八年级数学寒假专题-平移旋转在几何解证中的作用华东师大版知识粗讲

1、初二数学寒假专题一一平移旋转在几何解证中的作用华东师大版【同步教育信息】一.本周教学内容：寒假专题一一平移旋转在几何解证中的作用 主要内容平移旋转在几何解证中的作用在几何题或代数几何综合题的解证过程中，经常会使用几何变换的观点来解决问题。从图形的特点出发，利用几何变换，可将图形的全部或一部分移动到一个新 的位置，构成一个新的关系，从而使问题获得解决。这种几何变换不改变被移动部分图形的形状和大小，而只是它的位置发生了变化，这种移动有利于找出图形之间 的关系，从而使解题更为简捷。移动图形一般有三种方法：(1)平移法。(2)旋转法：利用旋转变换。(3)对称：可利用中心对称和轴对称。【典型例题】例1.

2、如图所示，A、B两村之间有一条河，河宽为 a,现要在河上修一座垂直于河岸的桥，要使AB两村路程最近，请确定修桥的地点。/NB分析：假设桥为MN从A- B要走的路程为 AMNB要使路程最近，只需 AM NB最小即可。例2.在4ABC的边BC上，取两点 D E,使BD= CE,观察 AB+ AC与AA AE的大小关系。分析：四条线段AR AG AD AE比较分散，可利用平移的方法将它们集中到一起，即可求出大小关系。 证明：将AECgEB的方向平移到 FBD位置. FB= AE, FD= AC设FD与AB的交点为O在AOD43, AO+ ODAD 在 FOB 中,FO+ OB FB例3.已知：AB=

3、 CD= 1, AB与CD交于。点，/ DOB= 60 ,比较 AC+ BD与1的大小。7 E分析：利用平移将AC与BD集中，再利用三角形三边关系进行比较大小。解：证明：过C作CE/ AB,过B作BE/ AC,连结 DE四边形ABEC为平行四边形AC= BE, AB= CE. / DOB= 60 , AB/ CE./ DCE= 60 AB= CD= 1CE= CD= 1. DCE等边三角形DE= 1在 DEB 中,DB+ BE DE即 DB+ AO 1例4.已知：如图，E是正方形 ABCDW边BC上一点，AF平分/ EAD交CD于点F,说明AE= BE+ DF的理由。BEC分析：由于要证的3条

4、线段AB BE、DF分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。解：把4ADF绕点A顺时针旋转90 ,则点D转到了点B的位置，点F转到了点F的位置，根据旋转的性质得: /3=/1, FB = FD, /AFB = /AFDABC的正方形.D= / ABF= 90F、B、E、C在一条直线上又/ 1 + Z 2+Z EAB= 90.3+Z 2+Z EAB= 90. FAE+/ 2=90又 / AFD+ / 1= 90 ./ AFB+Z 1 = 90= / 2FAE=/ AFBAE= FE = FB + BE= FD+ BE例5.如图，P是正方形ABCg一点，将 ABP绕点B顺时针旋转

5、90 ,使AB与CB重合，BP到达BP处，AP到达CP处，若AP的延长线正好经过 P,求/ APB 的度数。分析：此题运用旋转将 ABP绕点B顺时针旋转90。，根据旋转性质求出/BPC的度数即可。而/ BPC又是/ BPP与/ CPP之和，可各个击破，从而得解。解：由旋转的性质及特征可知：/PBP=90 , APIPC, BP= BP又AP的延长线正好经过P点APC=90.Z BPC= / APC + / BPP =135从而可得/ APB= 135例6.已知：如图，E、F、G分别是正方形 ABC邛 BC AB CD上的点，且 AE FG求证:AE= FGE分析:证明:FAE、FG所在位置不易

6、证明相等，可将其一改变位置，如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。延长AB至F使BF = BE,连结 CF正方形ABCDAB= CB, / ABC= 90又 / CBF=90 , BE= BF.ABE绕点B顺时针旋转 90可得 CBFAE= CF , AE CFFG AEFG/ CF又正方形 ABCD AB/ CD，四边形GFFC为平行四边形CF = FGAE= FG例7.如图，P是正方形 ABCM AC上一点，PE AD E, PF CD于F。求证：(1) OEL OFOE= OF分析：充分利用正方形的中心对称性及旋转变换。证明：二.正方形ABCD./ ADC= 90 , / DAC=

7、45 DEI AD, / PED= 90PFC口 / PFD= 90四边形EPFD为矩形PE= DF又. / PED= 90 , / DAC= 45./ APE= 45.AEP中，AE= PEAE= DF正方形ABCM中心对称图形.AO啜点O顺时针旋转 90与 DOCt合.A与D为对应点又 AE= DFE与F为对应点由旋转变换的特征知：OEL OF, OE= OF例8. ABC为等边三角形，点DE、F分别在边AGARBC上，且AE=BF= C口连结AF、BD CE,分别交于点 G H、觇求/ 1的度数；判断 GMH勺形状。分析:等边三角形是旋转对称图形，且每个角都是60 , / 1是4BCH的

8、外角，可知/ 1 = /2 + /3。而/ 2= / 4Z 1 = / 4+/ 3=60 ,从而得证。解：(1)二.等边 ABC是旋转对称图形，且 AE= BF= CD所以， ABC绕旋转中心旋转 120后， AEC 4BFA CDB能够重合/ 2=7 4由/ 1 = Z 2+Z 3Z 1 = / 4+/ 3= 60(2)同理可得：/ GMH= / MGH= 60. GMH1等边三角形【模拟试题】1. 两个长为12cm的线段AB与CD相交于点0, / AO氏120 ,判断AC+ BD的最小值。.如图 ABC中，/ BAC= 90 , P是 ABC内一点，将 ABP绕点A逆时针旋转一定角度后能与 ACQM合，如果 AP= 3,那么 APQ的面积是多少?BC. 4ABC是等边三角形，D为BC边上一点， CDE&为等边三角形，请你画出将 ACD以C点为旋转中心，逆时针方向旋转60后的三角形，并说明 AD与BE的关系。4.在四边形 ABCD43, / ADC= / ABC= 90 , AD