高中数学必修二 6.2.1向量的加法运算

1、6.2.1向量的加法运算一二三一、向量的加法及其运算法则1.思考 (2)物理上如何求两个不共线力F1,F2的合力F? 一二三(3)如图表示橡皮条在两个力的作用下,沿着GC的方向伸长了EO;图表示撤去F1和F2,用一个力F作用在橡皮条上,使橡皮条沿着相同的方向伸长了相同的长度.根据物理学知识,F1和F2两个力的和与力F相等吗?提示相等.一二三(4)当向量a,b是两个非零的共线向量时,如何求两个向量的和向量?提示当向量a,b是共线向量时,不能用平行四边形法则作出两个向量的和向量,但可以用三角形法则作出两个向量的和向量,分两向量同向和反向两种情形:同向一二三反向 (5)向量加法的平行四边形法则和三角

2、形法则有什么区别?它们的本质是一致的吗?提示区别有两个:三角形法则中强调“首尾相接”,平行四边形法则中强调的是“共起点”;三角形法则适用于所有的两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半,当两个向量不共线时,两种加法法则在本质上是一致的.一二三2.填空(1)向量加法的定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法,两个向量的和仍然是一个向量.一二三(4)三角形法则与平行四边形法则的记忆口诀:三角形法则:作平移,首尾连,由起点指终点;平行四边形法则:作平移,共起点,四边形,对角线.(5)规定:对于零向量与任意向量a,规定:a+0=

3、0+a=a.一二三3.做一做(1)如图,已知向量a,b,求作向量a+b.一二三(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.对于任意两个向量,都可利用平行四边形法则求出它们的和向量.()如果a,b是共线的非零向量,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同.()若a+b=0,则a=0且b=0.()答案:一二三二、向量加法的运算律1.思考(1)我们已经学习了实数的加法,你能说出实数相加有哪些运算律吗?提示实数相加的运算律有加法交换律,即对任意a,bR,有a+b=b+a;还有加法结合律,即对任意a,b,cR,有(a+b)+c=a+(b+c).一二三(2)类比实数的加法交换律,

4、请探究一下向量加法的交换律是否成立.一二三(3)类比实数的加法结合律,请探究一下向量加法的结合律是否成立.一二三2.填空(1)向量加法的交换律:a+b=b+a;(2)向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c).3.做一做一二三三、|a+b|与|a|,|b|之间的关系1.思考(1)教材P8的例1中,|a+b|与|a|,|b|有什么大小关系?提示当a,b不共线时,根据三角形法则构造图形,因为三角形中两边之和大于第三边,两边差的绝对值小于第三边,可得|a|-|b|a+b|a|+|b|.(2)当向量a,b共线时,|a+b|与|a|,|b|有什么大小关系?提示当a,b共线且同向时,|a+b|=|a

5、|+|b|;当a,b共线且反向时,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).一二三2.填空对任意两个向量a,b,有|a|-|b|a+b|a|+|b|.3.做一做答案:3,13解析:根据公式|a|-|b|a+b|a|+|b|直接计算可得.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练已知向量作和向量例1如图,已知向量a,b,c不共线,作向量a+b+c.分析利用三角形法则或平行四边形法则先作出两个向量的和向量再作出三个向量的和向量探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟 求作和向量的方法(1)利用三角形法则.在平面内任取一点,以该点为始点,将两向量平移到首尾相接,从另

6、外一个始点到另外一个终点的向量就是这两个向量的和.一定要注意首尾相接.(2)利用平行四边形法则.在平面内任取一点,从此点出发分别作两个向量等于已知向量,以这两个向量所在线段为邻边作平行四边形,以所取的点为始点的对角线所对应的向量就是这两个向量的和.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用向量加法运算或化简例2化简下列各式:分析根据向量加法的交换律变为首尾相接的向量,然后利用结合律求解.反思感悟 解决向量加法运算时应关注两点(1)可以利用向量的几何表示,画出图形进行化简或计算.(2)要灵活应用向量加法运算律,注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序,特别注

7、意勿将0写成0.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练利用向量加法法则解决实际问题例3在某地抗震救灾中,一架飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员,然后又从B地按南偏东55的方向飞行800 km送往C地医院,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和.分析解答本题先正确画出方位图,再根据图形借助于向量求解.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练反思感悟 向量加法应用的关键及技巧(1)三个关键:一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系;二是熟练找出图形中的相等向量;三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量.(

8、2)应用技巧:准确画出几何图形,将几何图形中的边转化为向量;将所求问题转化为向量的加法运算,进而利用向量加法的几何意义进行求解.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练延伸探究 本例中,这架飞机到达C地医院后,往正南方向飞行多大距离即可由此按正西方向飞回A地?解:如图,由点C作垂线,垂足为D,探究一探究二探究三思维辨析随堂演练探究一探究二探究三思维辨析随堂演练1.若向量a表示向东北方向走5 km,向量b表示向西北方向走5 km,则向量a+b表示()答案:B解析:由向量加法的平行四边形法则可知,向量a+b表示向正北方向走5 km.探究一探究二探究三思维辨析随堂演练2.下列等式错误的是()答案:B答案:B 探究一探究二探究三思维辨析随堂演练4.如图,在ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,F为线段DE延长线上一点,DEBC,ABCF,连接CD,那么(在横线上