两类曲面积分的关系及其应用

1、-PAGE . z.ADDIN KISM.UserStyle两类曲面积分的关系及其应用学生*：陶其亮*：所在院系：数学与统计学院专业：数学与应用数学指导教师：李艳梅教师目录TOC o 1-3 u摘要 PAGEREF _Toc420063315 h 3关键词3Abstract3Key words3前言 PAGEREF _Toc420063319 h 41预备知识 PAGEREF _Toc420063320 h 41.1 两类曲面积分的定义与相关性质 PAGEREF _Toc420063321 h 41第一型曲面积分的定义 PAGEREF _Toc420063322 h 42第二型曲面积分的定义4

2、3两类曲面积分的相关性质 PAGEREF _Toc420063332 h 51.2 两类曲面积分的关系 PAGEREF _Toc420063335 h 52两类曲面积分关系的应用52.1将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分52.2将对面积的曲面积分转化为对坐标的曲面积分 PAGEREF _Toc420063338 h 103.小结 PAGEREF _Toc420063339 h 11参考文献11致谢 PAGEREF _Toc420063341 h 12ADDIN KISM.UserStyle两类曲面积分的关系及其应用摘要：本文讨论了两类曲面积分的关系并给出了其应用.关键词：曲面，侧，第一型

3、曲面积分，第二型曲面积分The relationship between the two kinds of surface integrals and its applicationAbstract：In this paper, the relationship between the two kinds of surface integrals are discussed and the applications are given. Key words：Thecurved surface;side; the first type of surface integral; the secon

4、d type of surface integral0. 前言在数学分析中第二型曲面积分的计算是一个重点也是一个难点问题1.假设空间区域是由分片光滑的双侧封闭曲面所围成，函数在上具有一阶的连续偏导数，则可以利用高斯公式计算第二型曲面积分2.假设曲面在面上的投影为一条线，且被积函数及它们的一阶偏导数不连续的情况下，则通常用直接投影法来处理3.当曲面的方程由参数形式给出时，可以用参数形式计算4-7.当然第二型曲面积分还可以利用 stokes公式化为第二型曲线积分来计算56.如果在上述方法都无法解决的情况下，我们可以考虑利用两类曲面积分之间的关系计算第二型曲面积分8.下面将探讨两类曲面积分的关系以及

5、这种关系的应用.1预备知识1.1 两类曲面积分的定义与相关性质1第一型曲面积分的定义定义19 设是空间中可求面积的曲面，为定义在上的函数.对曲面作分割，它把分成个小曲面块，以记小曲面块的面积，分割的细度的直径.在上任取一点，假设极限存在，且与分割及的取法无关，则称此极限为在上的第一型曲面积分，记作.2第二型曲面积分的定义定义29 设为定义在双侧曲面上的函数.在所指定的一侧作分割，它把分为个小曲面，分割的细度的直径，以分别表示在三个坐标面上的投影区域的面积，它们的符号由的方向来确定.假设的法线正向与轴正向成锐角时，在平面的投影区域的面积为正.反之，假设法线正向与轴正向成钝角时，它在平面的投影区域

6、的面积为负.在各个小曲面上任取一点.假设存在，且与曲面的分割和在上的取法无关，则称此极限为函数在曲面所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作.3曲面积分的相关性质()假设积分曲面关于具有轮换对称性，则.() 9设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面围成.假设函数，,在上连续，且有一阶连续偏导数，则=，其中取外侧.1.2 曲面积分的关系定理19：设曲面为光滑曲面，正侧的法向量为，在上连续，则有=.推论设光滑曲面的方程为，而，在上连续，则=.定理 29：设是定义在光滑曲面：，上的连续函数，以的上侧为正侧，则=.2两类曲面积分关系的应用2.1将对坐标的曲面积分转化为对面积的曲面积分例1 把对坐标的曲面积分化

7、为对面积的曲面积分，其中： 1是平面在第一卦限的局部的上侧； 2是抛物面在面上方的局部的上侧.解 1平面上侧的法向量为，其方向余弦为，于是 =2因是抛物面在面上方的局部的上侧，所以其法线向量应取为，其方向余弦为，于是=例2 计算，为平面在第象限局部的上侧,其中为上的连续函数.解由于是抽象函数，所以原曲面积分无法通过投影化为二重积分来计算；又因为函数是连续函数，不一定有一阶连续偏导数，所以也不能应用高斯公式，因此可考虑转化为第一类曲面积分来计算.平面的法向量，则，. = = = =.例3 计算曲面积分，其中，取上侧.解如果直接计算，需要把分别投影到和平面上，且积分需要分前侧与后侧，现在利用两类曲

8、面积分的关系，先转化为第一型曲面积分，再统一计算二重积分.，= = =.例4 计算出积分，其中为圆锥面介于，取外侧.解 的方程为，选取外侧，则，.令,.原式=.例5 计算曲面积分，其中是旋转抛物面介于平面及之间的局部的下侧.解，,令，.原式=. 例6 计算，其中1是顶点为，的三角形的下侧.2是的外侧.解 1因曲面的方程为或，关于为轮换对称，有.由对称性，只需计算，由于取的是的下侧，所以法向量为.在平面上的投影为，于是有=，.2)外侧的单位法向量为，得，.这是因为的方程中换为形式不变，而被积函数将换为要变号，于是有.同理其余两个积分为零，最后得.2.2将对面积的曲面积分转化为对坐标的曲面积分利用

9、第一型曲面积分与第二型曲面积分之间的关系，可以把第一类曲面积分转化为第二类曲面积分计算，即=,其中，和是有向曲面处于点处的法向量的方向余弦.例7 求，其中为上半球面取下侧.解 将第一型曲面积分化为第二型曲面积分，表示上半球面的下侧，这时法线与轴成钝角，,故=.例8 计算，其中曲面为.解 将所围成的空间闭区域记为.令，则选取在任一点处的外法向量为，将其单位化为而此时=，= = = =,故有.3.小结在计算两类曲面积分的过程中，假设常用方法比拟困难或者无法计算时，可以考虑用两类曲面积分的关系计算两类曲面积分.参考文献1赵艳辉.第二型曲面积分的计算J.*科技学院学报,2013,34(8):5-8.2

10、柴春红.第二类曲面积分的计算方法J.数学学习,2004,7(2):32-33.3景慧丽.第二类曲面积分的计算方法J.高等数学研究,2011,14(4):87-91.4甘泉.第二型曲面积分的参数形式计算J.高等数学研究,2010,13(1):85-87.5吴燕.第二类曲面积分的五种求法J.考试周刊,2009,33(1):72-73.6*云艳.第二型曲面积分计算的几种方法及应用J.泰山学院学报,2004,26(6):36-39.7杨孝先.计算第二型曲面积分的实例分析J.高等数学研究,2001,4(1):34-36.8孟庆贤.第二型曲面积分与曲面无关性J.*民族师*学院学报,1994,S2:114-115.9华东师*大学数学系.数学分析下册M.:高等教育,2010: