2024辽宁中考数学二轮专题复习 微专题 二次函数与直角三角形问题（课件）

微专题

二次函数与直角三角形问题例1题图微技能——分类讨论思想确定动点位置一阶例1

如图，已知抛物线交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C.连接AC.一题多设问探究1：在抛物线对称轴上找一点P使得△ACP为直角三角形．例1题图①(1)若AC为斜边时，∠APC＝90°；在图①中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；例1探究1：(1)满足条件的点P如解图①例1题解图①【作图依据】__________________________直径所对圆周角等于90°.例1题图②(2)若AC为直角边时，∠CAP＝_____或∠ACP＝_____；在图②中画出所有满足条件的点P的示意图(保留作图痕迹)；90°90°(2)满足条件的点P如解图②；例1题解图②例1题图③探究2：在抛物线上找一点E使得△ACE为直角三角形．在图③中画出所有满足条件的点E的示意图(保留作图痕迹).探究2:满足条件的点E如解图③、④.例1题解图③例1题解图④【方法总结】二次函数中直角三角形的存在性一般要分情况讨论：常以已知边为_____或________讨论；以自主探究1为例，已知边AC为斜边时，可以作以斜边AC为直径的圆，作图方法为：_______________，所找点即为___________的交点；若已知边AC为直角边时，作图方法为：_____________________________，所找点即为_____________的交点．斜边直角边以AC为直径画圆圆与对称轴分别过点A，C作线段AC的垂线垂线与对称轴【思考】若动点在y轴上、x轴上时，确定动点位置有什么不同呢？一题多设问二阶一题多设问例2

如图，已知抛物线y＝

x2－

x－2与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC，对称轴为直线l，顶点为M.例2题图①(1)求点A，B的坐标及抛物线的对称轴；例2

解：(1)令y＝

x2－

x－2＝0，解得x1＝－1，x2＝4，∵点A在点B的左侧，∴点A的坐标为(－1，0)，点B的坐标为(4，0)．∴抛物线的对称轴为直线x＝

；例2题图①例2题图②(2)若点G是x轴上一点，当△OCG为等腰直角三角形时，请直接写出点G的坐标；【思维教练】由于点G在x轴上，可知∠COG＝90°，要让它为等腰直角三角形，则需要分为当点G在x正半轴和负半轴两种情况讨论．【解法提示】由题意知，点C的坐标为(0，－2)．∴OC＝2.∵点G在x轴上，∴当△OCG为等腰直角三角形时，分点G在x轴正半轴和负半轴两种情况讨论：①当点G在x轴正半轴时，∵OC＝OG，∴OG＝2.∴点G的坐标为(2，0)；②当点G在x轴负半轴时，∵OC＝OG，∴OG＝2.∴点G的坐标为(－2，0)．综上所述，满足条件的点G的坐标为(2，0)或(－2，0)；(2)点G的坐标为(2，0)或(－2，0)；例2题图②例2题解图(3)抛物线对称轴上是否存在点Q，使得△OCQ是以OC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】△OCQ是以OC为直角边的直角三角形，所以需分点O为直角顶点和点C为直角顶点两种情况讨论，进而求解．【解法提示】如解图，∵点Q在抛物线的对称轴上，∴设点Q的坐标为(

，q)，∵△COQ是以CO为直角边的直角三角形，∴当∠COQ＝90°时，点Q是对称轴与x轴的交点，此时点Q的坐标为(，0)；当∠OCQ＝90°时，CQ∥x轴，∴点Q的坐标为(，－2)．综上所述，满足条件的点Q的坐标为(，0)或(，－2)；(3)存在，点Q的坐标为(，0)或(，－2)；例2题解图例2题图④(4)若点N是对称轴上一点，是否存在点N使得△NBC是直角三角形，若存在，请直接写出点N的纵坐标；若不存在，请说明理由；【思维教练】点N是对称轴l上一点，当△NBC是直角三角形时，需分∠NCB，∠NBC，∠BNC为直角时三种情况进行讨论，进而求解．【解法提示】设点N的坐标为(，t)，则CN2＝()2＋(2＋t)2，BN2＝(4－)2＋t2，BC2＝20，当△NBC是直角三角形时，分以下三种情况：①当∠NCB＝90°时，NC2＋BC2＝NB2，即()2＋(2＋t)2＋20＝(4－)2＋t2，解得t＝－5；②当∠NBC＝90°时，NB2＋BC2＝NC2，即(4－)2＋t2＋20＝()2＋(2＋t)2，解得t＝5；③当∠BNC＝90°时，NB2＋NC2＝BC2，即(4－)2＋t2＋()2＋(2＋t)2＝20，解得t＝

