《数值分析》课程教学大纲

1、数值分析课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：12110109课程英文名称：Numerical AnalysisI 课程面向专业：信息与计算科学专业课程类型：必修课先修课程：数学分析、高等代数学分：3总学时：60( 其中理论学时：52 ；上机实验学时：8 )二、课程性质与目的本课程是研究数学问题的数值解及其理论的一个计算数学分支。通过这门课程的学习, 使学生比较系统地掌握函数插值、函数逼近与曲线拟合、数值积分、常微分方程的数值解、线性代数方程组的解法、非线性代数方程和方程组的解法、矩阵特征值与特征向量计算的基本算法和理论分析。通过本课程的学习，一方面要使学生的数学知识和思维能力得到进一步的加深

2、和提高，另一方面使学生具备运用所学的数值计算方法与计算机相结合进行科学计算以及分析和解决有关实际问题能力。三、课程教学内容与要求第一章绪论1、教学内容与要求（1）了解本课程的意义、内容和特点；（2）理解误差、有效数字及有关概念；（3）知道数值稳定性和病态问题；（4）知道数值运算中的一些原则。2、教学重点绝对误差、相对误差和有效数字。3、教学难点数值稳定性。第二章函数插值1、教学内容与要求（1）理解函数插值概念，了解插值多项式的存在性与唯一性；（2）掌握拉格朗日（Lagrange）插值法及余项公式；（3）了解差商的概念和基本性质，掌握牛顿(Newton) 插值法；（4）了解埃尔米特(Hermit

3、e)插值的概念, 会求低次Hermite插值多项式以及利用重节点的差商表构造Hermite插值多项；（5）理解分段插值的概念，掌握分段线性插值法和分段三次Hermite插值法；（6）了解三次样条(spline)插值概念和三次样条(spline)插值函数的构造方法，会求三次样条(spline)插值函数。2、教学重点格朗日（Lagrange）插值法、牛顿(Newton) 插值法和三次样条(spline)插值法。3、教学难点插值余项公式的证明和三次样条(spline)插值。第三章函数逼近与曲线拟合1、教学内容与要求（1）了解内积、内积空间、欧氏范数、函数正交等概念, 熟悉内积的性质；（2）理解函数的

4、最佳平方逼近的概念，掌握最佳平方逼近多项式的求法；（3）理解正交多项式的概念；（4）会用正交函数系作最佳平方逼近；（5）理解曲线拟合的最小二乘法的概念，掌握曲线拟合多项式的计算。2、教学重点函数的最佳平方逼近，曲线拟合的最小二乘法。3、教学难点函数的最佳平方逼近。第四章数值积分1、教学内容与要求（1）理解数值求积公式的基本概念, 理解代数精度的概念，会求一个积分公式的代数精度；（2）掌握牛顿-柯特斯(Newton-Cotes)公式, 了解几种低阶求积公式的余项；（3）掌握数值积分的复化梯形公式和复化辛卜生（Simpson）公式，了解复化柯特斯(Cotes)公式，了解复化求积的收敛性；（4）掌握

5、变步长的梯形求积分方法和龙贝格（Romberg）积分法，了解求积公式的误差；（5）了解高斯(Gauss)型求积公式；（6）了解数值微分。2、教学重点代数精度的概念，复化辛卜生（Simpson）公式，龙贝格（Romberg）积分法。3、教学难点求积公式的的余项和收敛性。第五章常微分方程的数值解1、教学内容与要求(1) 了解建立常微分数值方法的基本思想与途径；(2) 熟悉一阶常微分方程数值解的欧拉方法和改进的欧拉方法，了解局部截断误差和精度的概念；(3) 理解龙格-库塔方法的基本思想，会用二阶、三阶和四阶龙格-库塔格式；(4) 知道常微分方程数值解单步法的收敛性和稳定性；(5) 理解线性多步法,

6、会建立符合一定精度要求的线性多步格式；(6)了解预测-校正技术和外推技巧。2、教学重点一阶常微分方程数值解的欧拉方法、改进的欧拉方法和四阶龙格-库塔格式。3、教学难点常微分方程数值解单步法的稳定性和收敛性, 预测-校正技术和外推技巧。第六章线性代数方程组的解法1、教学内容与要求（1）了解向量范数与矩阵范数；（2）掌握高斯（Gauss）消去法和高斯（Gauss）主元素消去法；（3）了解矩阵分解法，会用矩阵分解法与追赶法求解线性方程组；（4）知道矩阵条件数和精度分析；（5）了解线性方程组的迭代解法。2、教学重点高斯（Gauss）消去法和高斯（Gauss）主元素消去法。3、教学难点矩阵范数，矩阵条件

