新教材北师大版高中数学必修二 第四章三角恒等变换测评 单元测试卷（解析版）

1、精品文档 精心整理精品文档 可编辑的精品文档第四章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分)1.cos 105=()A.2-3B.2-64C.2+64D.6-24解析cos 105=cos(45+60)=cos 45cos 60-sin 45sin 60=2212-2232=2-64.答案B2.若是第二象限角,且sin =23,则cos 等于()A.13B.-13C.53D.-53解析因为是第二象限角,所以cos 0,sin 0,所以2sin =cos .又sin2+cos2=1,所以5sin2=1,即sin2=15.因为sin 0,所以sin

2、=55.故选B.答案B5.(sin 20-sin 40)2+3sin 20cos 50=()A.32B.3C.34D.-3解析原式=(2cos 30sin 10)2+32(sin 70-sin 30)=3-3cos 202+32sin 70-34=34.答案C6.tan 23+tan 37+3tan 23tan 37=()A.33B.3C.32D.1解析由于tan +tan =tan(+)(1-tan tan ),故tan 23+tan 37+3tan 23tan 37=tan(23+37)(1-tan 23tan 37)+3tan 23tan 37=3(1-tan 23tan 37)+3ta

3、n 23tan 37=3.答案B7.计算2sin 14cos 31+sin 17等于()A.22B.-22C.32D.-32解析2sin 14cos 31+sin 17=2sin 14cos 31+sin(31-14)=sin 14cos 31+cos 14sin 31=sin(31+14)=sin 45=22.答案A8.已知锐角,满足sin =55,cos =31010,则+等于()A.34B.4或34C.4D.2k+4(kZ)解析由sin =55,cos =31010,且,为锐角,可知cos =255,sin =1010,故cos(+)=cos cos -sin sin =25531010

4、-551010=22.又0+0,cos 0,所以sin -cos =75,所以B错误,C正确;联立sin+cos=15,sin-cos=75,解得sin =45,cos =-35.所以tan =-43.所以D正确.答案ACD三、填空题(本题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量a=(3,4),b=(sin ,cos ),且ab,则tan =.解析因为a=(3,4),b=(sin ,cos ),且ab,所以3cos -4sin =0.所以tan =34.答案3414.cos(36+)cos(-54)+sin(36+)sin(-54)=.解析cos(36+)cos(-54)+sin(36+

5、)sin(-54)=cos(36+)-(-54)=cos 90=0.答案015.已知A+B=23,那么cos2A+cos2B的最大值是,最小值是.解析因为A+B=23,所以cos2A+cos2B=12(1+cos 2A+1+cos 2B)=1+12(cos 2A+cos 2B)=1+cos(A+B)cos(A-B)=1+cos23cos(A-B)=1-12cos(A-B).所以当cos(A-B)=-1时,原式取得最大值32;当cos(A-B)=1时,原式取得最小值12.答案321216.函数f(x)=15sinx+3+cosx-3的最大值为.解析因为f(x)=15sinx+3+cosx-3=1

6、512sin x+32cos x+12cos x+32sin x=1+5310sin x+5+310cos x=1+53102+5+3102sin(x+),其中tan =5+3101+5310=5+31+53,因此,函数y=f(x)的最大值为1+53102+5+3102=26+535.答案26+535四、解答题(本题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知sin(3+)=2sin32+,求下列各式的值:(1)sin-4cos5sin+2cos;(2)sin2+sin 2.解由已知得sin =2cos .(1)原式=2cos-4cos52cos+2cos

7、=-16.(2)原式=sin2+2sincossin2+cos2=sin2+sin2sin2+14sin2=85.18.(12分)已知02,tan2=12,cos(-)=210.(1)求sin 的值;(2)求的值.解(1)因为tan2=12,所以tan =2tan21-tan22=2121-(12)2=43.由sincos=43,sin2+cos2=1,解得sin =45sin =-45舍去.(2)由(1)知cos =1-sin2=1-(45)2=35,又02,所以-(0,),而cos(-)=210,所以sin(-)=1-cos2(-)=1-(210)2=7210,于是sin =sin +(-

8、)=sin cos(-)+cos sin(-)=45210+357210=22.又2,所以=34.19.(12分)设函数f(x)=sin x,xR.(1)已知0,2),函数f(x+)是偶函数,求的值;(2)求函数y=fx+122+fx+42的值域.解(1)因为f(x+)=sin(x+)是偶函数,所以,对任意实数x都有sin(x+)=sin(-x+),即sin xcos +cos xsin =-sin xcos +cos xsin ,故2sin xcos =0,所以cos =0.又0,2),因此=2或32.(2)y=fx+122+fx+42=sin2x+12+sin2x+4=1-cos(2x+6

9、)2+1-cos(2x+2)2=1-1232cos 2x-32sin 2x=1-32cos2x+3.因此,函数的值域是1-32,1+32.20.(12分)求证:sinx1+cosx-cosx1+sinx=2(sinx-cosx)1+sinx+cosx.证明方法一:左边=sinx+sin2x-cosx-cos2x(1+cosx)(1+sinx)=(sinx-cosx)(1+sinx+cosx)1+sinx+cosx+cosxsinx=2(sinx-cosx)(1+sinx+cosx)1+sin2x+cos2x+2sinx+2cosx+2cosxsinx=2(sinx-cosx)(1+sinx+c

10、osx)(1+sinx+cosx)2=2(sinx-cosx)1+sinx+cosx=右边.方法二:左边=1+sinx+cosx1+sinx+cosxsinx1+cosx-cosx1+sinx=11+sinx+cosxsinx(1+sinx+cosx)1+cosx-cosx(1+sinx+cosx)1+sinx=11+sinx+cosxsinx+sin2x1+cosx-cosx-cos2x1+sinx=11+sinx+cosx(sin x+1-cos x-cos x-1+sin x)=2(sinx-cosx)1+sinx+cosx=右边.21.(12分)已知A+B+C=.求证:sin A+si

11、n B+sin C=4cosA2cosB2cosC2.证明因为A+B+C=,所以C=-(A+B),所以C2=2-A+B2,所以sin A+sin B+sin C=2sinA+B2cosA-B2+sin(A+B)=2sinA+B2cosA-B2+2sinA+B2cosA+B2=2sinA+B2cosA-B2+cosA+B2=2sinA+B22cosA2cos-B2=2cosC22cosA2cosB2.所以sin A+sin B+sin C=4cosA2cosB2cosC2.22.(12分)如图所示,要把半径为R,圆心角为3的扇形木料截成长方形,应怎样截取,才能使长方形EFGH的面积最大?解如图,作POQ的平分线分别交EF,GH于点M,N,连接OE,设MOE=,0,6,在RtMOE中,ME=Rsin ,OM=Rco