或

.综上所述,当△NBC是直角三角形时,点N的纵坐标为－5或5或

或

；(4)存在．点N的纵坐标为－5或5或

或

；例2题图④【拓展设问】点N是对称轴上一点，若△NBC是锐角三角形时，请直接写出点N的纵坐标n的取值范围．【思考】若△NBC是钝角三角形时，点N的纵坐标n的取值范围是什么．【拓展设问】由(4)知，当∠NCB＝90°时，t＝－5，当∠NBC＝90°时，t＝5，当∠BNC＝90°时，t＝

或t＝

，结合图象可知，当△NBC是锐角三角形时，点N的纵坐标n的取值范围是－5＜n＜

或

＜n＜5；【思考】同理可得当△NBC是钝角三角形时，点N的纵坐标n的取值范围是n＜－5或

＜n＜

或n＞5.例2题图⑤(5)点D是y轴上一点，其坐标为(0，4)．动点E是直线BD上一点，过点E作EF⊥BD，交y轴于点F，连接AF，BF，若△ABF是直角三角形，试求点E的坐标．【思维教练】点F在y轴上，所以当△ABF是直角三角形时，∠FAB和∠FBA不可能是直角，所以只能是∠AFB为直角，当∠AFB为直角时，注意要分点F在y轴的正、负半轴两种情况讨论．(5)∵点D在y轴上，且点D的坐标为(0，4)，点B的坐标为(4，0)，∴直线BD的函数表达式为y＝－x＋4，∵点E是直线y＝－x＋4上一点，∴设点E的坐标为(m，－m＋4)，∵EF⊥BD，∴易得直线EF的函数表达式为y＝x－2m＋4.∴点F的坐标为(0，－2m＋4)．∴AF2＝12＋(－2m＋4)2，BF2＝42＋(－2m＋4)2，AB2＝52＝25.例2题图⑤∵点F在y轴上，∴只能有∠AFB＝90°.即AF2＋BF2＝AB2.即12＋(－2m＋4)2＋42＋(－2m＋4)2＝25.解得m＝1或3.当m＝1时，点E的坐标为(1，3)；当m＝3时，点E的坐标为(3，1)．综上所述，当△ABF是直角三角形时，点E的坐标为(1，3)或(3，1)．例2题图⑤综合训练三阶第1题图1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象与坐标轴相交于A、B、C三点，其中A点坐标为(3，0)，B点坐标为(－1，0)，连接AC、BC.动点P从点A出发，在线段AC上以每

秒个单位长度向点C做匀速运动；同时，动点Q从点B出发，在线段BA上以每秒1个单位长度向点A做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ，设运动时间为t秒．(1)求b、c的值．解:(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)，B(－1，0)，则

，解得第1题图第1题图(2)在P、Q运动的过程中，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为多少？(2)由(1)得，抛物线表达式为y＝－x2＋2x＋3，C(0，3)，A(3，0)，∴△OAC是等腰直角三角形，由点P的运动可知AP＝

t，如解图，过点P作PE⊥x轴，垂足为E，∴AE＝PE＝

＝t，即E(3－t，0)，E∟＝×4×3－×[3－(－1＋t)]t＝

t2－2t＋6，∵当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,AC＝

，AB＝4，∴0≤t≤3，∵＞0，∴当t＝2时，四边形BCPQ的面积最小，最小值为×22－2×2＋6＝4；E∟又Q(－1＋t，0)，∴S四边形BCPQ＝S△ABC－S△APQ第1题图(3)在线段AC上方的抛物线上是否存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)存在点M，使△MPQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形.理由如下：∵点M是线段AC上方的抛物线上的点，第1题解图②如解图②，过点P作x轴的垂线，交x轴于点E，过M作EP的垂线交EP的延长线于点F，∵△PMQ是等腰直角三角形，PM＝PQ，∠MPQ＝90°，∴∠MPF＋∠QPE＝90°，又∠MPF＋∠PMF＝90°，∴∠PMF＝∠QPE，在△PFM和△QEP中，∴△PFM≌△QEP(AAS)，第1题解图②∴MF＝PE＝t，PF＝QE＝4－2t，∴EF＝4－2t＋t＝4－t，∴点M的坐标为(3－2t，4－t)，∵点M在抛物线y＝－x2＋2x＋3上，∴4－t＝－(3－2t)2＋2(3－2t)＋3，解得t＝

