讲义微积分函数

1、第一章分析基础 函数 极限 连续 研究对象 研究方法 研究桥梁函数与极限 第一章 二、函数 一、实数第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数三、初等函数一、 实数机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 实数的连续性人们认识数是从自然数开始的,有了加法和减法,进而对数的认识扩展到整数;引进除法后,就又进一步扩展到有理数.到了有理数的时候,还是比较直观的,因此,在一段时期中,人们认为有理数已经充满了整个数轴,但这个理念是错误的！无理数的发现,引起了很大的震撼,可以说是数学史上数的里程碑.实数就是有理数和无理数的统称.对于实数,它对于四则运算下是封闭的;建立数轴后,它和数轴的点一一对应的,并

2、且充满整个数轴,是连成一片的,这就是实数的连续性.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 关于实数的一些通用记号自然数集整数集合有理数集 p 与 q 互质实数集合 x 为有理数或无理数开区间闭区间无限区间点的 邻域其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .半开区间去心 邻域左 邻域 :右 邻域 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义域二、函数1. 函数的概念 定义1. 设数集则称映射为定义在D 上的函数 ,记为 f ( D ) 称为值域 函数图形:机动 目录 上页 下页 返回 结束 自变量因变量(对应规则)(值域)(定义域)例如, 正弦函数 定义域 对应规律的表示方法:解析法、图象法

3、、列表法使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.定义域值域又如, 绝对值函数定义域值 域机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 函数的几种特性设函数且有区间(1) 有界性使称 使称 说明: 还可定义有上界、有下界、无界 (见课本 P6 )(2) 单调性为有界函数.在 I 上有界. 使若对任意正数 M , 均存在 则称 f ( x ) 无界.称 为有上界称 为有下界当时,称 为 I 上的称 为 I 上的单调增函数 ;单调减函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3) 奇偶性且有若则称 f (x) 为偶函数;若则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则

4、当必有例如, 偶函数双曲余弦 记机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如,奇函数双曲正弦 记再如,奇函数双曲正切 记机动 目录 上页 下页 返回 结束 (4) 周期性且则称为周期函数 ,若称 l 为周期( 一般指最小正周期 ).周期为 周期为注: 周期函数不一定存在最小正周期 .例如, 常量函数狄里克雷函数x 为有理数x 为无理数机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 反函数与复合函数(1) 反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为 f 的反函数 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 其反函数(减)(减) .1) yf (x) 单调递增且也单调递增 性质:

5、2) 函数与其反函数的图形关于直线对称 .例如 ,对数函数互为反函数 ,它们都单调递增,其图形关于直线对称 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 指数函数(2) 复合函数 则设有函数链称为由, 确定的复合函数 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 复合映射的特例 u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如, 函数链 :函数但函数链不能构成复合函数 .可定义复合机动 目录 上页 下页 返回 结束 两个以上函数也可构成复合函数.例如, 可定义复合函数:4. 函数的四则运算机动 目录 上页 下页 返回 结束 5. 初等函数(1) 基本初等函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数

6、、反三角函数(2) 初等函数由常数及基本初等函数否则称为非初等函数 . 例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步骤所构成 ,称为初等函数 .可表为故为初等函数.( 自学, P9 P13 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 非初等函数举例:符号函数当 x 0当 x = 0当 x 0取整函数当机动 目录 上页 下页 返回 结束 注：分段函数有可能是初等函数，也有可能不是初等函数.例. 试说明下列初等函数是如何通过基本初等函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 得到的：解: 内容小结1. 实数定义域对应规律3. 函数的特性有界性, 单调性,奇偶性, 周期性4. 初等函数的结构2. 函数的定义及函数的二要素第二节 目录 上页 下页 返回 结束 基本初等函数1、幂函数2、指数函数3、对数函数4、三角函数正弦函数余弦函数正切函数余切函数5、反三角函数 幂函数,指数