关于高二数学数列教案 2

1、 2.1 数列 一：教学目标：1、知道数列的概念,明白数列的分类,懂得数列是一种特别的函数,会用列表法 和图象法表示数列；2、懂得数列通项公式的概念,会依据通项公式写出数列的前几项,会依据简洁数 列的前几项写出数列的通项公式；二：教学重点：1、 数列的概念及数列与集合的区分2、 数列与函数的关系 3、 归纳数列的通项公式 三：教学过程：一、问题情境（ 1）填数： 2,4,6, 10；（ 2） 1 n：-1 ,1,-1 ,1, （ 3）细胞分裂： 1,2,4,8, 16, ,2 （象棋中放米粒）（ 4）斐波那契数列： 1,1,2,3,5, 8,13, （ 5）奥运会金牌数： （1984-2022

2、 ）15,5,16,16,28, 32 问：上面这些例子有什么共同的特点？二、同学活动 : 通过观看发觉：1、 每一个问题里都有一系列的数 2、 这些数有肯定的次序,前后位置不能颠倒,并且有些数可以相同,但表示不同的意义；通过争论,得到这些情形的共同特点是都有一组依据肯定次序排列的数；三：数学建构 1、 数列：依据肯定次序排列的一列数 与集合比较：（1）有序；（2）不互异 2、 数列的项：数列中的每个数用小写的英文字母：a1,a 2,a3,. an,.简记为an第 1 项（首项）,第 n 项 3、 数列与函数的关系：（1） 定义域：N （或它的有限子集2,1,. n）（2） 自变量由小到大依次

3、取值（3） 函数值4、 数列的通项公式：数列an的第 n 项与序号 n 之间的关系可用一个公式来表示（1） 作用：给出一个数列（1）a n2nn数列简记为2n,2 n1全部奇数前 5 项（2）an1 （3）an2n（ 2）不是每个数列都能写出它的通项公式；有的数列虽然有通项公式,但形式不唯独；仅仅知道一个数列的前面的有限项,无其他说明,数列是不能确定的 四：数学运用 例 1：依据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式 . 1 , 1 , 1 , 1 , L1 2 2 3 3 4 4 5 0,2,0,2, L 摇摆数列 练：（ 1,2,1,2,L ）1 4 9 16 , L3 5 7 9

4、1 1 , , 1 , 1 , L3 8 15 241 1 3 1 , 5, L2 2 8 4 32 1, , 3 1 , 3 , 1 , L5 3 17 11 9,99,999,9999, L 练：（ 1,11,111,1111,L ） 0.7,0.77,0.777,0.7777, L解：a n1n1a1n11n n1a n11na n2n21na n1nn1211n22 n1 2 3 4 , 52 4 8 16 32, Ln1 10 9n3 3 3 , 3 , 33 5 9 17 33, La n10n1练：7 90.9,70.99, L95数列的表示方法：函数、列表法、图象法,解析法通项

5、公式例 2：数列a n的通项公式是：a nn25 n4,做出图象；数列中有多少项是负数？n 为何值时,a 有最小值？并求出 n最小值 . 6数列的分类：恒成立例 3：已知数列a n的通项公式为a nanc,其中a b c 均为正数, 比较a 与an1的bn大小 . 解：ananca bbncac baac1c增bnbncbbbn练：a nn n98,最小项是 . 99最大项是五：回忆小结1、数列的概念及分类,数列和函数的关系2、数列的通项公式六：课外作业1、 课后练习 5,6 2、 习题 1,2,3,4, 5,6 2.2.1 等差数列教学目标1 明确等差数列的定义2 能用定义判定一个数列是否为

