向量法解立体几何的运算特点及策略

1、向量法解立体几何问题中的运算策略潘承猛（广西壮族自治区南宁市广西大学附属中学，530004）在高考全国卷中，立体几何是一道必考解答题，其中理科数学解答题的第（II）问主要 考察向量法解决空间角的问题.这道题是数学科临界生高考数学成绩能否达到一本有效分的 关键，大多数学生感觉这道题的运算量大、容易出错，在考试中花时间多，不易拿分.因此， 部分学生在考试中把这道题放到最后面来做或者放弃，导致数学成绩无法上升到一个新的台 阶.其实要解决这些问题关键在于“四破”：第一破“建系关”一一构建恰当的空间直角坐标系； 第二破“求点的坐标关”准确写出相关点的坐标；第三破“求法向量关”快速准确求出平 面的法向量；

2、第四破应用公式关”准确的应用公式.这四关相互关联，环环相扣，每一个 步骤的处理恰当与否都会影响到下一步的运算量及运算难度.下面我们来谈谈如何突破这四 关.第一关：如何建立合适的空间直角坐标系建立空间直角坐标系首先要保证三条坐标轴两两垂直.在实际操作中，第一步是要找线 面垂直，一般是找垂直于底面的直线，这条直线或与这条直线平行的直线作为z轴.若题目条 件中没有给出线面垂直条件，则必须证明后才能建系.第二步是确定x轴与y轴，一般情况 是先将底面的直观图还原成平面图，然后找出相互垂直的两条直线分别作为x轴与y轴，如 果没有现成的两条相互垂直直线，则需要做出辅助线，并给予证明.在正确建系的基础上， 再

3、考虑如何建立合适的空间直角坐标系.合适的空间直角坐标系即要保证几何体中的相关点 坐标能求出来，还要使得这些点坐标容易求且运算简单.最容易确定坐标的点是坐标轴上的 点，其次是坐标平面上的点，因此，建系的第一个原则是使相关点尽量多的在坐标轴上.第 二个原则是图形有对称性质时，尽量对称建系.第三个原则是在尽量使得相关点的坐标为正 数、有理数、整数.这三个原则有冲突时应依次优先满足.我们来看以下例子. TOC o 1-5 h z 例1： （2013年全国I卷改编）如图，三棱柱ABC - ABC中，111-7AC = BC = AB = AA，匕BA = 60。，平面 ABC平面 AA1B1B，/ 求直

4、线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.7分析：本题应先由面面垂直证明线面垂直再建系，取AB的中点、LO，连结 OC，OA1，A B .因为 CA = CB，所以 OC AB .又d- l平面ABC 平面AABB1，交线为AB，所以OC 平面,AABB .由于 AB = AA，ZBAA = 60。，故 AAA B 为等边三 ， 11111角形，所以OA1 1 AB .故OA，OC，OA1两两互相垂直.以O为坐标原点，OA的方向为 x轴的正方向，I OA I为1个单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O - z，则A（1,0，0），4（0,招,0），B（-1，0,0），BQ2,J3,0），C（

5、0,0，招）.我们把这种建系方法记为方法1，除了这种建系方法外，学生常见的建系方法有以下三种，相对于方法1来说不足之处有：方法2方法3方法4A(0,1,0)，A(2,0,0)，A(招,0,0)，A (-73,0,0)，1气（1,方,0），A(0,1,0)，研0,-1,0)，B (0,0,0)，B(0,-1,0)，q（项,-2,0），B (-1危,0)，1B1(项,0,0)，C (0,0j3)C (1,0, J3)c（- 2，占）相关点坐标都带“一”号增多，C点和A1点的坐标变复杂，C点坐标不好确定且复杂，增增加运算因素，容易算错.增加运算难度.加运算难度.由此可见，建系是否恰当对于点的坐标的确

6、定难易有很大的影响.第二关：如何正确的求出点的坐标我们建立了合适的空间直角坐标系以后.在图形上标注线段长度，如果题目只给出线段之间的长度关系而没有给出线段具体长度，一般情况下假设最短线段为一个单位长度可以减少坐标为分数的情况.求几何体顶点的坐标应该按照先轴后面再其它的顺序来求.第一步， 先写出坐标轴上的点的坐标，坐标轴上的点的坐标有两个零.第二步，根据题目给的已知条 件把底面还原成平面图，并标注x轴和y轴，求出底面上点的坐标，坐标平面上的点的坐标 有一个坐标为零.还原底面对于正确写出坐标平面上的点的坐标至关重要，近几年高考全国 卷所给的几何体大多数是椎体，而锥体只有一个顶点不在底面上，由于底面

7、直观图相对于原 平面图是严重变形的，空间想象能力不足的学生很容易写错底面上的点的坐标.而对于顶点 的坐标，我们也只需要找出它在底面上射影点的坐标，并求出它到底面距离就可以求得顶点 的坐标.最后是其余点的坐标，一般可分为两类，第一类是定点，首先考虑该点坐标是否有 必要求出，求点的坐标是为下一步求向量做准备，如果涉及到该点的向量可以用相等向量来 替代，则不需要求出该点的坐标.若必须求出，则先看是否可以通过相等向量列方程求出该 点的坐标.最后才是考虑通过找出该点在底面上的射影求出它的坐标.下面我们以例1的4 种建系方法为例，给出将底面还原后的图形（其中C点在底面上的射影为AB的中点）：方法1方法2方

8、法3方法4A_/y将底面图形及坐标系还原后，各点坐标就容易确定多了 .其中方法3中点A1坐标是比较 容易写错，方法4中点C坐标是比较容易写错，而且问题的解答必须求出这两个点坐标.前三种方法中点B1的坐标是比较容易写错，但在解题过程中，点B1的坐标不是必须求出的，在 求面平面BBCC的法向量时，用到bc和BB，其中BB = AA，从而避免去求点B坐标.iiii 11而对于动点坐标，如果这一个动点是在坐标轴上或者是某一个坐标平面上，我们可以直 接假设这个点的坐标，如果这个点是在几何体的某一条棱上，一般情况是通过共线向量的方 法假设该点的坐标.然后根据题目所给的条件列方程求出动点的坐标.例2： （2

9、017全国II卷改编）如图所示，在四棱锥户-ABCD中，侧面PAD为等边三角 形且垂直于底面ABCD，AB = BC =1 AD，ZBAD = ZABC = 90o，点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成的锐角为45o，求二面角M - AB - D的余弦值.解：取AD的中点O，连接PO，CO.则PO AD，CO AD，因为面PAD 1底面ABCD，面 PAD I 底面 ABCD =AD，PO u WPAD，所以PO 1 面ABCD，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.设AB为1个单位长度，（、则 A（0，-1，0），B （1，-1，0 ），C （1，0，0 ），P X），0，百

10、）uuuAB = （1，0，0），CP = （-1,0 3），BC = （0,1,0）， 设 CM = xCP = x-1,0,* 3 ）=（-人,0,t 3Z， 则 bM = BC + CM =（0,1,0）+1M0、公）=l 人,1, 3人 底面ABCD的法向量n =（0,0,1），由题意 sin 45o= cos 解之得，所以BM =2的法向量，m = （x, y, z），2, 即，2v1 + 4X2，.设平面ABM-m = 0，得，AB - m = 0的余弦值为迫.5,（6,2），从而 cos ：m,n =m - n J10m - n 5故二面角M - AB - D（一亍1k）从例2可

11、以看到，点M的坐标不需具体求出来，如果需要也可以由BM =点B（1，-1，。）求出点M的坐标.第三步：求向量空间向量的坐标等于终点的坐标减去起点的坐标，这对大多数同学来说不存在什么问题， 只是在运算中尽量选坐标带“一”号少的向量，以减少运算失误.真正的问题是如何快速准确的 求出平面的法向量.求平面的法向量，比较常见的有三种方法.（1）解不定方程法我们设a = （a ,a ,a ），b = （b ,b ,b ）为平面为平面a的两个不共线向量，n = （x, y,z）是123123a - n = 0ax + a y + a z = 0平面a的一个法向量.则由 八，得不定方程组 ：:人3八，可令x(

12、或y、b - n = 0I b x + b y + b z = 0It 123z)取一个特殊值(一般是整数)，代入方程组可得一个二元二次方程组，解这个方程组即可 求出平面的一个法向量.例3：已知a = (1,2,3)，b = (2,1,1)，则求的过程如下：n - a = 0I x + 2 y + 3z = 0解：设n = (x,y,z)，则由n 1 a，n 1 b，得M ，即K八，In-b = 0I 2x + y z = 0I x + 3 y = 9I x = 5不妨设z = 3，得仁 父，解之得 ，可取n = (5,7,3) ”.2 x +y = 3I y = 7以上的常规方法比较繁琐，很

13、容易出错，特别是如新，b的坐标含有根式、参数时就更 难处理了.(1)矩阵法若a =(a ,a ,a )，b = (b ,b ,b)为平面为平面a内的两个不共线向量，123123a2b2a3b3a1b1a3b3a1b1a2b2=(a b 一 a b，-(a b 一 a b ) a b 一 a b )是平面a 的1 22 1233一个法向量.由此，例3中的法向量n = axb =1, 2一12=(5,7,-3)，这种方法需要学生熟记公式.熟练掌握以上方法，可以迅速求出平面的法向量，也降低了运算难度.但 是这种方法容易出现符号错误，要解决这个问题，最好的方法是代回检验.所以，基于检验 思想，对于一些

14、特殊情况，还有更简便的方法.(3)坐标交叉赋值其中一个变号法(坐标含0情况)如果平面a内的两个不共线向量a，b的坐标中含有零，我们就从零最多的向量入手， 通过对应坐标交叉赋值，并且改变其中一个坐标的符号的方法快速求出平面以的一个法向 量.两个向量中不妨假设a坐标含零个数最多. TOC o 1-5 h z 第一种情况，a坐标含有两个零.例如：a = (a ,0,0)，b = G ,b ,b )，则可通过观察便 1123可直接写出平面a的一个法向量n = G, y,z).由于a中x坐标不为零，所以可令法向量的x = 0，此时不管法向量的y,z取任何值(不能同时取零)都满足a n = 0，接下来只需

