道路及信号灯控制的十字路口的通行能力. 交

35、通流的基本参数及其特性流量q某时刻单位时间内通过道路某断面的车辆数(辆/h ) 密度k某时刻通过道路某断面单位长度内的车辆数(辆/km ) 速度v 某时刻通过道路某断面的车辆速度(km/h) 交通流 标准长度的小型汽车在单方向道路上行驶形成的车流，没有外界因素如岔路、信号灯等的影响. 借用物理学概念, 将交通流看作一辆辆汽车组成的连续流体, 用流量、速度、密度3个参数描述其基本特性. 3个参数之间的基本关系 交通流的基本参数及其特性速度v 与密度k 的关系 线性模型 vf 畅行车速(k=0时)kj阻塞密度(v=0时)适合车流密度适中的情况 对数模型 车流密度较大时适用 指数模型 车流密度较小时

36、适用 v1 k=kj/e时的车速(理论上), 由观测数据确定. 车流密度加大 司机被迫减速 交通流的基本参数及其特性速度v流量qvmvmkmkmqmqmvfvfkjkj000密度k 流量qkm=kj/2 最大流量时的密度vm=vf/2 最大流量时的速度 城市干道的通行能力道路通行能力单位时间内通过某断面的最大车辆数. 交通流量远小于通行能力时，车速高，呈自由流状态 交通流量接近通行能力时，车速低，呈强制流状态，出现交通拥堵.饱和度流量与通行能力的比值, 表示道路的负荷程度.城市干道的通行能力在理想的道路和交通条件下，当具有标准长度和技术指标的车辆，以前后两车最小车头间隔连续行驶时，单位时间内通

37、过道路某断面的最大车辆数N (辆/h). 城市干道的通行能力v车速 (km/h)， d最小车头间隔(m) d 主要由刹车距离决定，刹车距离与车速密切相关. d1刹车时司机在反应时间t0 内汽车行驶的距离. d2刹车时从制动器起作用到汽车停止行驶的距离.c与路面阻力、车重、湿度、坡度等有关的系数. d3两车之间的安全距离，d4车辆的标准长度. 单位时间内通过的最大车辆数N城市干道的通行能力v102030405060708090100N95812081233117310901006928858797742交通工程的专业教材: 司机刹车的反应时间t0 =1s，系数c=0.01,安全距离 d3=2m，

38、小型车辆的标准长度d4=5m. 当t0，c，d3，d4变大时最大通行能力Nm减小. 最大通行能力最大制动力与车的质量成正比，使汽车作匀减速运动.常数制动距离与车速的模型制动距离：制动器作用力、车重、车速、道路、气候设计制动器的合理原则：刹车时使用最大制动力F，F作的功等于汽车动能的改变，且F与车的质量m成正比. F d2= m v2/2F m模型假设信号灯控制的十字路口的通行能力西东南北相位A相位B相位C相位D信号灯控制采用4相位方案 典型的十字路口 东西方向有3条车道：左转、直行、直右混行 南北方向有2条车道：左转、直右混行 某一相位下每小时通过停止线的最大车辆数(单行道) S (辆/h)

39、信号灯控制的十字路口的通行能力 假设红灯时车辆在停止线后排成一列等待，绿灯后第1辆车立即启动通过停止线，其余车辆按照固定时间间隔通过停止线. T(s)信号灯周期， tg(s)某相位的绿灯时间.t0(s)绿灯后第1辆车通过停止线的时间.ts(s)直行或右转车辆通过停止线的时间. 反映车辆通过路口不均匀性的折减系数.信号灯控制的十字路口的通行能力G=tg/T绿灯时间与信号灯周期之比(绿信比) Q= 3600/ts小时流量(按每ts(s) 通过一辆车计算)每小时通过停止线的最大车辆数实地调查高峰时段 4个相位通行的实际流量qA, qB, qC, qD 调整4个相位的绿信比, 使GA:GB:GC:GD

40、 qA:qB:qC:qD t0=2.3s，ts=2.5s(小型车辆)3.5s(大型车辆)，对直行或右转 =0.9(左转更小) 2.7 核军备竞赛 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全, 实行“核威慑战略”, 核军备竞赛不断升级. 随着前苏联的解体和冷战的结束, 双方通过了一系列核裁军协议. 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张, 而存在暂时的平衡状态. 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时, 平衡状态会发生什么变化. 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受哪些因素影响.背景与问题以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小.假定双方采取如下同样的核威慑战略： 认

