一致连续函数性质的应用(1)教学内容

1、Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。一致连续函数性质的应用(1)-1、设函数在区间上可导，证明在上一致可导的充分必要条件是在上连续。这里在上一致可导是指：对任给，存在，使得对任意，当时，就有成立。证明充分性设在上连续，于是在上一致连续，对任给，存在，使得对任意，当时，就有成立；对任意，存在位于之间，使得，显然，于是，即得在上一致可导；必要性设在上一致可导，注到的地位对称，因此有对任给，存在，当，时，就有，从而，故得到在上一致连续，因此在上连续。2、设函数在区间上非李普希兹连续，证明在区间上一致连续的充分必要条件是：对任给的，总存在正数，使

2、当，满足时，就有.证明充分性对任给，取，对任意，当时，若满足，就有；若成立，则有，即得在区间上一致连续。充分性用反证法.假若在区间上不一致连续，则存在，存在，使得，但，则有，由假设条件，对，只需要充分大，就满足，就有，矛盾，所以在区间上一致连续；必要性证法一设在区间上一致连续，对任意，存在，当，时，有；若有，满足，必有，取，若有，满足时，我们断言必有；假若不成立，也就是假若有，必得矛盾。事实上，令，则存在正整数，使得，设，则有，；不妨设，因为，故由连续函数介值定理，知存在，使得，；同理，存在，使得，；如此继续下去，则得，其中规定；这时，对每个，因为，故由一致连续的定义，；从而，这与，矛盾；对于

3、的情况，可类似讨论。必要性证毕。证法二假若结论不成立，则存在，对任意正整数，存在，尽管，但；由于在区间上一致连续，对，存在，当，时，有；于是必有，不妨设，则存在正整数，使得，取，；，则有，从而有，这与相矛盾，故必要性结论成立。注：对函数，或者，或，显然在上一致连续，不出现必要性的条件，不成立必要性的结论，所以此题应只有充分性，应无必要性.再者条件也难造出来。对，显然在上一致连续；，若，且，则必有，。对，显然在上一致连续。例29,（）.解，又，故.例30证明（1）；（2），（）.证明设是以为周期的函数，;当时，（）;由傅立叶展开定理,得，特别地，当时，有，于是；故.设函数在区间上有定义，试证明：

4、在上一致连续的充分必要条件是对区间上任意两数列与，当时，有.证明：必要性设在上一致连续，则对，当，时，有.由，对于上述，当时，有，从而有，所以.充分性：用反证法假设在上不一致连续，则，对，存在，尽管，但，不妨取，存在，尽管，但，上述，满足，但是，与条件,矛盾.设于区间上一致连续，且收敛，证明也收敛，问若将于区间上一致连续改为于区间上连续，上述结论是否仍成立？说明理由.证明由于在上一致连续，对任意，存在，当，时，有，由收敛，知对上述，存在正整数，当时，有，于是有，即是Cauchy序列，所以收敛.若在上连续，收敛，未必有收敛，例如，显然收敛，但是不收敛.三、设为有限区间，在上有定义，试证：在上一致

5、收敛充要条件是把Cauchy序列映射为Cauchy序列，（即当为Cauchy序列时，亦为Cauchy序列）。证明必要性设在上一致连续，对，当时，有，设是Cauchy序列，则对此，当时，有，从而有，所以有是Cauchy序列；充分性用反证法，假若在上非一致连续，则，虽然，但，注意到为有限区间，因此中存在收敛的子列，因，故亦收敛，且，从而穿插之后，序列亦收敛，为Cauchy序列，但其像序列恒有，不是Cauchy序列，与一致条件矛盾，所以假设不成立，故有在上一致连续，命题得证。注：当为无限区间时，充分性不再成立，例如把上的任一Cauchy序列，映成Cauchy序，但在上不一致连续。设函数定义在区间上，

6、定义，证明在上一致连续.五、设在有限区间内一致连续，证明：也在内一致连续。证明首先证明都在上有界，因为在有限区间内一致连续，从而存在，满足当此，时，有，现取正整数，满足，令，；对任意，存在，使得，即得在上是有界的；同理在上也是有界的；下面证明，若在区间上有界，且都一致连续，则在区间上一致连续。设，满足，;那么由得一致连续性得到，对于任意，存在，使得当，时，有，从而，即得在上一致连续。设在上一致连续，在上连续，且，证明：在上一致连续.证明：设，则在上连续，由存在，可知在上一致连续，又在上一致连续，所以在上一致连续.3、设在上连续可微，收敛，且在上一致连续，试证必有.证明由在上一致连续，得，对，当

7、，且时，便有；由收敛，由微分中值定理，存在，使得，于是有.对上述，存在，当时，便有；取，对任意，必存在正整数，使得，故得.4、设且存在，在上有界，试证成立.5、用定积分的定义证明：若在上连续，且存在上的连续可微函数，使得，则在a,b上可积，且.证明：对区间的任意分割：，任取，记，；存在，使得，；再由在上一致连续，得，对，当时，有，；从而，即得函数在上可积，且。6、用积分的定义，（1）计算：；（2）计算.解.（1），提示：，仿照4题的证明过程，可具体可算出使得成立的点；（2），提示：，。定理9若在上连续,则在上必可积.证明:由在上连续，得在上一致连续，对任意给定，由一致连续性，必存在，使得对任意的，只要，就有.取定的一个分割,使,由最大、最小值定理,可取,使,从而.根据定理6,在上可积.定理设在上连续。对区间的任意分割：，任取，记，；成立。证明因为在上连续，所以在上可积，于是；再由在上连续，得在上有界，在上一致连续，进而成立，故结果得证。证明：（1）若在上连续可导，且都收敛，则有；（2）设在上连续，且收敛，若在上一致连续，则必有.（1）提示：由及条件，得存在，又收敛，得.（2）证明由在上一致连续，得，对，当，且时，便有；由于收敛，则有，由积分平均值定理，存在，使得，于是有，对上述，存在，当时，便有；取，