高中数学北师大版 必修第一册第五章函数应用培优专练2

1、试卷第 =page 3 3页，共 =sectionpages 4 4页试卷第 =page 4 4页，共 =sectionpages 4 4页高中数学北师大版（2019）必修第一册第五章函数应用培优专练2第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1已知函数，若函数存在零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD2若不等式对任意的恒成立，则（ ）AB，C，D3已知函数，函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围为（ ）ABCD4对于，定义运算“”：，设，且关于的方程恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是（ ）ABCD(1,2)5已知函数，若对于任意正数，关于的方程都恰有两个不相等的实数根，则满

2、足条件的实数的个数为（ ）ABCD无数6已知，函数的定义域为，若函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围是（ ）AB或CD二、多选题7已知函数，则下列结论正确的是（ ）A若没有零点，则B若恰有2个零点，则C若恰有3个零点，则或D若）恰有4个零点，则8已知定义域为R的奇函数，当时，下列说法中正确的是（ ）A当时，恒有B若当时，的最小值为，则m的取值范围为C不存在实数k，使函数有5个不相等的零点D若关于x的方程所有实数根之和为0，则第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9设（其中为自然对数的底数），若函数恰有4个不同的零点，则实数的取值范围为_.10已知定义在上的单调函数，若

3、对任意都有，则方程的解集为_11某厂商为推销自己品牌的可乐，承诺在促销期内，可以用3个该品牌的可乐空罐换1罐可乐.对于此促销活动，有以下三个说法：如果购买10罐可乐，那么实际最多可以饮13罐可乐;欲饮用100罐可乐，至少需要购买67罐可乐：如果购买罐可乐，那么实际最多可饮用可乐的罐数.（其中表示不大于x的最大整数）则所有正确说法的序号是_.12若平面直角坐标系内两点P，Q满足条件：，Q都在函数的图象上；，Q关于原点对称，则称点对是函数的图象上的一个“友好点对”已知函数 （且），若此函数的“友好点对”有且只有一对，则实数a的取值范围是_四、解答题13已知函数（其中，且）的图象关于原点对称.（1）

4、求，的值；（2）当时，判断在区间上的单调性（只写出结论即可）；关于的方程在区间上有两个不同的解，求实数的取值范围.142021年5月，“共和国勋章”获得者、“杂交水稻之父”袁隆平先生辞世，他的功绩将永远被人们铭记：在他和几代科学家的共同努力下，中国用全世界7%的耕地，养活了全世界22%的人口，目前，我国年人均粮食占有量已经稳定在470千克以上，远高于国际公认的400千克粮食安全线，雅礼中学数学建模小组的同学想研究假如没有杂交水稻的推广，没有合理的人口、土地政策，仅以新中国成立时的自然条件为前提，我国年人均粮食占有量会如何变化？根据英国经济学家马尔萨斯人口论的观点“人口呈几何级数增长，而生活资料

5、呈直线型增长”，该小组同学做了以下研究根据马尔萨斯的理论，自然状态下人口增长模型为（其中t表示经过的时间，表示时的人口数，r表示人口的年平均增长率，y表示t年后的人口数，单位：万人）根据国家统计局网站的数据，我国1950年末、1959年末的人口总数分别为55196万和67207万该小组同学根据这两个数据，以1950年末的数据作为时的人口数，求得式人口增长模型（1）请求出该小组同学式的人口增长模型；（2）根据马尔萨斯的理论，该小组同学把自然状态下粮食增长模型近似看作直线型模型，通过查阅我国1950年末至1959年末粮食产量，得到粮食增长模型近似为y=600t+13600（其中t表示经过的时间，y

6、表示第t年的粮食年产量，单位：万吨）（）表示从1950年末开始第t年的年人均粮食占有量，单位：吨/人求满足的正整数k的最小值按此模型，我国年人均粮食占有量能达到400千克吗？试说明理由参考数据：，15已知函数（1）根据函数单调性的定义，研究的单调性；（2）若有唯一零点，求的值16已知，函数（1）若，用单调性定义证明函数在上是减函数；（2）若，求的值域；（3）若存在，使，求a的取值范围答案第 = page 21 21页，共 = sectionpages 21 21页答案第 = page 20 20页，共 = sectionpages 21 21页参考答案1B【分析】若函数存在零点，即有解，转化为

7、函数和图像的交点，结合图像，找到临界值，即可得解.【详解】若函数存在零点，即有解，转化为函数和图像的交点，如图所示，恒过，过端点与的 直线的斜率，设与相切与，则切点处的导数为，则过切点的直线方程为，又切线过，则，所以，得，此时切线斜率为，由图可知，若函数存在零点，则实数的取值范围是或，故选：B.【点睛】本题考查了函数零点问题，考查了转化思想，转化零点为函数图像的交点，关键是求出临界值，在求切线方程时，切入口是设出切点，根据导数的几何意义进行求解，同时考查了直线斜率问题，设及知识点较多，属于较难题.2B【分析】先分析特殊点对的要求，再结合函数的趋势，排除掉一些范围，最终确定函数，的零点相同，得到