41、为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地； 己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击.在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地.摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定.模型假设图的模型y=f(x)甲有x枚导弹,乙所需的最少导弹数(乙安全线)x=g(y)乙有y枚导弹,甲所需的最少导弹数(甲安全线)当 x=0时 y=y0，y0乙方的威慑值xyy0Oy0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数.x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xyOy

42、0y=f(x)y=f(x)乙安全区甲安全区双方安全区P平衡点(双方最少导弹数)乙安全线分析模型乙方残存率 s 甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率.sx个基地未被摧毁，yx个基地未被攻击.xy甲方以 x枚导弹攻击乙方 y个基地中的 x个,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的xy个基地被攻击2次, s2(xy)个未被摧毁;y (xy)=2y x个被攻击1次, s(2y x )个未被摧毁.y0= s2(xy)+ s(2y x )x=2yy0=s2yyx2yy= y0+(1s)xy=y0/sy=y0/s2x=a y,分析模型x=y, y=y0/sx=2y, y=y0/s2y0威慑值s残存

43、率y=f(x)利用微积分知识可知y是一条上凸的曲线，且 y0变大，曲线上移、变陡. s变大，y减小，曲线变平.xyOy0 xy, y= y0+(1s)xx=yx=2yyx2y, 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标.乙方威慑值 y0变大xyOy0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级.（其他因素不变）乙安全线 y=f(x)上移模型解释 平衡点PP 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架.乙安全线y=f(x)不变甲方残存率变大威慑值x 0不变x减小，甲安全线x=g(y)向y轴靠近xyOy0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解释 甲

44、方这种单独行为，会使双方的核导弹减少.PP 双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标.(x , y仍为双方核导弹的数量)双方威慑值x 0, y0和残存率s均减小.y0减小 y下移且变平xyOy0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)s变小 y增加且变陡双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析.模型解释 乙安全线 y=f(x)核 军 备 竞 赛 对“核威慑战略”做一些合理、简化假设，用图的模型描述双方核武器相互制约、达到平衡的过程. 提出安全曲线概念，给出它的一般形式. 通过更精细的分析找到影响安全线的参数：威慑值和残存率，给出安全线的分析表达式. 利用模型对核军备竞赛中的

45、一些现象作出合理解释.帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向.简化问题AB 风向北航向帆船海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B点，确定起航时的航向，帆以及帆的朝向 .2.8 扬帆远航模型分析 风(通过帆)对船的推力w 风对船体部分的阻力p推力w的分解 wp阻力p的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型假设 w与帆迎风面积s1成正比，p与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且 s1远大于 s2 .f1航行方向的推力p1 航行方向的阻力w1=wsin()f1=w1sin=wsin sin()p1=pcos模型假设 wpw1w2f1f2p2p1

46、 w2与帆面平行，可忽略. f2, p2垂直于船身，可由舵抵消.模型建立w=ks1, p=ks2船在正东方向速度分量v1=vcos 航向速度v与力f=f1p1成正比.v=k1(f1p1)v1v2) 令 = /2, v1=k1 w(1cos)/2pcoscos 求使v1最大（w=ks1, p=ks2）1) 当固定时求使f1最大f1=wcos(2)cos/2 = /2 时 f1=w(1cos)/2最大= k1(f1p1)cosf1=w1sin=wsin sin()p1=pcos求, ,使 v1最大模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解60 75 1 t 2v1最大备注

47、只讨论起航时的航向，是静态模型. 航行过程中终点B将不在正东方，应调整和 . 记 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2 =( k1w/2)1(1+2p/w)coscos w=ks1, p=ks21/4cos s22.8 天气预报的评价 明天是否下雨的天气预报以有雨概率形式给出. 问题已得到某地一个月4种预报方法的有雨概率预报，和实际上有雨或无雨的观测结果. 日期预报A(%)预报B (%)预报C (%) 预报D (%)实测(有雨=1,无雨=0)190309060 1240305080130151030201003031803050100怎样根据这些数据对4种预报方法给以评价 9天有雨22天无

