新教材2021-2022学年人教A版必修第一册 5.2.1　三角函数的概念 学案

1、5.2三角函数的概念5.2.1三角函数的概念核心知识目标核心素养目标1.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义.2.能利用三角函数的定义,判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等.1.通过对正弦函数、余弦函数、正切函数定义的理解与运用,重点发展学生的数学抽象和直观想象的核心素养.2.通过三角函数值在各象限内的符号和公式一的应用,进一步增强学生的数学运算和逻辑推理的核心素养.在初中,我们通过直角三角形的边角关系,学习了锐角的正弦、余弦、正切这三个三角函数,如图所示.定义sin =对边斜边,cos =邻边斜边,tan =对边邻边

2、.探究:该定义中的三个三角函数,对于同样大的一个锐角来说,如果三角形的大小发生了改变,其三角函数值是否也改变呢?提示:不变.1.任意角的三角函数的定义问题1-1 如图,锐角的终边与单位圆的交点是P(x,y),你能否用点P的坐标表示sin ,cos ,tan ?这一结论能否推广到是任意角时的情形呢?提示:根据初中所学在直角三角形中正弦、余弦、正切的定义,得sin =y,cos =x,tan =yx(x0),这一结论能推广到是任意角时的情形.问题1-2 如果角的终边落在y轴上,这时其终边与单位圆的交点坐标是什么?sin ,cos ,tan 的值是否还存在?提示:终边与单位圆的交点坐标是(0,1)或

3、(0,-1),这时tan 的值不存在,因为分母不能为零,但sin ,cos 的值仍然存在.梳理1任意角的三角函数的定义前提如图,设是一个任意角,R,它的终边OP与单位圆交于点 P(x,y)续表定义正弦把点P的纵坐标 y叫做的正弦,记作sin ,即sin =y余弦把点P的横坐标 x叫做的余弦,记作cos ,即cos =x正切把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做的正切,记作tan ,即tan =yx(x0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,将它们统称为三角函数2.三角函数值在各象限的符号问题2 根据三角函数的定义,各个三角函数值是用单位圆上点

4、的坐标表示的,当角在不同象限时,其与单位圆的交点坐标的符号就不同,因此其各个三角函数值的正负就不同,你能推导出sin ,cos ,tan 在不同象限内的符号吗?提示:当在第一象限时,sin 0,cos 0,tan 0;当在第二象限时,sin 0,cos 0,tan 0;当在第三象限时,sin 0,cos 0;当在第四象限时,sin 0,tan 0得角的终边在第一或第二象限;由cos =-450得角的终边在第二或第三象限.综上,角所在的象限是第二象限.故选B.3.sin(-476)=,cos 193=.解析:sin(-476)=sin(-8+6)=sin 6=12,cos 193=cos(6+3

5、)=cos 3=12.答案:12124.已知角的终边过点P(5,a),且tan =-125,则a=,sin +cos 的值为.解析:根据三角函数的定义,tan =a5=-125,所以a=-12.所以P(5,-12),r=13,所以sin =-1213,cos =513,从而sin +cos =-713.答案:-12-713三角函数的定义及应用例1 设a0,角的终边与单位圆的交点为P(-3a,4a),求sin +2cos 的值.解:因为点P在单位圆上,则|OP|=1,即(-3a)2+(4a)2=1,解得a=15.因为a0,所以a=-15,所以P点的坐标为(35,-45),所以sin =-45,c

6、os =35,所以sin +2cos =-45+235=25.变式训练1-1 若将本例中“a0,则r=5a,且sin =yr=4a5a=45,cos =xr=-3a5a=-35,所以sin +2cos =45-235=-25.若a0),则sin =yr,cos =xr,tan =yx.已知的终边求的三角函数值时,用这几个公式更方便.(2)当角的终边上点的坐标以参数形式给出时,一定注意对字母正、负的辨别,若正、负未定,则需分类讨论.三角函数值的符号探究角度1根据确定的角确定其函数值符号例2 确定下列各值的符号.(1)cos 260;(2)sin(-3);(3)tan(-67220);(4)tan

