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1、算符的对易关系和两个力学量同时有确定值的条件（一）两力学量同时有确定值的条件（一）算符的对易关系1. 定义:为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易子或对易括号： , - 2. 对易子的性质： , = - , 2) , = 03) , C = 0 C是任意常数4) ,+ = , + , 5) , = ,+ , 6) , + , + , , = 0 上面的第六式称为 Jacobi 恒等式。左边1,2,3式不证自明的我们只证第5式基本对易关系同样可以证明另外两个式， 坐标和动量的其它对易关系如下,它们的证明是显然的.坐标算符与其共轭动量不对易,但与其非共轭动量对易，各坐

2、标之间对易,各动量之间相互对易。可以简单表示为:注意： 当 与 对易， 与 对易，不能推知 与 对易与否。例如： 角动量算符的对易关系证：同理可以证明另外两式.两力学量同时有确定值的条件体系处于任意状态 （x）时，力学量 F 一般没有确定值。如果力学量 F 有确定值， （x）必为 F 的本征态，即如果有另一个力学量 G 在 态中也有确定值， 则 必也是 G 的一个本征态，即结论：当在 态中测量力学量 F 和 G 时，如果同时具有确定值，那么 必是 二力学量共同本征函数。1. 定理：若两个力学量算符有一组共同完备的 本征函数系，则二算符对易。证：由于 n 组成完备系，所以任意态函数 (x) 可以按其展开：则因为 (x) 是任意函数,所以2. 逆定理：如果两个力学量算符对易，则此二算符有组成完备系的共同的本征函数。推广到二个以上的算符可以把上面的讨论归结为如下一个定理.逆定理的证明从略定理：一组力学量算符具有共同完备本征函数系的充要条件是这组算符两两对易。例 1

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