或

(舍去)，∴点M的坐标为(，)．第1题解图②第2题图2.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A(－2，0)、B(6，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的表达式；解:(1)设抛物线的表达式为y＝a(x＋2)(x－6)，把点C(0，－3)代入，得－3＝a(0＋2)(0－6)，解得a＝

，∴抛物线的表达式为：y＝(x＋2)(x－6)＝

x2－x－3；第2题图(2)点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当

最大时，求点P的坐标及

的最大值；设点P的坐标为(n，

n2－n－3)(0＜n＜6)，则OE＝n，设直线AP的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，根据题意得

解得(2)如解图，过点P作PE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，则MF∥PE，F∟E∟∴直线AP的解析式为y＝(n－6)x＋(n－6)，设直线BC的解析式为y＝mx＋a(m≠0)，根据题意得

解得

，∴直线BC的解析式为y＝

x－3，联立直线AP和BC的解析式得

解得第2题图F∟E∟即点M的坐标为(，)，则OF＝

，∴EF＝=，AF＝

，又∵MF∥PE，∴

，∴第2题图F∟E∟∵

＜0，0＜n＜6，∴当n＝3时，

有最大值，最大值为

，此时点P的坐标为(3，)，

的最大值为.第2题图F∟E∟第2题图(3)在(2)的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标;若不存在，请说明理由．【解法提示】设点D的坐标为(3，m)，∵B(6，0)，C(0，－3)，∴BD2＝m2＋9，CD2＝(m＋3)2＋9，BC2＝45，①当∠BCD＝90°时，有BD2＝CD2＋BC2，∴m2＋9＝(m＋3)2＋9＋45，整理得：6m＝－54，解得m＝－9，∴点D的坐标为(3，－9)；②当∠BDC＝90°时，有BC2＝BD2＋CD2，∴45＝m2＋9＋(m＋3)2＋9，整理得．m2＋3m－9＝0解得m1＝

，m2＝

，∴点D的坐标为(3，)或(3，)；③当∠CBD＝90°时，有CD2＝BC2＋BD2，∴(m＋3)2＋9＝45＋m2＋9，解得m＝6，∴点D的坐标为(3，6)；第2题图综上所述，满足条件的点D坐标为(3，－9)或(3，6)或(3，)或(3，)．(3)存在点D，使△BCD是直角三角形，点D的坐标为(3，－9)或(3，6)或(3，)或(3，)．第2题图备用图3.如图，抛物线y＝－

x2＋bx＋c与x轴交于点A和点C(－1，0)，与y轴交于点B(0，3)，连接AB，BC，点P是抛物线第一象限上的一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交AB于点E.第3题图(1)求抛物线的解析式；解:(1)∵抛物线y＝－

x2＋bx＋c经过C(－1，0)，B(0，3)两点，∴，解得

∴抛物线的解析式为:

；第3题图(2)如图①，作PF⊥PD于点P，使PF＝

OA，以PE，PF为邻边作矩形PEGF.当矩形PEGF的面积是△BOC面积的3倍时，求点P的坐标；(2)令y＝0，∴

，解得x1＝－1，x2＝4，∴A点坐标为(4，0)，设直线AB的解析式是y＝kx＋m，把A(4，0)，B(0，3)代入得

，

解得

，∴直线AB的解析式是

，设点P坐标为(x，)，则点E坐标为(x，)，∴PE＝

，∴S矩形PEGF＝PF·PE＝

OA·PE＝×4×PE＝2(－

x2＋3x)，∵S△BOC＝

OC·OB＝×1×3＝

，∵S矩形PEGF＝3S△BOC＝3×＝

，∴

，解得x1＝1，x2＝3，∴点P的坐标为(1，)或(3，3)；第3题图(3)如图②，当点P运动到抛物线的顶点时，点Q在直线PD上，若以点Q，A，B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．【解法提示】抛物线