全国中考数学直角三角形的边角关系的综合中考真题汇总

1、全国中考数学直角三角形的边角关系的综合中考真题汇总一、直角三角形的边角关系1图1是一种折叠式晾衣架晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚OC=OD=10分米，展开角/COD=60,晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且H0=F0=4分米.当/AOC=90时，点A离地面的距离AM为分米；当OB从水平状态旋转到OB，（在CO延长线上）时，点E绕点F随之旋转至OB上的点E处，则BE-BE为分米.AH比图2找平地面【答案】55爲4【解析】【分析】如图，作0P丄CD于P，0Q丄AM于Q，FK丄0B于K，FJ丄0C于J.解直角三角形求出MQ，AQ即可求出AM,再分别

2、求出BE，BE即可.【详解】解：如图，作OP丄CD于P，OQ丄AM于Q，FK丄OB于K，FJ丄OC于J.TAM丄CD，ZQMP=ZMPO=ZOQM=90,四边形OQMP是矩形，QM=OP,OC=OD=10,ZCOD=60,.COD是等边三角形，OP丄CD,1ZCOP=ZCOD=30,2QM=OP=OCcos30=5J3（分米），ZAOC=ZQOP=90,ZAOQ=ZCOP=30,1AQ=-OA=5（分米），厶AM=AQ+MQ=5+5启.OBIICD,ZBOD=ZODC=60在RtAOFK中，KO=OFcos60=2（分米），FK=OFsin60=2J3（分米）,在RtAPKE中，EK=fEF2

3、_FK2=26（分米），BE=10-2-2；6=（8-2冷6）（分米），在RtAOFJ中，OJ=OFcos60=2（分米），FJ=2（分米），在RtAFJE中，EJ=ABC的中位线，.AC=2OE，TZC=ZC，ZABC=ZBDC，.ABC-BDC，BCACcBc即BC2=ACCD.二bc2=2CDOE；3(3)解：TcosZBAD=?,OA.BC-4二sinZBAC=一AC5U2S又:BE,E是BC的中点，即BC=,又：AC=2OE,OE=：AC=.26考点：1、切线的判定；2、相似三角形的判定与性质；3、三角函数5阅读下面材料：观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题.在锐角厶ABC中，

4、ZA、ZB、ZC的对ADAD边分别是a、b、c,过A作AD丄BC于D(如图)，则sinB=,sinC=，即AD=cbbccacsinB，AD=bsinC,于是csinB=bsinC，即=.同理有：=，sinBsinCsinCsinAababc-，所以宀=一=.sinAsinBsinAsinBsinC即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素根据上述材料，完成下列各题如图，ABC中，ZB=75,ZC=45,BC=60，贝AB=；如图，一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30的方向上，随后货轮以6

5、0海里/时的速度按北偏东30的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75。的方向上(如图)，求此时货轮距灯塔A的距离AB.(3)在(2)的条件下，试求75的正弦值.(结果保留根号)5D南西咏C北SD囹2【答案】(1)20：6；(2)15、；6海里;(3)宁【解析】【分析】(1)根据材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，写出比例关系，代入数值即可求得AB的值.此题可先由速度和时间求出BC的距离，再由各方向角得出ZA的角度，过B作BM丄AC于M,求出/MBC=30，求出MC,由勾股定理求出BM,求出AM、BM的长，由勾股定理求出AB即可；在三角形ABC中，ZA=4

6、5，ZABC=75，ZACB=60,过点C作AC的垂线BD，构造直角三角形ABD，BCD，在直角三角形ABD中可求出AD的长，进而可求出sin75的值.【详解】解：(1)在AABC中，ZB=75，ZC=45,BC=60，则ZA=60，.abbcsinCsinA.AB60.=sin45sin60ABo60。即忑=Z3，丁1-解得：AB=20f6.(2)如图，依题意：BC=60 x0.5=30（海里）TCDIIBE,ZDCB+ZCBE=180TZDCB=30,.ZCBE=150TZABE=75.ZABC=75，.ZA=45，在AABC中,ABBCsinAACBsinZAAB30即sin60?sin

7、45?解之得：AB=15p6.答：货轮距灯塔的距离AB=15空6海里.(3)过点B作AC的垂线BM,垂足为M.在直角三角形ABM中，ZA=45,AB=15y6，所以AM=15；3，在直角三角形BDC中，ZBCM=60，BC=30，可求得CM=15,所以AC=15：3+15，由题意得，込5=亞,sin75=玄sin75sin604【点睛】。本题考查方向角的含义，三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是熟练掌握解直角三角形方法6兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面