7、 103.解:(1)因为260是第三象限角,所以cos 2600.(2)因为-3是第四象限角,所以sin(-3)0.(4)由103=43+2,可知103是第三象限角,所以tan 1030.即时训练2-1:判断下列各式的符号.(1)tan 191-cos 191;(2)sin 2cos 3tan 4.解:(1)因为191是第三象限角,所以tan 1910,cos 1910.(2)因为2是第二象限角,3是第二象限角,4是第三象限角,所以sin 20,cos 30,所以sin 2cos 3tan 40,tan0或cos0.因为cos 0,所以是第一或第四象限角或终边在x轴的正半轴上的角.因为tan

8、0,tan0的角是第四象限角.同理可判断满足cos0的角是第三象限角.所以满足cos 与tan 异号的角是第三或第四象限角.(2)因为cos 与sin 同号,所以cos0,sin0或sin0,cos0且cos 0,则是第一象限角.若sin 0且cos 0且tan 0或cos 0且tan 0且tan 0时,是第一象限角;当cos 0且tan 0且sin 0或cos 0.当cos 0且sin 0时,是第四象限角;当cos 0时,是第二象限角.故cos 与sin 异号时,是第二或第四象限角.确定角所在的象限,应分别根据三角函数值的符号确定所在象限后取交集.诱导公式一的应用例4 求下列各式的值.(1)

9、cos 253+tan(-154);(2)sin 810+tan 1 125+cos 420.解:(1)原式=cos(8+3)+tan(-4+4)=cos 3+tan 4=12+1=32.(2)原式=sin(2360+90)+tan(3360+45)+cos(360+60)=sin 90+tan 45+cos 60=1+1+12=52.即时训练4-1:求值.(1)tan 405-sin 450+cos 750;(2)sin 73cos(-236)+tan(-154)cos 133.解:(1)原式=tan(360+45)-sin(360+90)+cos(2360+30)=tan 45-sin 9

10、0+cos 30=1-1+32=32.(2)原式=sin(2+3)cos(-4+6)+tan(-4+4)cos(4+3)=sin 3cos 6+tan 4cos 3=3232+112=54.诱导公式(一)的实质是:终边相同的角,其同名三角函数的值相等.因为这些角的终边都是同一条射线,根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值相等.其作用是可以把任意角转化为0360之间的角.例1 若sintan0且cos tan 0,则的终边落在第一象限或第四象限;又cos tan 0,则为第一象限角,r=2a,所以sin =3a2a=32,cos =a2a=12,tan =3aa=3.若a0,cos 2300,

11、所以sin 105cos 2300.(2)因为2780,tan 780,所以sin 78tan 780.(3)因为3260,tan 60,所以cos 6tan 60.(4)因为432,所以sin 40,所以sin 4tan(-234)0.例4计算下列各式的值:(1)sin(-1 395)cos 1 110+cos(-1 020)sin 750;(2)sin(-116)+cos 125tan 4.解:(1)原式=sin(-4360+45)cos(3360+30)+cos(-3360+60)sin(2360+30)=sin 45cos 30+cos 60sin 30=2232+1212=64+14

12、=1+64.(2)原式=sin(-2+6)+cos(2+25)tan(4+0)=sin 6+cos 250=12.1.(多选题)若角的终边经过点P(-1,-1),则下列各式正确的是(AD)(A)tan =1(B)sin =-1(C)cos =22(D)sin =-22解析:由点P(-1,-1)的坐标计算可得r=(-1)2+(-1)2=2,则sin =-12=-22,cos =-12=-22,tan =-1-1=1.故选AD.2.已知点P(tan ,sin )在第三象限,则角的终边在(D)(A)第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限解析:由点P(tan ,sin )在第三象限,可得tan0,sin0,所以角的终边在第四象限.故选D.3.co