行列式的概念

1、 在现实世界中，变量与变量之间的依赖关系可分为线性的和非线性的两大类。线性代数主要是研究线性函数，把问题化为求解线性代数方程组之类的运算。特别在电子计算机出现之后，原来难以计算的高阶线性代数方程组的解可以很快地算出来，这就促进了线性代数的广泛应用和发展。行列式和矩阵是讨论和解线性方程组的重要工具。10.1 n阶行列式1.1 二阶行列式设二元线性方程组为1 . 二、三阶行列式用消元法求得,当时,可得该方程组的惟一解化为定义1规定式 并称该式左端为二阶行列式,右端为二阶行列式的展开式 aij (i=1,2;j=1,2)称为二阶行列式的元素，横排的称为行，竖排的称为列其中i为行标，j为列标。=352

2、4例1 计算下列行列式 解原式=解原式=158=1.2 三阶行列式 定义2 定义用32个数组成的记号“对角线法”例2 计算下列三阶行列式：练习（书P233 ）1.3 余子式和代数余子式 行列式中，将元素 aij 所在的行与列划掉，剩余的元素保持原来的位置所组成低一阶的行列式称为元素aij 的余子式，记为Mij,定义元素aij 的代数余子式为 如，三阶行列式的代数余子式，练习：求下列行列式的代数余子式 （1）（2）解：解：2.、阶行列式定义 3阶行列式已经定义，规定4阶行列式2、n阶行列式通常，把上述定义简称为按行列式的第1行展开解 因为a12=a13=0 所以由定义2.2、n阶行列式 一个三阶

3、行列式可以用三个二阶行列式来表示，所以可以用二阶行列式来定义三阶行列式，可以用三阶行列式来定义四阶行列式，依此类推，一般地，可以用n个n-1阶行列式来定义n阶行列式，下面给出n阶行列式的定义：定义 设n-1阶行列式已经定义，规定n阶行列式其中 A1j=(-1)1+jM1j ( j=1,2,n ) 这里M1j为元素a1j的余子式，即为划掉A的第1行第j列后所得的n-1阶行列式，A1j称为a1j的代数余子式例4 计算行列式(下三角行列式).解 由定义，将Dn 按第一行展开，得行列式D与它的转置行列式DT的值相等 如果行列式的某一行（列）的每一个元素都是二项式，则此行列式等于把这些二项式各取一项作成

4、相应的行（列），其余的行（列）不变的两各行列式的和3、行列式的性质性质1性质2 如果把行列式D的某一列（行）的每一个元素同乘以一个常数k则此行列式的值等于kD也就是说，行列式中某一列（行）所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面 如果把行列式的某两列（或两行）对调，则所得的行列式与原行列式的绝对值相等，符号相反 如果行列式的某两列（或两行）的对应元素相同，则此行列式的值等于零 如果行列式的某两列（或两行）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零 “行列式的两列对应元素成比例”就是指存在一个常数k，使ali=kalj(l=1,2n) 性质3性质4推论性质5 如果把行列式的某一列（行）的每一个元素加

5、上另一列（行）的对应元素的k倍，则所得行列式与原行列式的值相等由于行列式的整个计算过程方法灵活，变化较多，为了便于书写和复查，在计算过程中约定采用下列标记方法：1.以（r）代表行，（c）代表列2.把第i 行（或第i 列）的每一个元素加上第j 行（或第j 列）对应元素的k倍，记作（ri）+k（rj）或（ci）+k（cj）3.互换i 行（列）和j 行（列），记作（ri）（rj）或（ci）（cj）性质604320-1-11044700-1600011 行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即D= ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin （i=1,2,n） 行列式D的一行元素分别与另一行对应的代数余子式之乘积的和等于零，即aj1Ai1+aj2Ai2+ajnAin=0 （i,j=1,2,n, ij）例按第