48、雨全相同计数模型根据明天是否有雨的实测，统计预报的正确率 有雨概率=50% 毫无意义, 不予统计 预报C2175预报实测有雨有雨无雨无雨3预报D26预报实测有雨有雨无雨无雨 0216预报实测有雨有雨无雨无雨10311预报A预报实测有雨有雨无雨无雨09022预报B明天有雨概率50% 预报有雨明天有雨概率50% 预报无雨 正确率0.57正确率0.71正确率0.81正确率0.93计数模型从实用角度看，更重要的是误报率. 预报无雨而实测有雨的概率P2 预报有雨而实测无雨的概率P1 预报C2175预报实测有雨有雨无雨无雨3预报D26预报实测有雨有雨无雨无雨 0216预报实测有雨有雨无雨无雨10311预报

49、A设两种后果的损失之比为1 : 2P1=10/16P2=3/14误报率P=P1/3+2P2/3=0.35 误报率P=0.20 误报率P=0.06 造成预防费用浪费 预防不足导致损失 误报率P=P1/3+2P2/3 缺点: 未考虑预报概率的具体值 记分模型将预报有雨概率与实测结果比较并记分 模型1 pk第k天预报有雨概率vk=1第k天有雨， vk=0无雨第k天的预报得分 对k 求和得到预报的分数S1 S1 (A) =1.0， S1 (B) = 2.6， S1 (C) = 7.0， S1 (D) = 6.7 预报有雨概率0.5 得到相应的正分 S1越大越好 记分模型模型2pk第k天预报有雨概率vk

50、=1第k天有雨， vk=0无雨第k天的预报得分 对k 求和得到预报的分数S2 S2越小越好 S2 (A) =14.5，S2 (B) = 12.9， S2 (C) = 8.5， S2 (D) = 8.8 模型3第k天的预报得分 对k 求和得到预报的分数S3 S3越小越好 S3 (A) =8.95，S3 (B) = 6.39， S3 (C) =4.23， S3 (D) =3.21 记分模型S2 (A) =14.5，S2 (B) = 12.9， S2 (C) = 8.5， S2 (D) = 8.8 S3 (A) =8.95，S3 (B) = 6.39， S3 (C) =4.23， S3 (D) =3

51、.21 S1 (A) =1.0， S1 (B) = 2.6， S1 (C) = 7.0， S1 (D) = 6.7 模型1, 2对4种预报的优劣排序、相对分差都相同f理论上的有雨概率 模型3的期望分数 p预报有雨概率v=1有雨， v=0无雨P(v=1)= f, P(v=0)= 1 f 比较模型3与模型2的优劣 p=f 时E(S)最小等价! 考察一般模型 求E(S)的极值 此意义下模型3最佳！ 仅当n=2时p=f才能E(S)最小 图形模型(1) (1) (1) (3) (1) (2) * * * * * *(1)(1)(2)(3)(3)(1)(3)(2)(4)(2) * * * * * * *

52、* * *0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0预报A(1)(1) (2) (1) (1)(3) * * * * * * (5)(6)(4)(1)(1)(2)(3) * * * * * * *0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0预报C(2)(4)(4)(6)(5)(1) * * * * * * 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0 (2)(1)(1)(2)(3) * * * * *预报D (22) * 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1pv=1v=0预报B(9) *号几乎随机分布, 预报效果很差 模型1 *号的p没有变化, 毫无用途 v=0*号

53、在p=0.6左边,无雨预报较好; v=1 *号分散 ,有雨预报较差 v=0 *号在p=0.5左边,v=1 *号在p=0.4右边,无雨、有雨预报都好 *上( )中数字是坐标在*的天数 图形模型模型2 0.5* * * * * * * * * *0.5p0q预报A*0.50.5p0q预报B * * * * * * * *0.50.5p0q预报C * * * * * * * * 0.50.5p0q预报Dp 预报有雨概率, q实测有雨天数比例p和q越接近越好 *离对角线越近越好 *几乎均匀分布,明显不好 只有一个*, 几乎在q=p上 比A好一些 未显示出优势 模型缺陷 不能用于预报B的情况 数据量小可