7、数和精度分析。第七章非线性方程和方程组的解法1、教学内容与要求（1）知道迭代法的基本思想及收敛性；（2）掌握牛顿(Newton) 迭代法和快速弦截法；（3）了解非线性方程组的N ewton迭代法。2、教学重点：牛顿法和快速弦截法。3、教学难点：非线性方程组的Newton迭代法。第八章矩阵特征值与特征向量的计算1、教学内容与要求(1) 掌握矩阵特征值与特征向量计算的幂法和反幂法；(2) 了解Jacobi方法和QR方法。2、教学重点幂法和反幂法。3、教学难点Jacobi方法和QR方法。上机实验实验一：函数插值1、基本要求要求学生对上机实验的内容用框图或简炼语言描述算法步骤，说明变量或数组含义，写出

8、源程序，上机运行求解，记录和分析计算结果。写出实验报告。2、主要内容（1）用拉格朗日插值公式求函数插值。（2）用分段线性插值法和分段三次Hermite插值法求函数插值。3、操作要点首先在上机前写出源程序，上机时进入C语言运行环境输入源程序，然后调试和运行。4、主要仪器设备计算机实验二：Mathematica或Matlab数学软件介绍1、基本要求要求学生了解Mathematica或Matlab软件的基本操作、基本功能和基本运算。对上机实验的内容写出算法步骤，记录和分析计算结果，写出实验报告。2、主要内容（1） 熟悉Mathematica或Matlab软件的基本操作、基本功能和基本运算。（2） 利

9、用Mathematica或Matlab软件求三次样条(spline)插值。3、操作要点上机时一边学习Mathematica或Matlab软件介绍一边仿照实例的格式进操作和运行。4、主要仪器设备计算机实验三：函数逼近与曲线拟合，线性方程组的解1、基本要求要求学生进一步了解Mathematica或Matlab软件的基本操作、基本功能和基本运算。对上机实验的内容写出算法步骤，记录和分析计算结果，写出实验报告2、主要内容（1）利用Mathematica或Matlab软件求进行函数逼近。（2）利用Mathematica或Matlab软件编写程序进行曲线拟合和直接利用内部命令进行曲线拟合。（3）利用Mat

10、hematica或Matlab软件求线性方程组的解。3、操作要点上机时一边学习Mathematica或Matlab软件介绍一边仿照例题的格式进操作和运行。4、主要仪器设备计算机实验四：数值积分和常微分方程的数值解1、基本要求要求学生对上机实验的内容用框图或简炼语言描述算法步骤，说明变量或数组含义，写出源程序，上机运行求解，记录和分析计算结果。写出实验报告。2、主要内容（1）用复化梯形或复化辛卜生求积公式、变步长梯形公式或龙贝格公式求定积分的近似值。（2）用欧拉方法、改进的欧拉方法和四阶龙格库塔方法求常微分方程的数值解。3、操作要点首先在上机前写出源程序，上机时进入C语言运行环境输入源程序，然后

11、调试和运行。4、主要仪器设备计算机四、学时分配学时分配表序号教 学 内 容学时课堂讲授实验课习题课讨论课其它1绪论22函数插值8223函数逼近与曲线拟合614数值积分8225常微分方程的数值解8126线性代数方程组的解法6127非线性方程和方程组的解法218矩阵特征值与特征向量的计算4小计4488比例73.4%13.3%13.3%合计60实验学时分配表序号实验项目（或内容）名称实验学时实验类型每组实验人数说明验证性设计性综合性其它1函数插值2212Mathematica或Matlab数学软件介绍2213函数逼近与曲线拟合线性方程组的解2214数值积分和常微分方程的数值解221小计826五、教学环节与教学要求课堂讲授注重启发式和因材施教, 引导、激发、调动学生主动学习的积极性，努力培养学生数学思维能力以及构造算法运用计算器和计算机进行数值计算的能力。教学手段采用黑板和多媒体相结合的方法。在计算机应用方面要求学生熟悉C语言编程，了解Mathematica或Matlab数学软件。实验环节请见上面上机实验中基本要求和操作要点。课后安排好答疑时间、地点。作业方面，每两学时布置3-4道习题，作业批改1/2并按等级评分和登记。六、课程考核办法 1、平时成绩（作业