6、等差数列 . 3 把握等差数列的通项公式,明白等差数列通项公式的推导过程及思想,并能在解题中加以利用 . 教学重点1等差数列的概念；. 2等差数列通项公式的推导及应用教学难点懂得等差数列“ 等差” 的特点及通项公式的含义 . 教学方法启示式数学 教具预备多媒体 ppt 内容见下面 教学过程 上两节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法通项公式和递推公式 . 这两个公式从不同的角度反映数列的特点 . 一、 问题情境（1） 影院双号的座位号为：2, 4,6,8,10,12；（2） 小明觉得自己的英语很好,单词量3000,今日起不背单词,每天忘掉5个,依次为： 3000,2995, 2990

7、,2985,2980；（3） 1986 年,人类在地球上观测到哈雷慧星第5 次显现,最早在1682 年,每隔 76 年观测到一次, 依次为： 1682,1758,1834,1910,1986,2062. 二、 同学活动请大家观看以上三个数列,看看这三个数列有什么共同特点？三、生：这些数列后一项与前一项之差是常数,分别是2、5、76. 建构数学等差数列：一般地,假如一个数列从第2 项起,每一项与前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,通常用字母 d 表示 . an是等差数列an 1and（常数）练习 1 以下数列是否是等差数列：1 3,7,11,15,1

8、9,23 2 1,2,4,6,8,10,12 3 3,3,3,3,3,3,3 4 5,0,5,0,5,0,5 5 8,6,5,2,0,-2,-4 归纳： 公差 d 是由后项减前项所得,而不仅仅是前后两项的差； 对数列an,如an1andnN,就an是等差数列,其中d 为公差 . 练习 2 求证数列an：an4lg3n1lg9n1nN是等差数列 . an1an是一分析：要证一个数列是等差数列,依据等差数列的定义,只要证个与 n 无关的常数 . 证明：由题可知：an14lg3 n1lg9n12n2lg3lg32lg3常数an1an2n1 2lg32n2 数列an是等差数列推导：等差数列的通项公式法

9、一：累加法等差数列an的首项是a ,公差是 dnan1a 1n1 dn2a ,即n1时,等式也成立当时,左式a ,右式ana 1n1 d nN 法二：递推法（不完全归纳法）上式对n1亦成立a na1n1dnN口答：求引例的通项公式（同学）依据等差数列的通项公式,再a 1,d,n,an这四个量中, 只要知道其中任意三个量,就可求出另一个量. （知三求一）四：数学运用例 11 求等差数列32, 24, 16 ,的第 20 项a ,看是解：aan1 da2082040140 2 404是不是等差数列9 ,14,19,的项？分析：要判定404是不是该数列的项,关键式求出数列的通项公式否存在正整数n ,

10、使得an401成立解：ana1n1d令4045 n4得n80即404是该数列得第 80项练习 2. 在等差数列an中,已知a510,a 1231,求a18解：a 14d10a 132a 111 d31da na 1n1 d23 n1 3n5a18318549摸索： 能否不求 a , 1 d,而利用等差数列项与项之间的关系求解？猜想：a n a m n m da n a 1 n 1 d证明：a m a 1 n 1 d故 a n a m m 1 d n 1 da 18 a 12 18 12 d 31 6 3 49五、回忆小结 ：1. 等差数列的概念；2用定义法判定数列是否为等差数列；3等差数列通项

11、公式的推导及应用 . 六、课外作业1、课后练习及数学之友 2.2.2 等差数列的通项公式教学目的：1懂得等差中项的概念,会求两个数的等差中项；2初步把握从等差数列中项的序号关系推断序号对应的项的关系；3会用等差中项等性质解决简洁问题；教学重点：等差数列的性质教学过程： 一、问题情境：a na n1d n2 2、等差数列的通项公式3、推导公式 例：已知一个无穷等差数列的a n na m 1 n n1 m d d1、等差数列的定义首项为 a1, 公差为 d：（1）将数列中的前 m项去掉,其余各项组成一个新数列,（2）取出数列中的全部奇数项,（3）取出数列中全部项数为7的倍数的各项,这3个新数列是等

