2021-2022学年安徽省滁州市定远县第四中学高三数学理期末试题含解析

1、2021-2022学年安徽省滁州市定远县第四中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线=1的左、右焦点分别为F1、F2，过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（）Ay=3xBy=2xCy=（+1）xDy=（1）x参考答案：C【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，可得|BF1|=2a，求出B

2、的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程【解答】解：过F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|=|CF2|，|BF1|=2a，设切点为T，B（x，y），则利用三角形的相似可得x=，y=B（，）代入双曲线方程，整理可得b=（+1）a，双曲线的渐近线方程为y=（+1）x，故选：C【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，考查学生的计算能力，比较基础2. 曲线在点处的切线方程是 ( ) ABCD参考答案：A略3. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率

3、精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（参考数据：sin15=0.2588，sin7.5=0.1305）A. 12 B.18 C.24 D. 32 参考答案：C4. 抛物线y2=2px（p0）的焦点为F，A、B为抛物线上的两个动点，且满足AFB=60过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）ABC1D2参考答案：C考点： 抛物线的简单性质专题： 不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得

4、|AB|2=（a+b）23ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案解答： 解：设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b由余弦定理得，|AB|2=a2+b22abcos60=a2+b2ab配方得，|AB|2=（a+b）23ab，又ab（） 2，（a+b）23ab（a+b）2（a+b）2=（a+b）2得到|AB|（a+b）1，即的最大值为1故选C点评： 本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题5. 已知函数f（x）=（2a）（

5、x1）2lnx，g（x）=xe1x（aR，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0（0，e，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，则a的取值范围是（）A（，B（，C（，2）D，）参考答案：A【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性【分析】根据若对任意给定的x0（0，e，在区间（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，得到函数f（x）在区间（0，e上不单调，从而求得a的取值范围【解答】解：g（x）=（1x）e1x，g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e上单调递减，又因为g（0）=0，g（1）=

6、1，g（e）=e2e0，g（x）在（0，e上的值域为（0，1，当时，f（x）=0，f（x）在处取得最小值，由题意知，f（x）在（0，e上不单调，所以，解得，所以对任意给定的x0（0，e，在（0，e上总存在两个不同的xi（i=1，2），使得f（xi）=g（x0）成立，当且仅当a满足条件且f（e）1因为f（1）=0，所以恒成立，由f（e）1解得综上所述，a的取值范围是故选：A6. 已知复数，则的共轭复数是 （ ）A.B. C. D.参考答案：A7. 设区间是方程的有解区间，用二分法算法求出方程在区间上的一个近似解的流程图如图，设a,b，现要求精确度为，图中序号，处应填入的内容为（ ）A. B. C

7、. D. 参考答案：B略8. （5分）ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若+=0，且|=|，则?等于（） A B C 3 D 2参考答案：C【考点】： 向量在几何中的应用【专题】： 计算题【分析】： 由题意画出图形，条件可得点O是AB的中点，且三角形为直角三角形，然后根据向量的数量积公式进行求解即可解：由题意因为ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，+=0，且 =1，对于+=0则，点O是BC的中点，且三角形为直角三角形AB=1，CB=2，CA=?=故选C【点评】： 本题主要考查了向量在几何中的应用，以及外接圆的定义，同时考查了学生的分析问题和数形结合的能力，属于中档题9. 已知复数z满足=1+

8、4i，则复数z的虚部为（）A3B11C11iD11参考答案：A【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】由复数z满足=1+4i，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求【解答】解：由复数z满足=1+4i，得=，则复数z的虚部为：3故选：A10. 下列函数中既有奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）ABCD参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知等比数列an的各项均为正数，若a1=3，前三项的和为21，则a4+a5+a6= 参考答案：168【考点】等比数列的性质 【专题】计算题；等差数列与等比数列【分析】由题意可得公比，而a4+a5+a6=（a1+a2

9、+a3）?q3，代入求解可得【解答】解：可设等比数列an的公比为q，（q0）由题意可得a1+a2+a3=3+3q+3q2=21，解之可得q=2，或q=3（舍去）故a4+a5+a6=（a1+a2+a3）?q3=218=168故答案为：168【点评】本题考查等比数列的性质，整体法是解决问题的关键，属中档题12. 在数列an中，a1=1，a1+=an（nN*），则数列an的通项公式an= 参考答案：【考点】数列递推式【分析】a1=1，a1+=an（nN*），n2时，a1+=an1相减可得： =再利用递推关系即可得出【解答】解：a1=1，a1+=an（nN*），n2时，a1+=an1=anan1，化为

