《3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学案1

1、3.6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较教学案三维目标1借助信息技术，利用函数图像及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差异2恰当运用函数的三种表示方法(解析式、表格、图像)，并借助信息技术解决一些实际问题3让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同教学难点：应用函数模型解决简单问题教学过程导入新课国际象棋起源于古代印度相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他要什么发明者说：“请在棋盘的第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依

2、次类推，每个格子里的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子请给我足够的麦粒以实现上述要求”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了假定千粒麦子的质量为40g,据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但不能满足发明者要求，这就是指数增长本节我们讨论指数函数、对数函数、幂函数的增长差异推进新课在区间0,+上判断y=log2x，y=2x,y=x2的单调性.列表并在同一坐标系中画出三个函数的图像.结合函数的图像找出其交点坐标.请在图像上分别标出使不等式log2xV2xVx2和log2xVx22立的自变量x的取值范围.由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果：在区间(0,+)上函数y=log2x,y

3、=2x,y=x2均为单调增函数.见下图1.图1从图像看出y=log2c的图像与另外两函数的图像没有交点，且总在另外两函数的图像的下方，y=2x的图像与y=x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16).不等式log2xV2xVx2和log2xVx2l)和幕函数y=xn(n0),通过探索可以发现,在区间(0,+上，无论n比a大多少，尽管在%的一定变化范围内，a哙小于xn,但由于ax的增长快于x啲增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有axxn.同样地，对于对数函数y=logax(a1)和幕函数y=xn(n0)，在区间(0,+)上，随着x的增大,logax增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平

4、行一样.尽管在x的一定变化范围内，logax可能会大于xn,但由于logx的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当xx0时，就会有logax1),指数函数y=ax(a1)与幕函数y=xn(n0)在区间(0,+)上都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上.随着x的增大，y=ax(a1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=xn(n0)的增长速度，而y=log(x(a1)的增长速度则会越来越慢.因此，总会存在一个x0，当xx0时，就会有logaxxn0)增长快于对数函数y=logax(a1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸”.应用示例例1试利

5、用计算器来计算2500的近似值.活动：学生思考，教师提示，计算这样一个大的数，用计算器无法直接计算.如何计算呢？我们可以充分利用幕的运算性质，再结合计算器的利用来求其近似值.解：第一步，利用科学计算器算出210=1024=1.024X103；第二步，再计算2100，因为2100=(210)10=(1.024X103)10=1.02410X1030，所以，我们只需要用科学计算器算出1.024101.2677,贝则21001.2677X1030；第三步，再计算2500，因为(2100)5(1.2677X1030)5,我们只需要用科学计算器算出1.267753.2740,从而算出25oo3.27X1

6、0150.点评：在设计计算方法时，要考虑到科学计算器能计算的位数.如果函数值非常大，我们常常用科学记数法表示，并且根据需要保留一定数目的有效数字.例2在自然界中，有些种群的世代是隔离，即每一代的生活周期是分离的，例如很多一年生草本植物，在当年结实后死亡，第二年种子萌发产生下一代.假设一个理想种群，其每个个体产生2个后代，又假定种群开始时有10个个体，到第二代时，种群个体将上升为20个，以后每代增加1倍，依次为40,80,160,，试写出计算过程，归纳种群增长模型，说明何种情况种群上升，种群稳定，种群灭亡.活动：学生仔细审题，理解题目的含义，教师指导，注意归纳总结.解：设N表示t世代种群的大小，

7、Nm表示t+1世代种群的大小，则N0=10;N=10X2=20；N2=20X2=40；N3=40X2=80；N4=80X2=160；.由上述过程归纳成最简单的种群增长模型，由下式表示:Nt+1=R0Nt，其中R0为世代净繁殖率.如果种群的R0速率年复一年地增长，则N1=R0N0，N2=R0N1=R20N0，N3=R0N2=R30N0，Nt=R0tN0.R0是种群离散增长模型的重要参数，如果R01,种群上升；R0=1，种群稳定；0R01，种群下降；R0=0,雌体没有繁殖，种群在一代中死亡思路2例3一工厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量

8、超过100时，每多订购1个，订购的全部零件的单价就降低0.02元，但最低出厂单价不低于51元.一次订购量为多少个时，零件的实际出厂价恰为51元？设一次订购量为x个时，零件的实际出厂价为p元，写出p=f(x).当销售商一次订购量分别为500，1000个时，该工厂的利润分别为多少？(一个零件的利润=实际出厂价成本)6051解:(1)设一次订购量为a个时，零件的实际出厂价恰好为51元，贝临=100+0.02=550个.60,0 xW100,xp=f(x)=6250，100 x550,其中xEN*.51,x2550,当销售商一次订购量为x个时，该工厂的利润为y,贝Vy=(p40)x=厂20 x,0 x

9、W100,X222x50,100 x550,其中xWN*，故当x=500时，y=6000；当x=l000时，y11x,x550.=ll000.点评：方程中的未知数设出来后可以参与运算，函数解析式为含x,y的等式.例4甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查,提供了两个方面的信息,分别得到甲、乙两图+每个鱼池平均产量图4286421111xTI甲调查表明：乙调查表明：全县鱼池总个数由第1年30个减少到第6年10个.每个鱼池平均产量从第1年1万只鳗鱼上升到第6年2万只.请你根据提供的信息说明：第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数.到第6年这个县的鳗鱼养殖业的规模(即总产量

10、)比第1年扩大了还是缩小了？请说明理由.哪一年的规模(即总产量)最大？请说明理由.活动：观察函数图像,学生先思考或讨论后再回答,教师点拨、提示：先观察图像得出相关数据,利用数据找出函数模型.解：由题意可知,甲图像经过(1,1)和(6,2)两点,从而求得其解析式为y田=0.2x+0.8,甲乙图像经过(1,30)和(6,10)两点,从而求得其解析式为y乙=4x+34.乙(1)当x=2时，y=0.2X2+0.8=1.2,y=4X2+34=26,yy=1.2X26=31.甲乙甲乙2.所以第2年鱼池有26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万只第1年出产鳗鱼1X30=30(万只)，第6年出产鳗鱼2X10=20(万只)，可见，第6年这个县的鳗鱼养殖业规划比第1年缩小了设当第m年时的规模总产量为n那么n=yy=(