15、要考，一 ，、一-11虑y,z取任何值时b n = 0，显然，坐标交叉赋值其中一个变号可令y = b3,z = -b2 (或y = b ,z = b )可使得b n = 0，所以可取n =(0,b，b )(或n =(0,b ,b ) .为了便于323232记忆，可记以下有两个零的口诀：非零付零，交叉赋值，其中一个要变号.第二种情况，a坐标含有一个零.例如：a =(a ,a ,0), b =(b , b , b )，则可通过坐标 TOC o 1-5 h z 12123交叉赋值其中一个变号法设a的一个法向量n =(a，-a ,z)(或n = (-a ,a ,z)，此时满足 2121a - n =

16、0，然后再由 b - n = 0 列方程 ba + b (- a )+ bz = 0 (或 b (- a )+ ba + bz = 0 )，JL 二乙JLJJL乙乙 JLJ当b3。0时可求得z值，从而求得法向量.若b3= 0，显然可取n =(0,0,1).为了便于记忆， 可记以下只有一个零的口诀：非零坐标交叉赋值其中一个变号；有零坐标设未知数，再列方 程可求解. bfc- ,.例4：已知向量a、b是平面a内的两个不共线的向量，根据以下条件，求平面 的一个法向量n .a =(0,0,1)，b = (2,1,-1)；a =(1,0,3)，b = (2,1,-1)；(-)- a =2m,2-m,0人

17、 b = G.2,1,2).解：(1 )由a =(0,0,1)可设n = 3, y,0)，由b = (2,1,-1)的x，y坐标交叉赋值其中一个变号得 n = (1,-2,0)由a = (1,0,3)的x，z坐标交叉赋值其中一个变号可设n = (3, y,-1)，则由b 3 = 0，得2 x 3 + y + (- 1)x (-1)= 0，即 y = -7，所以，可取 n = (3,-7,-1).( 由a =2m,2-m,0的 x，y坐标交叉赋值其中一个变号可设n = (m - 2/2m, z)，则 由 b - n = 0，得 J 2)x*2 +、：2m + 2 z = 0，解得 z = 2 -

18、 ： 2m，所以，可取 n = (m 2,七2m, v2-2m).以上两种特殊情况在平时的解题中还是比较常见的情形.因此，在实战中，若平面a内 的两个不共线向量有多种选择的话，尽量选择坐标含零多的向量，点的坐标含0的越多运算 越简单.由此可见，点坐标含0的多少对法向量运算难易的影响.以上三种方法，不管是哪 一种方法我们都建议学生求出法向量以后检验是否正确.第四步：应用公式空间向量的最常见的应用是求空间角，即根据空间角与两个向量夹角关系求空间角，因 此，一定要明确以下三种空间角与对应两个向量夹角的关系.(1(1)两条异面直线所成的角。G 00,90，它与两条这两条异面直线的方向向量a,b的夹角

19、的关系是9 = 或9 =180。，所以有公式cos9 = cos .cos .(2)直线与平面所成的角9 0。,90。，它与直线的万向向量a及平面的法向量m的夹角的关系是9 = 90。-或9 =90。,所以有公式sin9 = 1(3)二面角的平面角9 峪。,180。，它与两个平面的法向量m,n的夹角的关系，若9为锐角公式是9 = 或9 = 180。，所以有公式cos9 = cos 取正号，9为钝角公式取负号.n =0,2,2、3)求这两个向量夹角余弦值时若直接由以上关系可知，空间角问题最终都转化为两个向量夹角问题，而决定两个向量夹角大 小的是两个向量方向，与向量的模无关，因此，在求两个向量夹角

20、时，可以用方向相同的向 量来替代运算以降低运算难度，其中也包含平行和垂直关系.一 83 4展 4代入公式运算量很大，因此，可将4m = -2*f2,-1Z口 2n =.，-拓)弋入公式求夹角余 3一 13 少侦。以(、,3)弦值，即cos =cos =.(诵)+(3)+(_D .,12+3)=例如已知m = 丁, 了, x( 3)_ 2* _.；31)2 12+( 3)=而瑚=3.可见，这种替代方法可以极大的降低运算量，从而提高运算的准确性.用向量求空间距离问题是利用向量数量积运算的几何意义，主要有两种类型.(1)平面外的点P到面a的距离d等于点P与面内任意一点A连线所得向量PA在平面pa - na法向量n上投影的绝对值，即d = n然后再应用勾股定理得d=(2)而直线外的一点P到直线l的距离d.可以先在直线上任意取一个点A.求出PA在PA. a直线方向向量a的投影的绝对值 a直线与平面平行时的线面距离、两个平行平面的距离、异面直线公垂线段长问题都可以 转化为