6-期权定价的连续模型及BS公式

1、1第六章：期权定价的延续模型第一节延续时间股票模型第二节离散模型第三节延续模型的分析第四节Black-Scholes模型第五节Black-Scholes公式的推导第六节看涨期权与看破跌期权平价第七节二叉树模型和延续时间模型第八节几何布朗运动股价模型运用的本卷须知.2022/8/242第一节延续时间股票模型 保罗萨缪尔森在1965年初次提出： 5-1股票在时辰的价钱常量服从布朗运动。 其中：.1826年英国植物学家布朗1773-1858用显微镜察看悬浮在水中的花粉时发现的。后来把悬浮微粒的这种运动叫做布朗运动。 .第二节离散模型 2022/8/244假设表示 T 时辰的股价那么根据二叉树模型，在

2、一个给定时间间隔.2022/8/245第二节离散模型 于是令这阐明k个小时间段的共同影响等同于相应大时间段的影响。.2022/8/246第二节离散模型 上式是以下微分方程的解：5-2.第二节离散模型 2022/8/247在式5-1中，假设令即可得到上述微分方程，这是一个确定性的公式。然而，股价并不具有公式5-2所示的可预测性和确定性。令随机变量定义其中，为常数.第二节离散模型 2022/8/248于是，可得股价序列即设5-3.2022/8/249第二节离散模型 于是得： 5-4与式5-2相比有什么特点？包含了随机项，因此更接近实践！.2022/8/2410第二节离散模型 该模型有一个优点，包含

3、了随机变量；但存在一个缺乏之处，即有两个不确定项。第一个漂移项来自中的，其作用类似于债券第二个漂移项来自于当然希望期望的一切的漂移来自于一个方面，即和货币基金市场中的利率.2022/8/2411第二节离散模型 为能对模型进展规范正态变换，并对不确定性进展合并。对进展重新定义：为什么？.2022/8/2412第二节离散模型 于是随机变量Z 的一个重要等式5-5第二个要素表示的随机变量的漂移率为零.2022/8/2413第二节离散模型 假设令：那么：由于：进一步.2022/8/2414第二节离散模型 式5-6的分析：股票的初始价钱；漂移因子复利因子；随机因子；修正因子。那么5-6.第二节离散模型

4、2022/8/2415特别留意：模型5-6虽然也是一种离散模型，但比二叉树模型具有更丰富的意义。由于允许取任何正值为什么？.2022/8/2416第二节离散模型 当时能否否！.第二节离散模型 式5-6中将时间分成小的增量，并思索步运转的影响，一段固定的时间 可以分成许多小时间段。 现实上，针对同样的时间，可以分成不同的个区间。 应该留意到：随着的添加，的方差 会添加。为了使得的总方差独立于，需求对常量 随 进展调整。2022/8/2419.第二节离散模型 可以在和之间建立一个关系式，使得的方差等于2022/8/2420即令：于是式5-6其中.2022/8/2421第二节离散模型 对数正态模型为

5、什么？ 5-7：阐明长期趋势；：阐明动摇率。这两个参数如何影响股价？.2022/8/2424第三节延续模型的分析 5-8式中，由此得到的就是股价的几何布朗运动模型GBM。方程5-1的解几何布朗运动式5-8与具有延续时间变量T的离散模型5-7一样。方程5-1是一个SDE，普通SDE没有简约的封锁方式的解。.2022/8/2425第三节延续模型的分析 特别留意：目的：对期权进展定价.第三节延续模型的分析 2022/8/2426几何布朗运动参数估计：思绪：用样本均值和方差来替代总体的均值和方差假设知在一段较长时间0,T内的股价数据 ，这段时间由n个长度相等的子区间所构成，假设知第个子区间末的股价，那

6、么样本观测值有n+1.2022/8/2427第三节延续模型的分析 计算时间序列值：由于5-9第一步.2022/8/2428第三节延续模型的分析 应该留意到：于是，实际上.2022/8/2429第三节延续模型的分析 样本均值：样本方差：根据式5-9的观测值的均值为方差为。第二步.2022/8/2430第三节延续模型的分析 解方程：得第三步.2022/8/2431第三节延续模型的分析 普通阅历法那么是设定度量动摇率的时期等于将运用动摇率所对应的时期。 .第三节延续模型的分析 习题：以下是包钢股票2007年3月20日到2007年3月23日半小时价，请以天为时间单位计算。3月20日3月21日3月22日

7、3月23日5.225.275.35.65.185.225.285.685.25.295.315.695.255.265.435.695.245.275.465.675.245.275.465.615.245.275.535.685.245.265.565.682022/8/2432.假设：证券价钱遵照几何布朗运动，即和为常数；允许卖空；没有买卖费用和税收，一切证券都是完全可分的；在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；不存在无风险套利时机；证券买卖是延续的，价钱变动也是延续的；在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。欧式期权，股票期权，看涨期权 2022/8/2433第四节Black-Sc