8、关系式，最终求出答案.【详解】对任意恒成立，当时，不等式等价为，即，当时，此时，则，设，若，则，函数的零点为，则函数在上，此时不满足条件；若，则，而此时时，不满足条件，故；函数在上，则上，而在上的零点为，且在上，则，上，要使对任意恒成立，则函数与的零点相同，即，故选：B3B【分析】先作出两函数的图像，由图像可知当时，与有1个交点，所以只要当时，与有两个交点即可，结合图像可得的图象在上有两交点，则在上没有交点，即直线与在有两交点，且的图象在上没有交点，即在有两个解，且在上没有解，然后利用方程根的分布进行求解即可【详解】如图当时，与有1个交点.要使有3个零点，则当时，与有两个交点即可，若，两函数没

9、有交点，所以，画出图象，如下图所示，根据图象的图象在内至多有一个交点.当的图象在上有两交点，则在上没有交点.即直线与在有两交点，且的图象在上没有交点.即在有两个解，且在上没有解.设，需，且解得或（舍去），且所以此时若在上的图象有1个交点，则在 上的图象有1个交点即在有1个解，且在上有1个解.则且，此时无解.要使在只有两交点，则.故选：B【点睛】此题考查函数与方程，考查由函数的零点个数求参数的取值范围，考查转化思想和计算能力，属于较难题4A【分析】由题设写出的解析式，再结合函数图像可知，再求出的范围，即可求得结果.【详解】由题设知化简整理得：，画出函数的图像，如下图由，当关于的方程恰有三个互不相

10、等的实数根时，t的取值范围是，设，则是的两个根，关于对称，故，下面求的范围：，解得：，故所以故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，利用数形结合的方法求解.5B【分析】分、三种情况讨论，作出函数的图象，根据已知条件可得出关于实数的等式与不等式，进而可求得实数的取值.【详解】当时，作出函数的图象如下图所示：由图可知，当时，关于的

11、方程有且只有一个实根，不合乎题意；当时，如下图所示：函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，由题意可得，解得；若，则，如下图所示：函数在单调递减，在上单调递减，在上单调递增，由题意可得，此时无解.综上所述，.故选：B.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.6A【分析】写出的分段函数解析式，利用函数在区间上

12、有两个不同的零点，利用参数分离法转化为有两个零点，即函数的图像与直线有两个交点，数形结合即可得解.【详解】令，利用参数分离法得，令函数在区间上有两个不同的零点，转化为函数的图像与直线在区间上有两个交点，作出函数的草图，如图所示：由图可知，的取值范围是：故选：A【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解7AC【分析】当

13、时，判断不是的零点；当时，由，分离参数得，将问题转化为直线与函数图象的交点个数作出的图象，运用数形结合的思想逐一判断可得选项.【详解】解：当时，所以不是的零点；当时，由，即，得，则的零点个数等于直线与函数图象的交点个数当时，当且仅当，即时取等号，所以当时，当且仅当时取等号，当时，当且仅当，即时取等号，所以当时，当且仅当时取等号，作出函数的大致图象（如下图所示），由图可知：若没有零点，则，故A正确；若恰有2个零点，则，故B不正确；若恰有3个零点，则或，故 C正确；若）恰有4个零点，则，故D不正确，故选：AC.8BC【分析】根据函数的奇偶性及时的解析式作出函数的图象，结合图象可判断AB选项，联立与

14、可判断相切时切点横坐标为1，当，时最多一个交点，可判断C，根据函数奇偶性与对称性判断D【详解】当时，且为R上的奇函数，作函数f（x）的图象如图：对于A，当时，函数f（x）不是单调递减函数，则f（x1）f（x2）不成立，故A不正确；对于B，令，解得，由图象可知，当时，的最小值为，则，故B正确；对于C，联立，得，（k+1）24k2+2k3=0，存在，使得=0，此时,可知最多有3个不同的交点，不存在实数k，使关于x的方程f（x）kx有5个不相等的实数根，故C正确；对于D，由 可得或，函数f（x）是奇函数，若关于x的两个方程与所有根的和为0，函数的根与根关于原点对称，则，但x0时，方程有2个根，分别为

15、，两根之和为，若关于x的两个方程与所有根的和为0，则的根为，此时 ，故D错误.故选：BC【点睛】关键点点睛：利用奇函数的对称性得出函数的图象是解决本题的关键所在，结合函数的单调性，函数值的变换，函数图象的交点，利用数形结合解决问题，属于难题.9【分析】求函数，研究函数的单调性和极值，作出函数的图象，设，若函数恰有4个零点，则等价为函数有两个零点，满足或，利用一元二次函数根的分布进行求解即可【详解】当时，由得：，解得，由得：，解得，即当时，函数取得极大值，同时也是最大值，（e），当，当，作出函数的图象如图，设，由图象知，当或，方程有一个根，当或时，方程有2个根，当时，方程有3个根，则，等价为，当