54、能是预报D未得到正确评价的原因 用*与q=p的竖直距离度量模型的优劣, 并考虑各个*的权重，模型2可量化为分数模型 .深入讨论 评价预报的优劣，需制定评价标准 无统一看法, 提出三类层次、内涵不同但相互关联的标准 第一类标准：预报者本身的一致性 指预报者根据知识、信息和经验对预报的事件做出的判断，与他对外发布的预报之间的关系. 不完全一致 预报者没有利用全部判断，只从使用者的需要出发. 出于预报效益等考虑，对判断作了适当改变.一致性受预报者控制，外界通常难以掌握 在预报以概率形式给出的情况下，当预报与预报者的判断一致时，才会得到与实际观测最相符的结果. 深入讨论 第二类标准: 根据预报和实测间

55、的关系,评价预报的品质 利用预报(随机变量x)与观测(随机变量y)的联合分布F(x, y) 可靠性 决定性 将特定预报x下观测y的条件均值与x之差对所有x平均,作为可靠性的数量指标. 由条件分布F(yx) 和边际分布F(x) 计算得到 将特定预报x下观测y的条件均值与y的无条件均值之差对所有x平均, 作为决定性的数量指标. 越小越好 越大越好 深入讨论 第二类标准: 根据预报和实测间的关系,评价预报的品质 分辨度 敏锐性 将特定观测y下预报x的条件均值与y之差对所有y平均,作为分辨度的数量指标. 越小越好 将这个条件均值与y的无条件均值之差对所有y平均, 作为分辨度的又一数量指标. 越大越好

56、预报本身的敏锐, 与事件无关. 由边际分布F(x)决定. 如预报有雨概率多数接近1或0. 由条件分布F(xy) 和边际分布F(y) 计算得到 不确定性 实际事件发生的不确定，与预报无关.会给预报带来困难 深入讨论 第二类标准: 根据预报和实测间的关系,评价预报的品质 由边际分布F(y)决定 计数、记分、图形模型都从某一侧面反映第二类标准. 第三类标准：利用预报所实现的效益或带来的费用 用决策分析法估计预报的效益或费用的期望值，与不用预报(做先验估计)相比. 与预报的品质，即第二类标准密切相关. 在谷物种植、耕种计划、水果保护等领域有广泛应用. 第三章 简单的优化模型-静态优化模型3.1 存贮模

57、型3.2 生猪的出售时机 3.3 森林救火3.4 消费者的选择3.5 生产者的决策3.6 血管分支3.7 冰山运输 现实世界中普遍存在着优化问题. 建立静态优化模型的关键之一是根据建模目的确定恰当的目标函数. 求解静态优化模型一般用微分法. 静态优化问题指最优解是数(不是函数).简单的优化模型(静态优化)3.1 存贮模型问 题配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费. 该厂生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出.已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元. 试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（生产周期），每

58、次产量多少，使总费用最小.要求不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与需求量、准备费、贮存费之间的关系.问题分析与思考 每天生产一次, 每次100件,无贮存费,准备费5000元.日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元. 10天生产一次, 每次1000件，贮存费900+800+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元. 50天生产一次,每次5000件, 贮存费4900+4800+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元.平均每天费用950元平均每天费用2550元10天生产一次,平均每天费用最小吗?每天费用5000元 这是一个优化问题，关键在建立

59、目标函数.显然不能用一个周期的总费用作为目标函数.目标函数每天总费用的平均值. 周期短，产量小 周期长，产量大问题分析与思考贮存费少，准备费多准备费少，贮存费多存在最佳的周期和产量，使总费用（二者之和）最小.模 型 假 设1. 产品每天的需求量为常数 r；2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2；3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量 为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；建 模 目 的设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小.4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理.模 型 建 立0tq贮存量表示为时间的函数 q(t)TQrt

60、=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以需求速率r递减，q(T)=0.一周期总费用每天总费用平均值（目标函数）离散问题连续化一周期贮存费为A=QT/2模型求解求 T 使模型解释定性分析敏感性分析参数c1,c2, r的微小变化对T,Q的影响T对c1的(相对)敏感度 c1增加1%, T增加0.5%S(T,c2)=1/2, S(T,r)=1/2c2或r增加1%, T减少0.5%经济批量订货公式（EOQ公式） 用于订货供应情况:不允许缺货的存贮模型模型应用T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元) 回答原问题c1=5000, c2=1，r=100 每天需求量 r，每次订货费 c1, 每