新教材2021-2022学年人教A版选择性必修第三册 -　超几何分布 学案

1、74.2超几何分布新课程标准解读核心素养通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题数学抽象、数学建模、数据分析某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个问题如何求出甲通过自主招生初试的概率？若记甲答对试题的个数为X，那么如何构建适当的概率模型刻画其分布？知识点超几何分布1超几何分布的概念一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(Xk)eq f(Coal(k,M)Coal(nk,NM),Coal(n,N

2、)，km，m1，m2，r.其中n，N，MN*，MN，nN，mmax0，nNM，rminn，M，如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布2超几何分布的均值设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数令peq f(M,N)，则p是N件产品的次品率，而eq f(X,n)是抽取的n件产品的次品率，则E(X)np.超几何分布与二项分布的区别与联系超几何分布和二项分布都可以描述随机抽取的n件产品中次品数的分布规律，并且二者的均值相同对于不放回抽样，当n远远小于N时，每抽取一次后，对N的影响很小，此时，超几何分布可以用二

3、项分布近似模拟 1在10个村庄中，有4个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选6个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为()AN10，M4，n6BN10，M6，n4CN14，M10，n4 DN14，M4，n10解析：选A根据超几何分布概率模型知N10，M4，n6.2设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为()A.eq f(Coal(4,80)Coal(6,10),Coal(10,100)Beq f(Coal(6,80)Coal(4,10),Coal(10,100) C.eq f(Coal(4,80)Coal(6,20),Coal(10

4、,100)Deq f(Coal(6,80)Coal(4,20),Coal(10,100)解析：选D若随机变量X表示任取10个球中红球的个数，则X服从参数为N100，M80，n10的超几何分布取到10个球中恰有6个红球，即X6，P(X6)eq f(Coal(6,80)Coal(4,20),Coal(10,100)(注意袋中球的个数为8020100)3某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X3)_.解析：P(X3)eq f(Coal(3,5)Coal(1,5),Coal(4,10)eq f(5,21).答案：eq f(5,21)超几

5、何分布的概率例1(链接教科书第78页例4)10件产品中有2件次品，任取2件进行检验，求下列事件的概率：(1)至少有1件次品；(2)至多有1件次品解(1)“至少有1件次品”的对立事件是“2件都是正品”“2件都是正品”的概率为eq f(Coal(2,8),Coal(2,10)eq f(28,45)，所以“至少有1件次品”的概率为1eq f(28,45)eq f(17,45).(2)“至多有1件次品”的对立事件为“2件都是次品”，“2件都是次品”的概率为eq f(Coal(2,2),Coal(2,10)eq f(1,45)，所以“至多有1件次品”的概率为1eq f(1,45)eq f(44,45).

6、有关超几何分布问题，可直接套用公式求解，对于含“至多”“至少”等求概率问题，可先求其对立事件概率，再求原事件概率 跟踪训练从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率解：设摸出的红球个数为X，则X服从超几何分布，其中N25，M10，n5，由于摸出5个球，得7分，仅有摸出两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为P(X2)eq f(Coal(2,10)Coal(3,15),Coal(5,25)0.385，即恰好得7分的概率约为0.385.超几何分布的分布列例2(链接教科书第79页例6)一个袋中装有6个形状、大小完全相

7、同的小球，其中红球有3个，编号为1,2,3；黑球有2个，编号为1,2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球(1)求取出的3个球的颜色都不相同的概率；(2)记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列解(1)从袋中一次随机抽取3个球，所有取法的总数nCeq oal(3,6)20，取出的3个球的颜色都不相同包含的样本点的个数为Ceq oal(1,3)Ceq oal(1,2)Ceq oal(1,1)6，所以取出的3个球的颜色都不相同的概率为Peq f(6,20)eq f(3,10).(2)由题意知X0,1,2,3.P(X0)eq f(Coal(0,3),Coal(3,6)eq f

8、(1,20)，P(X1)eq f(Coal(1,3)Coal(2,3),Coal(3,6)eq f(9,20)，P(X2)eq f(Coal(2,3)Coal(1,3),Coal(3,6)eq f(9,20)，P(X3)eq f(Coal(3,3),Coal(3,6)eq f(1,20).所以X的分布列为X0123Peq f(1,20)eq f(9,20)eq f(9,20)eq f(1,20)母题探究1(变设问)在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量，求随机变量的分布列解：由题意可知0,1，服从两点分布又P(1)eq f(Coal(2,5),Coal(3,6)eq f(1,2)，所以的分