10、： =2a1=2an=故答案为：【点评】本题考查了数列递推关系、通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13. 在ABC中，a=2,c=4，且3 sin A =2 sin B,则cos C= .参考答案： 14. 古代数学家杨辉在沈括的隙积数的基础上想到：若由大小相等的圆球剁成类似于正四棱台的方垛，上底由aa个球组成，杨辉给出求方垛中圆球总数的公式如下：S=（a2+b2+ab+），根据以上材料，我们可得12+22+n2= 参考答案：【考点】数列的求和【分析】由题意，在S=（a2+b2+ab+）中，则12+22+n2表示最下层为n，最上层1，则令a=1，b=n，代入即可求出对应的结果【解答

11、】解：由题意，在S=（a2+b2+ab+）中，令a=1，b=n，则S=（12+n2+1?n+）=（n+1）（2n+1）=12+22+n2故答案为：【点评】本题考查了类比推理的应用问题，数列的前n项和，属于基础题目15. 函数的递增区间为 。参考答案：令，则在定义域上单调递增，而，在上单调递增，所以函数的递增区间为。16. 若正数x，y满足+=2，则xy的最小值是参考答案：6考点： 基本不等式 专题： 不等式的解法及应用分析： 利用基本不等式的性质即可得出解答： 解：正数x，y满足+=2，化为xy6，当且仅当=1时取等号则xy的最小值是6故答案为：6点评： 本题考查了基本不等式的性质，属于基础题

12、17. 已知数列满足则的最小值 _.参考答案：19三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数f（x）=2sin2x+cos（2x）（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在（0，）上的单调递增区间参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象【分析】（）利用降次公式和两角和与差的公式化简，化为y=Asin（x+）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，（）最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间【解答】解：（）函数f（x）=2sin2x+cos（2x）化简可得：f（x）=1cos2x+cos

13、2x+sin2x=1+sin（2x）函数的最小正周期T=（）由，kZ，得xf（x）在（0，）上的单调递增区间为（0，19. 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如表：试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？资金单位产品所需资金（百元）空调机洗衣机月资金供应量（百元）成本3020300劳动力（工资）510110单位利润68参考答案：

14、【考点】简单线性规划的应用【分析】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解【解答】解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P，则P=6x+8y，由题意有30 x+20y300，5x+10y110，x0，y0，x、y均为整数由图知直线y=x+P过M（4，9）时，纵截距最大这时P也取最大值Pmax=64+89=96（百元）故当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获得最大利润9600元20. 在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：（a为参数），在以原点O为极点，x轴的非负半轴为

15、极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为（1）求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）过点M（1，0）且与直线l平行的直线l1交C于A，B两点，求点M到A，B两点的距离之积参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）利用参数的几何意义，即可求点M到A，B两点的距离之积【解答】解：（1）曲线C：（a为参数），化为普通方程为：，由，得cossin=2，所以直线l的直角坐标方程为xy+2=0（2）直线l1的参数方程为（t为参数），代入，化简得：，得t1t2=1，|MA|?|MB|=|t1t2|

16、=121. 已知函数（，）的图象恒过定点，椭圆：（）的左，右焦点分别为，直线经过点且与：相切（1）求直线的方程；（2）若直线经过点并与椭圆在轴上方的交点为，且，求内切圆的方程参考答案：解：（）易知定点，的圆心为，半径当轴时，的方程为，易知和相切2分当与轴不垂直时，设的方程为，即，圆心到的距离为 由和相切，得，解得 于是的方程为综上，得直线的方程为，或 4分（）设，则由，得又由直线的斜率为，得， 6分于是有，是等腰三角形，点是椭圆的上顶点易知 8分于是内切圆的圆心在线段上设，内切圆半径为则，由点到直线的距离，解得 10分 故内切圆的方程为 12分22. （本题满分12分）已知数列an中，a2=1，前n项和为Sn，且（1）求a1，a3；（2）求证：数列an为等差数列，并写出其通项公式；（3）设，试问是否存在正整数p，q(其中1pq)，使b1，bp，bq成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由参考答案：(1)令