12、差数列吗？假如是,首项和公差分别是多少？am+1,am+2, am+n 首项是 am+1,公差为 da1,a3, a5 a2n+1 首项是 a1,公差为 2da7,a14, a21 a7n 首项是 a7,公差为 7d 二、同学活动问题：假如在 a与b中间插入一个数 A,使a,A, b成等差数列,那么 A应满意什么条件？证：由 a,A,b 成等差数列,可得：A-a = b-A 2A=a+b Aa2b得：即A-a=b-A 由Aa2b可以考虑一下反过来是否也成立？2A=a+b A-a = b-A 亦即 a,A,b 成等差数列三、建构数学1、定义 : Aa2ba,A,b成等差数列假如 a,A,b 成等

13、差数列,那么A 叫做 a 与 b 的等差中项； 不难发觉：在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；符号化： an 为等差数列 2an=an-1+an+1n 2 an 为等差数列 2an=an1+an+1n 2 证： an 为等差数列 设首项为 a1, 公差为 d,证：在等差数列 an 中 如 2an=an-1+an+1n 2 就 anan-1 an+1 ann 2 就通项公式为 an=a1+n-1d 任取一项 an=a1+n-1d n 2 前一项为 an-1=a1+n-2d= an-d 后一项为 an+1=a1+nd= an+d an-1

14、+an+1= an-d +an+d=2an 例如：数列 1、 3、5、7、9、11、13、 有 3 是 1 和 5 的等差中项 5 是 3 和 7 的等差中项 也是 1 和 9 的等差中项 即： 2 5=3+7 =1+9 亦即： 2a3=a2+a4 =a 1+a57 是 5 和 9 的等差中项 也是 3 和 11 仍是 1 和 13 的等差中项 即： 2 7=5+9=3+11=1+13 亦即： 2a4=a3+a5 =a 2+a6 =a 1+a7 进一步观看发觉：.引申：项的等差中项；kd3d5d7d93d13 an是它的前后“ 等距离” 的 kd由于： a3 a3 = a2+a4 =a1+a5

15、 an-kanan+k13112d2d332415 a4a4 = a3+a5 =a2+a6 =a1+a7 443 52617 .推测：在等差数列an 中 , 如 m+n=p+q, 就 am+an=ap+aq 2、性质 在等差数列 a n 中,如 m+n=p+q, 就 am+an=ap+aq 证明：由等差数列的通项公式 得 am=a1+m-1d,a n=a1+n-1d ap=a1+p-1d,aq=a1+q-1d就 am+an=2a1+m+n-2da p+aq=2a1+p+q-2d由于 m+n=p+q 所以 am+an=ap+aq 四、数学运用例题 1 在 -1 和 8 之间插入两个数a 和 b,

16、使这四个数成等差数列,就a 、b 的值各是多少？解：这四个数分别为-1, a, b, 8 就 a 为-1 和 b 的等差中项b 为 a 和 8 的等差中项,2a1ba22ba8b5得：故 a,b 的值分别是 2 和 5；例题 2 在等差数列 a n 中,如 a3+a4+a5+a6+a7=450, 求 a2+a8 的值；解：由 a2+a8=a3+a7=a4+a6=2a5 得： 5a5=450 故： a5=90 所以： a2+a8=2a5=2 90=180 例题 3已知数列的通项公式为 an=pn+q, 其中 p,q 是常数且 p 0,那么这个数列是否肯定是等差数 列？假如是,其首项与公差是什么？

17、分析：由等差数列的定义,要判定an 是不是等差数列,只要看an-an-1 n 2 是不是一个与 n无关的常数就行了；证明：取数列 a n 中的任意相邻两项 由已知条件： an=pn+q 得： a n-1 与 ann 2 ,an=pn+q, a n-1 =pn-1+qa n-a n-1 = pn+q - pn-1+q = pn + q pn + p q = p 同样,我们反过来考虑一下：如a n 为等差数列,就an=a1+n-1d 即an=nd+a1-d 亦即 an=pn+q（p,q为常数）结论：如an为等差数列,pnqp,q为 常 数a n当p 0时,它是关于 n的一次式；如： an=2n-1

