黑龙江省肇东市第四中学2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题

1、 一、选择题（每小题5分，共60分）1已知向量，且，则实数等于（ ）A1BCD2.已知点，则线段的中点关于平面对称的点的坐标为（ ）ABCD3.已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（ ）ABC2D4西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有60位，则该校阅读过西游记的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）ABCD5若p：，是三个非零向量；：，为空间的一个基底，则p是q的 （ ）A充分不

2、必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件6.下列命题正确的是（ ）A若与共线，与共线，则与共线B向量，共面，即它们所在的直线共面C若空间向量，不共面，则，都不为向量D若，共面，则存在唯一的实数对（x，y），使得7一个口袋中装有5个球，其中有3个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同，若一次从中摸出2个球，则至少有一个红球的概率为（）ABCD8.接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有人接种了这种疫苗，则最多人被感染的概率为（ ）ABCD9.设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）A

3、BCD10.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为（ ） ABCD11.已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ）ABCD12.在长方体中，点在线段上，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD二填空题（每小题5分，共20分）13.已知2,4,2,4四个数的平均数是5, 而5,7,4,6四个数的平均数是9,则xy的值是_.14抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体，其底面落于桌面，记所得的数字分别为x，y，则eq f(x,y)为整数的概率是_15.据孙子算经中记载，中国古代诸侯的等级从低到高分为：男、子、伯、候、公，共五级.若给有巨大

4、贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为_16.平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为，则的长为_；异面直线与夹角的余弦值为_三.解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤）17.如图所示，在长方体中，、分别、的中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.18.已知，.（1）求实数，的值；（2）求与夹角的余弦值.19.某校从高二年级学生中随机抽取60名学生，将期中考试的政治成绩（均为整数）分成六段：后得到如下频率分布直方图（1）根据频率分布直方图，分别求，众数，中位数（2）估计该校高二年级学生期中考试政治成绩的平均分（3）用分层抽样的

5、方法在各分数段的学生中抽取一个容量为20的样本，则在分数段抽取的人数是多少？如图，在直三棱柱中，点在棱上，分别为，的中点，与相交于点求证：平面求证：平面平面；求平面与平面的距离. 21.乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求（1）“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率;（2） “星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率;（3） “星队”在两轮活动至少中猜对1个成语的概率;22.如图所示，在三棱锥中，平面，.（1）求证：平面；（2）求与平面所成的角正弦值.一.选择题（每小题

6、5分，共60分）题号123456789101112选项AAACBCAACDDB填空题（每小题5分，共20分）13._6_; 14._1/2_;15._4/5_; 16._, _.解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要文字说明，证明过程或演算步骤） 解：（1）以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、，易知平面的一个法向量为，则，平面，故平面；（2）设平面的法向量为，由，得，取，可得，因为所以，故平面.18.解：（1）因为，.所以，解得：x=2，y=-4，z=2.（2）由（1）知：，所以 .设与夹角为则即与夹角的余弦值为.19.解：（1）由题意可得，解得

7、；根据频率分布直方图可知：分数段的频率最高，因此众数为75；又由频率分布直方图可知：分数段的频率为，因为分数段的频率为，所以，中位数为.（2）由题中数据可得：该校高二年级学生政治成绩的平均分估计为：；（3）因为总体共60名学生，样本容量为20，因此抽样比为；又在分数段共有人，因此，在分数段抽取的人数是人.20.（1）设，建立如图所示空间直角坐标系，所以，即，所以平面.（2），即，所以平面.所以平面平面.（3）由（2）可知平面平面，平面，平面.，所以平面与平面的距离为.21.解:设A，B分别表示甲乙每轮猜对成语的事件，M0，M1，M2表示第一轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，N0，N1，N2

8、表示第二轮甲乙猜对0个、1个、2个成语的事件，D0，D1，D2，D3，D4表示两轮猜对0个、1个、2个、3个、4个成语的事件.P(A)=，P()=1-=，P(B)=，P)=1-=，根据独立性的假定得：P(M0)=P(N0)=P()= P() P()= =，P(M1)=P(N1)=P()= P()+P() = +=，P(M2)=P(N2)=P(AB)=P(A)P(B)= =，（1）P(D2)=P(M2N0+M1N1+M0N2)= P(M2N0)+P(M1N1)+P(M0N2)=.+.+.=.（2）P(D3)=P(M1N2+M2N1)= P(M1N2)+P(M2N1)= .+.=.（3）P(D1+D2+