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1、 最大公因式的初等变换求法【摘要】 给出了求最大公因式的初等变换法,这比辗转相除法要来的简便,并在两个多项式的根底上做了推广,给出了求多个多项式的最大公因式的方法.【关键词】 最大公因式 ;初等变换 引言学习了高等代数,我们知道可以运用辗转相除求两个多项式的最大公因式,但是此法不够简洁.在阅读了郭文献教授发表的?最大公因式的初等变换?一文后,发现其求最大公因式的方法比拟简洁，我们在其求两个多项式的最大公因式的根底上,推广并证明了此法对求K个多项式也适用.一:对方法的重述并且补充分析了一般的求法过程.设和不全为零,不妨设，应用带余除法，可以得到一串等式：这里就是和的最大公因式，此为辗转相除法。用

2、表示首项系数为1的最大公因式。在这里我们看到，对于一般的两个多项式来说，这种求法步骤较多，篇幅较大，计算较繁，而下面的初等变换克服了这些缺点。引理引理1 数域P上所有次数不大于n的多项式连同零多项式构成的多项式空间Px与所有的n+1元有序数组构成的向量空间同构。事实上，在Px与之间存在同构映射：，可见，可用表示引理212(3) (4) (5)设，证明：1、2，显然 3设,那么，又令是与的任一公因式，那么，于是，进而有，命题得证。4证明同35设且是与的任一公因式，注意到，于是，故。推广此式可得定理用表示多项式与的待求最大公因式，那么对A施行初等行变换。两个多项式的最大公因式不变；当时证明：由引理

3、2中1、2、3，即得定理的第一局部，由引理2中的4、5，即得定理的第二局部注：由引理知A与B是相等关系对于一般的，假设，当时，当时，通过初等变换，保持第一行不变，将第一行乘上加到第二行，得，即通过初等变换，都可得A化为的形式。假设，那么保持第二行不变，将第二行乘上加到第一行，得，因此，通过初等变换，使得两个多项式都降了一个阶，而他们的最大公因式却不变。按照此法类推下去，将阶数到一定低阶时，便可以得到最大公因式。假设，那么同样可按照以上方法将多项式降阶，最终可得最大公因式。例1:设,求解:对矩阵,进行初等变换故.二:推广到K个多项式引理3(1)(其中,是1,2,k的任意排列)(2)(,是任意常数)(3)(4)(5)设 证明: (1), (2)显然.(3)设,那么,设是,故.从而命题得证.(4)证明同(3)(5)设,是的任一公因式.由于,故于是,故.而,.故.推广此式可得, ,(是正整数)例2:设,求解:对故参考文献:1 郭文献 最大公因式的初等变换求法 中图分类号O11.1 文章

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