两次函数的性质及练习

1、两次函数的性质及练习第1页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日XYO1122334455-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5根据右边已画好的函数图象回答问题：(1)抛物线 ，当自变量X增大时，函数值y将怎样变化？(2)抛物线 ，当自变量X增大时，函数值y将怎样变化？先减小，后增大.先增大，后减小.当x 时,y随着x的增大而减小当x 时,y随着x的增大而增大.当x 时,y随着x的增大而增大当x 时,y随着x的增大而减小.-2-222思考：二次函数的增减性由什么确定的？新知探索直线x=-2直线x=2第2页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日XYO112233

2、4455-1-2-3-4-5-1-2-3-4-5根据右边已画好的函数图象填空：(1)抛物线 的 顶点是图象的最 点。(2)抛物线 的 顶点是图象的最 点。该函数有没有最大值和最小值？该函数有没有最大值和最小值？当x=_时,y有最_值=_当x=_时,y有最_值=_低高-2小-12大-1思考：函数最大值或最小值由什么确定的？新知探索第3页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质.顶点坐标与对称轴.位置与开口方向.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(ax20,试比较y1与

3、y2的大小.综合练习第6页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日练习二：一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线。（1）求铅球所经过的路线的函数解析式和自变量取值范围。（2）铅球的落地点离运动员有多远？y(m)x(m)o(0,1.5)(4,3)第7页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日(1).每个图象与x轴有几个交点？(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?二次函数与一元二次方

4、程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.y=x2+2xy=x2-2x+1y=x2-2x+2第8页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: 有两个交点, 有一个交点, 没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一 元二次方程ax2+bx+c=0的根.(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?第9页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期

5、日抛物线与X 轴的交点个数能不能用一元二次方程的知识来说明呢？0=00OXY第10页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点一元二次方程ax2+bx+c=0的根一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式=b2-4ac有两个交点有两个相异的实数根b2-4ac 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac 0第11页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日求二次函数图象y=x2-3x+

6、2与x轴的交点A、B的坐标。解：A、B在x轴上， 它们的纵坐标为0， 令y=0，则x2-3x+2=0 解得：x1=1，x2=2； A（1，0） ， B（2，0）你发现方程 的解x1、x2与A、B的坐标有什么联系？x2-3x+2=0举例:第12页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日结论1：方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此，抛物线与一元二次方程是有密切联系的。即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2， 则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A（ ）， B（ ）x1，0 x2，0 xOABx1x2y

7、第13页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日二次函数图象y=ax2+bx+c如果图象的顶点在x轴上，则如果图像的顶点在y轴上，则二次函数图象y=-x2+2（m-1）x+2m-m2（1）图像关于y轴对称，则m =（2）图像经过原点，则m=（3）图像与坐标轴只有2个交点，则m=第14页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日( 1 )图象过A(0，1) 、B（1，2）、C（2，-1）三点 (1) 已知抛物线y=ax2+bx+c满足下列条件,求函数的解析式.（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c图象过A(0，1) 、B（1，2）、C（2，-1）三点y= -2

8、x2+3x+1求函数的解析式的几种方法第15页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日（2）图象顶点是（-2，3），且经过点（-1，5）解：图象顶点是（-2，3）设其解析式为y=a（x+2）2+3图象经过点（-1，5）5=a（-1+2）2+3a=2y=2（x+2）2+3第16页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日xyo解：A(1，0)，对称轴为x=2抛物线与x轴另一个交点C应为（3，0）设其解析式为y=a(x-1)(x-3)B（0，-3）-3=a（0-1）（0-3）a= -1y= -(x-1)(x-3)（3）图象经过A（1，0）、B（0，-3），且对称轴是直线x

9、=21AB-3C32第17页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日4、求满足下列条件的抛物线的解析式：经过点A（2，4），B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2解： B（-1，0）且在x轴上截得的线段长为2抛物线与x轴的另一个交点坐标为C（-3，0）或C（1，0）设抛物线的解析式为y=a（x- x1）（x- x2）当抛物线经过B、C两点时，解析式为y=a（x+1）（x+3）又抛物线经过A（2，4）4=a（2+1）（2+3）当抛物线经过B、C 两点时，解析式为y=a（x+1）（x-1）解法同(1)xyoB-1- 31CCa=y= （x+1）（x+3）第18页，共45页，2022

10、年，5月20日，2点37分，星期日例2：已知抛物线y=（x+1）2-2，将此抛物线分别作轴对称变换，请分别求出变换后的抛物线。（1）关于x轴作轴对称变换（2）关于y轴作轴对称变换（-1，-2）（-1，2）(-1,-2)(1,-2)第19页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日已知抛物线y=x2-2x-3，将其图像作以下对称，请写出对称后的抛物线。熟能生巧（1）关于x轴作轴对称变换（2）关于y轴作轴对称变换第20页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日已知抛物线y=x2-2x-3，将其图像作以下对称，请写出对称后的抛物线。 （1）关于顶点中心对称（2）关于原点中心

11、对称函数y=a(x+m)2+k若关于顶点对称，则变为y=-a(x+m)2+k若关于原点对称，则变为y=-a(x-m)2-k例3：(1,-4)(1,-4)(-1,4)(1,-4)第21页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日第22页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日xyo1-3-2练习1、 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示对称轴x=_顶点坐标:_当x=_时,y有最_值是_函数值y0时,对应x的取值范围是_函数值y=0时,对应x的取值范围是_当x_时,y随x的增大而增大.-1(-1,-2)-1 小-2-3x1x1-3或1-1第23页，共45页，2022

12、年，5月20日，2点37分，星期日练一练：抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、 b2-4ac的符号：xyo第24页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日练一练：已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（ ，a）在（ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 xoyD第25页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日练习2、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,下列结论a+ b + c0 abc0 b=2a。其中正确的结论的个数是（ ）A 1个 B 2个 C 3个 D 4个xyO-11mnD第26页，共45页

13、，2022年，5月20日，2点37分，星期日已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图象是图中的（ ）练一练：xyoxyoxyoxyo（A）（B）（C）（D）C第27页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日xyo展开你想象的翅膀 已知二次函数 图象，尽可能多的说出一些结论.(-1,0)(3,0)(0,-3)数形结合（1）a 0，b 2x+3第35页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日你知道 的解的个数吗？第36页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日4,将抛物线y=x2向下平移后,使它的顶点C与它在x轴

14、上的两个交点A,B组成等边三角形ABC,求此抛物线的解析式.第37页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日5,已知二次函数y=2x2+8mx+2m+3,如果它的图像的顶点在x轴上,求m的值和顶点坐标.6,已知抛物线y=0.25x2,把它的顶点移到x轴上的点A, 所得的抛物线与y轴交于点B,且线段OA,OB满足关系OA-1 =OB,试说明平移方法.第38页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日第39页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日练习一：一座拱桥的示意图如图，当水面宽12m时，桥洞顶部离水面4m。已知桥洞的拱形是抛物线，要求该抛物线的函数解

15、析式，你认为首先要做的工作是什么？如果以水平方向为x轴，取以下三个不同的点为坐标原点：（1）点A，（2）点B，（3）抛物线的顶点C得的函数解析式相同吗？请试一试。哪种取法求得的函数解析式最简单？ABC4m12m第40页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日第41页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日第42页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日EDBCOAxy练习2、已知m,n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且mn,抛物线y=-x2+bx+c的图像经过点A(m,0),B(0,n)(1)求这个抛物线的解析式(2)设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和三角形BCD的面积第43页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日提高拓展已知抛物线yax2bxc与Y轴交于点A(0,3),与X轴分别交于B(1,0),C(5,0)两点（1）求此抛物线的解析式（2）若点D为线段OA的一个三等份点，求直线DC的解析式（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达X轴上的某点（设为点E）,再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F）,最后运动到点A,求使点P运动的总路径最短的点E,F的坐标，并求出这个最短路径长第44页，共45页，2022年，5月20日，2点37分，星期日3、（07.烟台）如图