9、布列为01Peq f(1,2)eq f(1,2)2(变条件)将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？解：(1)取出3个球颜色都不相同的概率Peq f(Coal(1,3)Coal(1,2)Coal(1,1)Aoal(3,3),63)eq f(1,6).(2)由题意知X0,1,2,3.P(X0)eq f(33,63)eq f(1,8)，P(X1)eq f(Coal(1,3)333,63)eq f(3,8).P(X2)eq f(Coal(2,3)333,63)eq f(3,8)，P(X3)eq f(33,63)eq f(1,8).所以X的

10、分布列为X0123Peq f(1,8)eq f(3,8)eq f(3,8)eq f(1,8)求超几何分布的分布列的步骤(1)验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N，M，n的值；(2)根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；(3)用表格的形式列出分布列 跟踪训练从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量表示所选3人中男生的人数(1)求的分布列；(2)求的均值和方差；(3)求“所选3人中男生人数1”的概率解：(1)由题知的可能取值为0,1,2，P(0)eq f(Coal(0,2)Coal(3,5),Coal(3,7)eq f(2,7)，P(1)eq f(Co

11、al(1,2)Coal(2,5),Coal(3,7)eq f(4,7)，P(2)eq f(Coal(2,2)Coal(1,5),Coal(3,7)eq f(1,7)，所以的分布列为012Peq f(2,7)eq f(4,7)eq f(1,7)(2)由(1)可得E()0eq f(2,7)1eq f(4,7)2eq f(1,7)eq f(6,7)，D()eq blc(rc)(avs4alco1(0f(6,7)2eq f(2,7)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(6,7)2eq f(4,7)eq blc(rc)(avs4alco1(2f(6,7)2eq f(1,7)eq f(20,49

12、).(3)由(1)可得P(1)P(0)P(1)eq f(2,7)eq f(4,7)eq f(6,7).超几何分布的综合应用例3某海域共有A，B型两种搜救船10艘，其中A型船7艘，B型船3艘(1)现从中任选2艘执行搜救任务，求恰好有一艘B型船的概率；(2)假设每艘A型船的搜救能力指数为5，每艘B型船的搜救能力指数为10.现从这10艘船中随机抽出4艘执行搜救任务，设搜救能力指数为，求的分布列解(1)设“恰好有1艘B型船”为事件A，则P(A)eq f(Coal(1,7)Coal(1,3),Coal(2,10)eq f(7,15)，即恰好有1艘B型船的概率为eq f(7,15).(2)法一：依题意，的

13、可能取值为20,25,30,35.且P(20)eq f(Coal(4,7),Coal(4,10)eq f(1,6)，P(25)eq f(Coal(3,7)Coal(1,3),Coal(4,10)eq f(1,2)，P(30)eq f(Coal(2,7)Coal(2,3),Coal(4,10)eq f(3,10)，P(35)eq f(Coal(1,7)Coal(3,3),Coal(4,10)eq f(1,30).所以的分布列为20253035Peq f(1,6)eq f(1,2)eq f(3,10)eq f(1,30)法二：设随机抽取的4艘船中含有B型船的艘数为，依题意服从超几何分布，且N10，

14、M4，n3.而搜救能力指数105(4)205，其中0,1,2,3，所以20,25,30,35.且P(20)P(0)eq f(Coal(0,3)Coal(4,7),Coal(4,10)eq f(1,6)，P(25)P(1)eq f(Coal(1,3)Coal(3,7),Coal(4,10)eq f(1,2)，P(30)P(2)eq f(Coal(2,3)Coal(2,7),Coal(4,10)eq f(3,10)，P(35)P(3)eq f(Coal(3,3)Coal(1,7),Coal(4,10)eq f(1,30).故的分布列为20253035Peq f(1,6)eq f(1,2)eq f(