16、时，若函数恰有4个零点，则等价为函数有两个零点，满足或，则，即（1） 解得：，故答案为：【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，利用换元法进行转化一元二次函数根的分布以及求的导数，研究函数的的单调性和极值是解决本题的关键，属于难题10【分析】由题可求，再利用数形结合即求.【详解】定义在上的单调函数，对任意都有，令，则，在上式中令，则，解得，故，由得，即，在同一坐标系中作出函数和的图像，可知这两个图像有2个交点，即和，则方程的解集为故答案为：.11.【分析】罐可乐有个可乐空罐，第一次可换罐可乐还剩个空罐，第二次可换罐可乐还剩个空罐，由此算出最多可饮用的可乐罐数；：先分析购买罐可乐的情况，再分析购买

17、罐可乐的情况，由此确定出至少需要购买的可乐罐数；：先分析购买到罐可乐分别可饮用多少罐可乐以及剩余空罐数，然后得到规律，再分奇偶罐数对所得到的规律进行整理，由此计算出的结果.【详解】：购买罐可乐时，第一次可换罐还剩个空罐，第二次可换罐还剩个空罐，所以最多可饮用罐可乐，故错误；：购买罐时，第一次可换罐可乐，第二次可换罐可乐还剩个空罐，第三次可换罐可乐还剩个空罐，第四次可换罐可乐还剩个空罐，所以一共可饮用罐；购买罐时，第一次可换罐可乐还剩个空罐，第二次可换瓶可乐还剩个空罐，第三次可换罐可乐，第四次可换罐可乐还剩个空罐，所以一共可饮用罐；所以至少需要购买罐可乐，故正确；：购买到罐可乐分别可饮用可乐罐数

18、以及剩余空罐数如下表所示：购买数饮用数剩余空罐数由表可知如下规律：（1）当购买的可乐罐数为奇数时，此时剩余空罐数为，当购买的可乐罐数为偶数时，此时剩余的空罐数为；（2）实际饮用数不是的倍数；（3）每多买罐可乐，可多饮用罐可乐，（4）实际饮用的可乐罐数要比购买的可乐罐数的倍少或；设购买了罐可乐，实际可饮用的可乐罐数为，所以，即，即，又因为可看作，即不大于的最大整数，所以成立，故正确；故答案为：.【点睛】关键点点睛：解答本题时，一方面需要通过具体购买的可乐罐数去分析实际饮用的可乐罐数，另一方面需要对实际的购买情况进行归纳，由此得到购买的可乐罐数与实际饮用的可乐罐数的关系，从而解决问题.12【分析】

19、若此函数的“友好点对”有且只有一对，则等价为函数，与，只有一个交点，作出两个函数的图象如图，然后分和两种情况讨论即可【详解】当时，函数关于原点对称的函数为，即，若此函数的“友好点对”有且只有一对，则等价为函数，与，只有一个交点，作出两个函数的图象如图：若，则，与，只有一个交点，满足条件，当时，若，要使两个函数只有一个交点，则满足，即得，得或，综上或，即实数a的取值范围是，故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的应用，结合函数的对称性，解题的关键是转化为对称函数的相交问题，利用函数图像求解，考查分类讨论思想，有一定的难度13（1）或；（2）在区间上单调递增；.【分析】（1）由图象关于原

20、点对称知：，结合函数解析式可得，即可求参数.（2）由已知得，为，的构成的复合函数，由它们在上均单调递增，即知的单调性；由整理方程得在区间上有两个不同的解，令，有，结合基本不等式求其最值，进而确定的取值范围.【详解】（1）由题意知：，整理得，即，对于定义域内任意都成立，解得或.（2）由知：，故，由，在上均单调递增，在区间上的单调递增.由知，可得，即在区间上有两个不同的解，令，当且仅当时等号成立，而在上递减，在上递增，且时.【点睛】关键点点睛：（1）利用函数的对称性，结合解析式列方程求参数值；（2）根据对数型复合函数的构成判断单调性，应用参变分离、换元思想，将方程转化为在上存在不同的对应相同的值，

21、求参数范围.14（1）（2）24 ；不能；理由见解析【分析】（1）由题意得，两边取自然对数化简计算可求得，从而可求得式的人口增长模型，（2）由，可得，化简计算得，从而可求出正整数k的最小值，由当时，所以当时，最大，计算，从而得，进而可得结论（1）由题意可得，则，所以，所以，所以（2）由，得，所以，化简得，即，解得，因为k为正整数，所以正整数k的最小值为24，由当时，所以当时，最大，即，所以按此模型，我国年人均粮食占有量不能达到400千克15（1）在区间上单调递增，在区间上单调递减；（2）【分析】（1）易知函数的定义域为R，容易证明函数是一个偶函数，先探讨函数在上的单调性，再根据偶函数的特征得到函数在上的单调性.（2）根据题意可以发现函数向左平移一个单位后是偶函数（定义为），现在考虑函数只有一个零点即可，函数的图像关于y轴对称，唯一的零点必然在x=0处，解得即可.【详解】（1）的定义域为，对任意的，有，所以函数为偶函数