8、holes公式 .第四节Black-Scholes公式 2022/8/2434由Black-Scholes公式，欧式看涨期权的价钱5-10式中股票现价期权价钱规范正态分布函数期权的执行价钱间隔到期的时间.2022/8/2435第四节Black-Scholes公式 能否留意到，这一公式中没有出现漂移率： 参数是投资者在短时间后获得的预期收益率，依靠于某种股票的衍生证券的价值普通独立于。 参数是股票价钱动摇率。.2022/8/2436第四节Black-Scholes公式 Black-Scholes定价系统在完全市场中得到期权价钱与漂移率无关，被称为风险中性定价方法，无套利是这种定价的根本假设。 B

9、lack-Scholes方程的结果以为，由于在方程中消掉了漂移项，而漂移项代表人们对证券价钱未来变化的预期，也即证券的风险期望收益率。因此，这意味着期权的价钱与人们对证券价钱未来变化的预测无关，投资者的风险偏好并不影响期权价钱。.从BS微分方程中我们可以发现：衍生证券的价值决议公式中出现的变量为标的证券当前市价S、时间t、证券价钱的动摇率和无风险利率r，它们全都是客观变量，独立于客观变量风险收益偏好。而受制于客观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决议公式中。由此我们可以利用BS公式得到的结论，作出一个可以大大简化我们的任务的风险中性假设：在对衍生证券定价时，一切投资者都

10、是风险中性的。2022/8/2437第四节Black-Scholes公式 .所谓风险中性，即无论实践风险如何，投资者都只需求无风险利率报答。风险中性假设的结果：投资者进入了一个风险中性世界一切证券的预期收益率都可以等于无风险利率一切现金流量都可以经过无风险利率进展贴现求得现值。虽然风险中性假定仅仅是为了求解布莱克舒尔斯微分方程而作出的人为假定，但BS发现，经过这种假定所获得的结论不仅适用于投资者风险中性情况，也适用于投资者厌恶风险的一切情况。也就是说，我们在风险中性世界中得到的期权结论，适宜于现实世界。2022/8/2438第四节Black-Scholes公式 .2022/8/2439第四节B

11、lack-Scholes公式 应该留意的是：实践期权买卖中，很多看涨期权是经过竞价市场而非实际公式定价。.第四节Black-Scholes公式 习题：假设某日某股票的相关数据如下，求V2022/8/2440.第五节Black-Scholes公式的推导 一、修正的模型主要思绪：让模型定价等于市价2022/8/2441资产组合：a股价钱为S0的股票现金b那么投资额为： 5-11经过时间后，投资的资金将变为：.2022/8/2442第五节Black-Scholes公式的推导 5-12用无风险利率r 贴现得于是.2022/8/2443第五节Black-Scholes公式的推导 对式5-12两边求期望，

12、那么假设以下条件成立那么 5-13 5-14由此，即使a值变化，上式总是成立。.2022/8/2444第五节Black-Scholes公式的推导 采用股价模型替代真正股价，方差坚持不变 ，且满足下式于是对于任何用来复制的投资组合，存在下式如今的问题是，能否存在这样的？.2022/8/2445第五节Black-Scholes公式的推导 假设令 5-15于是.2022/8/2446第五节Black-Scholes公式的推导 即为什么？因此，修正的股价模型为： 5-16.2022/8/2447第五节Black-Scholes公式的推导 修正模型看上去与GBM模型非常接近，但其与股价模型是完全不同的模

13、型，由于该模型中股价的增长率被人为设低了。.第五节Black-Scholes公式的推导 二、期望值对欧式看涨期权：2022/8/2448将式5-16代入得.第五节Black-Scholes公式的推导 2022/8/2449假设那么用于是.2022/8/2450第五节Black-Scholes公式的推导 根据期望的概念如何求积分？.三、两个积分2022/8/2451第五节Black-Scholes公式的推导 由求得.2022/8/2452第五节Black-Scholes公式的推导 将上述积分展开成两部分第二部分.2022/8/2453第五节Black-Scholes公式的推导 第一部分.2022

14、/8/2454第五节Black-Scholes公式的推导 变量代换，那么 .2022/8/2455第五节Black-Scholes公式的推导 所以积分式的第二项等于将上述第一项和第二项的结果代入，得.2022/8/2456第五节Black-Scholes公式的推导 其中.第五节Black-Scholes公式的推导 金融产品今天的价值，应该等于未来收入的贴现： 其中，由于风险中性定价， E是风险中性世界中的期望值。一切的利率都运用无风险利率：包括期望值的贴现率和对数正态分布中的期望收益率。 要求解这个方程，关键在于到期的股票价钱ST，我们知道它服从对数正态分布，且其中一切的利率运用无风险利率，因