18、 首项为 1,公差为 2 该数列的图象是直线 y=2x-1 上,匀称排开的无穷多个孤立点当p0时,它是一常数数列；如： an=2 该数列的图象是在直线y=2 上匀称排开的无穷多个孤立点；问：给定一个数列,如何判定它是一个等差数列？（1）据定义,从其次项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数即an- a n-1 = d n 2 （2）据等差中项,每一项都是它前一项与后一项的等差中项即2an= a n-1 + a n+1 n 1 （3）据通项公式形式,它可以表示成关于 n的一次式即an= kn + b k,b 为常数 例4（摸索）四个数成等差数列,其四个数的平方和为 94,第一个数与第四个数的积

19、比其次个数与第三个数的积少 18,求这四个数；分析：此题关键：如何设未知量？三个数成等差数列,可设三个数为 a-d,a,a+d 四个数成等差数列,可设四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d 这样设具有对称性,给解题带来便利；法 1：设这四个数为 a,a+d,a+2d,a+3d ,依题意有a 8 a 1 a 8 a 1d 3 或 d 3 或 d 3 或 d 3法 2：设这四个数为 a-3d,a-d,a+d,a+3d,依题意有7 3 a=2 , d=2所以这四个数为8, 5, 2, 1 或 1, 2,5,8 或 1, 2, 5, 8 或 8,5,2, 1 课堂练习 : 1、求以下各题中两个数

20、的等差中项（1）100与180 （2） -2 与6 2、在等差数列 a n 中,如 a3+a9+a15+a21=8, 求a12；3、由以下等差数列的通项公式,求首项和公差；（1）an=3n+6 2 a n=-2n+7 五：回忆小结 第一,需把握等差中项的概念及等差数列通项公式的图形特点和有关性质 其次,在设元求数列的时候肯定要留意对称性 另外,仍应留意等差数列的定义、通项公式、性质的敏捷运用；六、课外作业数学之友 2.2.3 等差数列的前 n 项和教学目的 ：（1）把握等差数列前n 项和的公式及推导该公式的数学思想方法,并能用公式解决一些简洁的问题（ 2）探素活动中培育同学观看、分析的才能,培

21、育同学由特别到一般的归纳才能 教学重点 ：等差数列的前 n 项和；教学难点 ：前 n 项和的求法及实际应用,等差数列与函数性质；教学过程 ：一、问题情境apaaq1.复习引入2.（1）an 1and3.（2）ana1n1 d4.（2）anamnm d5.（3）mnpqaman6.（4） A 是a, 的等差中项A2b7.摸索： 1+2+3+4+ +100=？二、同学活动 摸索：一堆钢管共有 9 层,它的每层钢管数成等差数列分布,求钢管总数；三、建构数学一般地,设有等差数列an ,它的前 n 项和是 sn,即sn=nia ；i1依据等差数列通项公式,上式可以写成： s n=a1+（ a1+d）+（

22、 a1+2d）+ +a 1+（ n-1 ）d ；又可以写成： sn=an+（ an -d ）+（an -2d ） + + an- （n-1 ） d ；n 项及项数就可以求前两式相加即得S nna 12an（公式说明知道首项和第n 项和）由于 an=a1+（ n-1 ）d,所以公式仍可以写成：S nna 1n n1d；n 项和2公式说明知道首项和项数及公差就可以求前四、数学运用例题分析（ 1）如等差数列 -10 ,-6 ,-2 , 中,前 n 项和（ 2）等差数列an中,d2 ,a1510,求a ,SnS =54,求 n 及通项公式；（ 3）已知一个等差数列的前 10 项和是 310,前 20 项和是 220,求前 n 项和；（ 4）等差数列 a n 中,a 4 0 . 8 , a 11 2 . 2,求 a 51 a 52 a 80a 1 0 . 2 , d 0 . 2 , a 51 a 52 a 80 S 80 S 50 393（ 5）某电站沿一条大路直立电线杆,相邻两根电线杆的距离都是 50 米,最远一根电