15、3,10)eq f(1,30)求超几何分布的均值的步骤(1)先判断随机变量服从超几何分布，找出参数N，M，n的取值；(2)利用公式P(Xk)eq f(Coal(k,M)Coal(nk,NM),Coal(n,N)，k0,1,2，m，mminM，n)求出分布列；(3)利用均值定义求出均值E(X) 跟踪训练某批产品共10件，已知从该批产品中任取1件，则取到的是次品的概率为p0.2.若从该批产品中任意抽取3件(1)求取出的3件产品中恰好有一件次品的概率；(2)求取出的3件产品中次品的件数X的概率分布列与期望解：设该批产品中次品有x件，由已知eq f(x,10)0.2，所以x2.(1)设取出的3件产品中

16、次品的件数为X，则X服从超几何分布，且N10，M2，n3.取出的3件产品中恰好有一件次品的概率为P(X1)eq f(Coal(1,2)Coal(2,8),Coal(3,10)eq f(7,15).(2)因为X的可能取值为0,1,2，且P(X0)eq f(Coal(3,8),Coal(3,10)eq f(7,15)，P(X1)eq f(7,15)，P(X2)eq f(Coal(2,2)Coal(1,8),Coal(3,10)eq f(1,15).所以X的概率分布列为X012Peq f(7,15)eq f(7,15)eq f(1,15)则E(X)0eq f(7,15)1eq f(7,15)2eq

17、f(1,15)eq f(3,5).随机变量函数的数学期望和方差1某商场做促销活动，凡是一家三口一起来商场购物的家庭，均可参加返现活动，活动规则如下：商家在箱中装入20个大小相同的球，其中6个是红球，其余都是黑球；每个家庭只能参加一次活动，参加活动的三口人，每人从中任取一球，只能取一次，且每人取球后均放回；若取到黑球则获得4元返现金，若取到红球则获得12元返现金若某家庭参与了该活动，求该家庭获得的返现金额的期望提示：设3个人中取到黑球的个数记为随机变量X，则3个人中取到红球的个数记为随机变量3X，记该家庭获得的返现金额为随机变量Y，则由题意知Y4X12(3X)368X，因为每次取得黑球的概率为e

18、q f(14,20)0.7，所以XB(3,0.7)，所以E(Y)368E(X)36830.719.2.2某篮球运动员在三分球大赛时的命中率为eq f(1,2)，假设三分球大赛中总计投出8球，投中一球得3分，投丢一球扣1分，求该运动员得分的期望与方差提示：设该运动员命中球数为X，根据题意，该运动员命中球数XBeq blc(rc)(avs4alco1(8，f(1,2)，E(X)8eq f(1,2)4，D(X)8eq f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)2.设该运动员的得分为随机变量Y，则Y的所有可能取值为8，4,0,4,8,12,16,20,24，且P(Y8)P(X

19、0)，P(Y4)P(X1)，P(Y0)P(X2)，P(Y4)P(X3)，P(Y8)P(X4)，P(Y12)P(X5)，P(Y16)P(X6)，P(Y20)P(X7)，P(Y24)P(X8)，随机变量X，Y的关系为Y4X8，E(Y)E(4X8)4E(X)84488，D(Y)D(4X8)16D(X)16232.结论求解随机变量YaXb的均值时，可以先求出随机变量X的均值E(X)，然后利用公式E(aXb)aE(X)b，求得随机变量Y的均值；也可以先求出YaXb的分布列，然后利用均值的定义公式求出随机变量Y的均值由以上两题可以看出，要求期望的随机变量Y本身并不服从超几何分布或二项分布，但它和另一个服从

20、超几何分布或二项分布的随机变量X可以建立一个一次函数关系，这时通常先根据超几何分布或二项分布的期望公式求得X的期望E(X)，再利用期望的性质求得E(Y)；也可以直接对Y进行分析，求得其分布列，然后利用期望的定义求解迁移应用网约车的兴起丰富了民众出行的选择，为民众出行提供便利的同时也解决了很多劳动力的就业问题梁某为网约车司机，据梁某自己统计某一天出车一次的总路程数可能的取值是20,22,24,26,28,30，它们出现的概率依次是0.1,0.2,0.3,0.1，t,2t.(1)求这一天中梁某一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和方差；(2)网约车计费规则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3 km时，收费5元，若行驶路程超过3 km，则每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元依据以上条件，计算梁某一天中出车一次收入的均值和方差解：(1)由概率分布的性质知，0.10.20.30.1t2t1，t0.1.X的分布列为X202224262830P0.1