15、此，2022/8/2457.上式的右边求值是一个积分过程，求得：Nx为规范正态分布变量的累计概率分布函数即这个变量小于x的概率。这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式 2022/8/2458第五节Black-Scholes公式的推导 . 首先，N(d2)是在风险中性世界中ST大于X的概率，或者说是欧式看涨期权被执行的概率， e-r(T-t)XN(d2)是X的风险中性期望值的现值。 SN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的风险中性期望值的现值。因此，这个公式就是未来收益期望值的贴现。2022/8/2459第五节Black-Scholes公式的推导 .第五节Black-Schole

16、s公式的推导 其次， 是复制买卖战略中股票的数量，SNd1)就是股票的市值, -e-r(T-t)XN(d2)那么是复制买卖战略中负债的价值。最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以分拆成资产或无价值看涨期权Asset-or-noting call option多头和现金或无价值看涨期权cash-or-nothing option空头，SN(d1)是资产或无价值看涨期权的价值， -e-r(T-t)XN(d2)是X份现金或无价值看涨期权空头的价值。 2022/8/2460.资产或无价值看涨期权：假设标的资产价钱在到期时低于执行价钱，该期权没有价值；假设高于执行价钱，那么该期权支付一个等于资产价

17、钱本身的金额，因此该期权的价值为e-r(T-t)STN(d1)= SN(d1)现金或无价值看涨期权：假设标的资产价钱在到期时低于执行价钱，该期权没有价值；假设高于执行价钱，那么该期权支付1元， 由于期权到期时价钱超越执行价钱的概率为N(d2) ，1份现金或无价值看涨期权的现值为-e-r(T-t)N(d2) 。2022/8/2461第五节Black-Scholes公式的推导 .2022/8/2462第六节看涨期权与看跌期权平价欧式看涨期权的价钱与欧式看跌期权的价钱有关假设卖空一份带抛补的看涨期权以S 的价钱买入一股股票以C 的价钱卖出一份看涨期权，执行价为X同时又买了一份价钱为P 的看跌期权，执

18、行价为X到期时间和执行价与看涨期权一样.2022/8/2463第六节看涨期权与看跌期权平价那么当期于是.2022/8/2464第六节看涨期权与看跌期权平价 对于具有与欧式看涨期权定价一样参数的欧式看跌期权定价平价公式将欧式看涨期权定价的Black-Scholes公式代入，得：即.第六节看涨期权与看跌期权平价t=0t=TST3.133.13ST2.9ST2.9卖武钢认购权证（执行价2.9元）C2.9-ST2.9-ST0买武钢股票-S0STSTST买武钢认沽权证（执行价3.13元）-P03.13-ST3.13-ST借入现金2.9/(1+r)t/365-2.9-2.9-2.9现金流C-P-S0+2.

19、9/(1+r)t/36503.13-ST0.232022/8/2465.2022/8/2466附：期权的简单特征.2022/8/2467命题1:对于0,T 上具有一样执行价钱q的欧式和美式期权，存在附：期权的简单特征.2022/8/2468命题2:假设在0,T 上，相应的股票无红利配发，那么存在：附：期权的简单特征.2022/8/2469命题3:假设在0,T 上，相应的股票无红利配发，那么存在：附：期权的简单特征.2022/8/2470命题4:假设在0,T 上，相应的股票无红利配发，那么存在：附：期权的简单特征.2022/8/2471推论1:假设在0,T 上，相应的股票无红利配发，那么美式看涨

20、期权不应提早执行。推论2:假设在0,T 上，相应的股票无红利配发，对于一样执行价钱和一样到期日的美式和欧式看涨期权存在：附：期权的简单特征.2022/8/2472命题5:在0,T 上，相应的股票无红利配发，假设在美式看跌期权有效的有效期内的某个存在那么该美式看跌期权应该在时辰执行。附：期权的简单特征.2022/8/2473命题6:假设在0,T 上，相应的股票无红利配发，那么欧式看涨和看跌期权的价钱满足：习题:假设看涨和看跌期权的行权价不同，那么这一关系该如何表达？附：期权的简单特征.2022/8/2474命题7:假设在0,T 上，相应的股票无红利配发，那么美式看涨和看跌期权的价钱满足：附：期权的简单特征.2022/8/2475命题8:假设在0,T 上，相应的股票有红利配发，记：附：期权的简单特征.2022/8/2476附：期权的简单特征.2022/8/2477命题9:假设标的股票