8、的夹角是31,拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高.（结果精确到0.1米，参考数据：sin31=0.52,cos31=0.86,tan31=0.60)【答案】主塔BD的高约为86.9米.【解析】【分析】根据直角三角形中由三角函数得出BC相应长度，再由BD=BC+CD可得出.【详解】在RtAABC中，ZACB=90,BCSinA=AB二BC=ABxsinA二152xsin31152x0.52二79.04.BD=BC+CD=79.04+7.9=86.94二86.9（米）答：主塔BD的高约为86.9米.【点睛】本题考察了直角三角形与三角函数的结合，熟悉掌握

9、是解决本题的关键.7.如图，正方形OABC的顶点0与原点重合，点A，C分别在x轴与y轴的正半轴上，点1A的坐标为（4,0）,点D在边AB上，且tanZAOD=込，点E是射线OB上一动点，EF丄x轴于点F,交射线OD于点G,过点G作GHIIx轴交AE于点H.（1）求B，D两点的坐标；（2）当点E在线段OB上运动时，求ZHDA的大小；（3）以点G为圆心，GH的长为半径画OG.是否存在点E使OG与正方形OABC的对角线所在的直线相切？若不存在，请说明理由；若存在，请求出所有符合条件的点E的坐标.2【答案】(1)B(4,4),D(4,2)；(2)45；(3)存在，符合条件的点为(8-4迈,8-45)或

10、(8+4迈,8+4迈)或,理由见解析解析】分析】1(1)由正方形性质知AB=0A=4,ZOAB=90,据此得B(4,4),再由tanZAOD=-得AD=-OA=2,据此可得点D坐标;GF11=-知GF=OF,再由ZAOB=ZABO=45知OF=EF，即(2)由tanZGOF=OF-1GF=-EF,根据GHIIx轴知H为AE的中点，结合D为AB的中点知DH是厶ABE的中位线，即HDIIBE,据此可得答案；分OG与对角线OB和对角线AC相切两种情况，设PG=x，结合题意建立关于x的方程求解可得【详解】解：(1)TA(4,0),0A=4,T四边形OABC为正方形,AB=OA=4,ZOAB=90,B(

11、4,4),在RtAOAD中，ZOAD=90,1TtanZAOD=.AD=112OA=2也=2.D(4，2)；(2)如图1,在RtAOFG中，ZOFG=90GF11tanZGOF=，即gf=OF,OF22四边形OABC为正方形，ZAOBZABO=45,OFEF,GF=EF,2.G为EF的中点，GHIIx轴交AE于H,H为AE的中点，B(4,4),D(4,2),D为AB的中点，DH是厶ABE的中位线，.HDIBE,.ZHDA=ZABO=45(3)若OG与对角线OB相切，如图2,当点E在线段OB上时，过点G作GP丄OB于点P,设PG=x,可得PE=x,EG=FG=吕x,OF=EF=22x,OA=4,

12、AF=4-2耳迅x,TG为EF的中点，H为AE的中点，GH为氐AFE的中位线，11GH=一AF=x（4-2、.：2x）=2-X,2则x=2-、；2x,解得：x=2弋2-2,E（8-4迈,8-4、辽）,如图3当点E在线段0B的延长线上时，x=丫2x-2,解得：x=2+f2,E（8+42,8+42）；若OG与对角线AC相切，如图4,当点E在线段BM上时，对角线AC,OB相交于点M,Jcz/JD0卩AL图4过点G作GP丄0B于点P,设PG=x,可得PE=x,EG=FG=弋2x,0F=EF=2込x,TOA=4,AFf2x,TG为EF的中点，H为AE的中点，GH为AFE的中位线，11GH=AF=x（4-

13、2*2x）=2-J2x,过点G作GQ丄AC于点Q,贝9GQ=PM=3x-2迈,3x_2空2=2-2x,.4迈+2x=一7E（4近+164近+16）7如图5，当点E在线段OM上时，GQ=PM=22-3x，贝2弋2-3x=2_2x,解得x二土壬2,7（16-4迈16-4迈）7-E7丿，如图6，当点E在线段OB的延长线上时3x-2：2=2x-2,4J2一2解得：x二（舍去）；7综上所述，符合条件的点为（8-4J2,8-4迈）或（8+4,8+47）或【点睛】本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握正方形和直角三角形的性质、正切函数的定义三角形中位线定理及分类讨论思想的运用8如图，AB为O0的直径，P是BA

14、延长线上一点，CG是O0的弦/PCA=AABC,CG丄AB,垂足为D求证：PC是OO的切线;(2)求证：PA_ADPCCD过点A作AEIIPC交OO于点E,交CD于点F,连接BE,若sinZP=5，CF=5,求BE的长【答案】(1)见解析；(2)BE=12.解析】分析】(1)连接OC,由PC切OO于点C,得到OC丄PC,于是得到ZPCA+ZOCA=90，由AB为OO的直径，得到ZABC+ZOAC=90,由于OC=OA,证得ZOCA=ZOAC，于是得到结论；(2)由AEIIPC,得到ZPCA=ZCAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG,于是得到ZACF=ZABC，由于ZPCA=ZABC，推出ZACF

15、=ZCAF，根据等腰三角形的性质得到CF=AF，在AFD中，AF=5,sinZFAD=5求得FD=3,AD=4,CD=8，在OCD中,设OC=r,根据勾股定理得到方程r2=(r-4)2+82，解得r=10，得到AB=2r=20,由于AB为BE3OO的直径，得到ZAEB=90，在rAABE中，由sinZEAD=，得到=匸，于是求得t5AB5结论【详解】(1)证明：连接OC,PC切OO于点C,OC丄PC,ZPCO=90,ZPCA+ZOCA=90,TAB为OO的直径，.ZACB=90,.ZABC+ZOAC=90TOC=OA,.ZOCA=ZOAC,.ZPCA=ZABC；(2)解：TAEIIPC,.ZP

16、CA=ZCAF,/AB丄CG,.弧人。=弧AG,.ZACF=ZABC,TZPCA=ZABC.ZACF=ZCAF,.CF=AF,TCF=5,.AF=5,TAEIPC,.ZFAD=ZP,TsinZP=sinZFAD=3在AFD中，AF=5,sinZFAD=5.FD=3,AD=4,.CD=8,在OCD中，设OC=r,.r2=(r-4)2+82,.r=10,.AB=2r=20,AB为OO的直径，乙AEB=90，在RqABE中,3sinZEAD=_5，-AB=20，BE=12.BE3AB_5，【点睛】本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接OC构造直角三角形9.如图

17、，正方形ABCD的边长为.：2+1,对角线AC、BD相交于点O,AE平分/BAC分别交BC、BD于E、F，求证：ABF-ACE；求tanZBAE的值；(3)在线段AC上找一点P,使得PE+PF最小，求出最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)tanZEAB.2-1；(3)PE+PF的最小值为2+迈.【解析】【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似判断即可；如图1中，作EH丄AC于H.首先证明BE=EH=HC，设BE=EH=HC=x，构建方程求出x即可解决问题；如图2中，作点F关于直线AC的对称点H,连接EH交AC于点P,连接PF,此时PF+PE的值最小，最小值为线段EH的长；【详解】证明：四边

18、形ABCD是正方形，ZACE=ZABF=ZCAB=45,AE平分ZCAB,ZEAC=ZBAF=22.5,ABF-ACE.解：如图1中，作EH丄AC于H.22TEA平分/CAB,EH丄AC,EB丄AB,BE=EB,TZHCE=45,ZCHE=90,ZHCE=ZHEC=45,HC=EH,.BE=EH=HC,设BE=HE=HC=x，贝EC=迈x,TBC=p2+1,.x+x=+1,.x=1.在RtAABE中，TZABE=90,.tanZEAB=BB=士=21(3)如图2中，作点F关于直线AC的对称点H,连接EH交AC于点P,连接PF,此时PF+PE的值最小作EM丄BD于M.BM=EM=亍TAC=*AB

19、2+BC2=2+2,.OA=OC=OB=AC=2+222OH=OF=OAtanZOAF=OAtanZEAB=2+迈（迈-1）HM=OH+OM=2+*2在RtEHM中，EH=：EM2+HM2=2PE+PF的最小值为*：2+迈.【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，勾股定理，最短问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型10.小明坐于堤边垂钓，如图，河堤AC的坡角为30,AC长“米，钓竿AO的倾斜角是60,其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60,求浮漂B与河堤下端C之间的距离（如图）.答案】15米解析】试题分析：延长OA交BC于点D.先由

20、倾斜角定义及三角形内角和定理求出“.F在血acd中八；:米，CD=2AD=33BD-OD-OA+AD-3+-5米，再证明厶BOD是等边三角形，得到米，然后根据BC=BD-CD即可求出浮漂B与河堤下端C之间的距离.试题解析：延长OA父BC于点D.LCAD-180ODB-ACDAD-AC一x-在RtAACD中，-八（米）,CD=2AD=3米，又I1.BOD是等边三角形，BD-OD-OA+AD-34-45-（米），BC=BD-CD=4.5-3=1.5（米）.答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米.如图，在航线丨的两侧分别有观测点A和B,点B到航线丨的距离BD为4km，点A位于点B北偏西60方向且与B相距20km处.现有一艘轮船从位于点A南偏东74方向的C处，沿该航线自东向西航行至观测点A的正南方向E处.求这艘轮船的航行路程CE的长度（结果精确到0.1km）（参考数据：弋3=1.73，sin74=0.96,cos74=0.28.【解析】分析：根据题意，构造直角三角和相似三角形的数学模型，利用相似三角形的判定与性质和解直角三角形即可.详解：如图，在RtABDF中，：乙D