无穷限反常积分

1、关于无穷限反常积分25.08.20221第一张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.2022210.1 无穷限的反常积分 (积分区间无限无穷积分)10.2无界函数的反常积分 (被积函数无界瑕积分)第十章 反 常 积 分(广义积分)第二张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.20223 引 例一、无穷积分的概念二、无穷积分的性质 三、 无穷积分与数项级数的关系四、 无穷积分收敛性判别法第三张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.20224 引例：问题：0 xy1b即这是积分区间为1，+）的积分。解：由于这个图形不是封闭的曲边梯形,而在x轴的正方 向是开口

2、的，第四张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.20225显然当b改变时，曲边梯形的面积也随之改变，则所求曲边梯形的面积为1.第五张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.20226一、无穷积分的概念. 定义:设函数 f (x)在区间a, +)上连续, 任取b a,如果极限存在,则称此极限为函数 f (x)在无穷区间a, +)上的广义积分, 记作 (1)第六张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.20227这时记号 不再表示数值了。例如：oyxb1这时也称广义积分 收敛;若上述极限不存在, 就称广义积分 发散,第七张，PPT共四十四页，创作于2022年6

3、月25.08.20228 类似地, 设函数 f (x)在区间(, b上连续, 取a b,如果极限存在,(2) 这时也称广义积分 收敛; 若上述极限不存在, 就称广义积分 发散.即 f (x)在无穷区间(, b上广义积分, 记作则称此极限为函数第八张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.20229设函数 f (x)在区间(, +)上连续, 都收敛, 则称上述两个广义积分之和为函数 f (x)在区间(, +)上广义积分.(3)如果广义积分 记作即第九张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202210 这时, 也称广义积分 收敛; 否则就称广义积分 发散. 上述三种广义

4、积分统称为: 无穷限的广义积分（无穷积分）.第十张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202211解：注: 为方便起见, 把aboxy第十一张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202212第十二张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202213解:加第十三张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202214证: 当 p = 1时 当 p 1时 第十四张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202215结论类似于p级数第十五张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202216练习1.确定下列无穷积分是否收

5、敛，若收敛算出它的值.解：第十六张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202217第十七张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202218第十八张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202219作业1：下列无穷积分是否收敛？ 若收敛，算出它们的值.作业2：求下列无穷积分：第十九张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202220二、无穷积分的性质 （1）、对于无穷限积分也有换元法则.（2）、（3）、（4）、第二十张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202221Cauchy收敛原理(准则)： 和无穷级数类似，反常积分

6、也有绝对收敛和条件收敛的概念：第二十一张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202222定理：绝对收敛的反常积分一定收敛，但收敛的却不一定绝对收敛. (见例题8)第二十二张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202223三、无穷积分与数项级数的关系二者有密切的联系:由函数极限与数列极限的关系知：并且有同一极限值.海涅定理第二十三张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202224分析:第二十四张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202225第二十五张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202226oyx12345第

7、二十六张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202227四. 无穷积分收敛的判别法1.比较判别法:则有:第二十七张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.2022282.极限形式:则:第二十八张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202229.柯西判别法:第二十九张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.2022304.极限形式:第三十张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202231例4：解：参考函数第三十一张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202232例5：解：第三十二张，PPT共四十四页，创作于2

8、022年6月25.08.202233解：加. 讨论 的收敛性，根据比较判别法第三十三张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202234例6：解：故由柯西判别法极限形式第三十四张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202235第二中值定理（作用相当于级数中的阿贝尔变换）有阿贝尔判别法判别法与狄利克雷判别法两种判别法证明需要用如下中值定理第三十五张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202236特别地利用第二中值定理可以证明A-判别法和D-判别法第三十六张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202237*.阿贝尔判别法了解内容第三十七张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202238例8：证明：由A-判别法知，所讨论级数收敛.第三十八张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202239*.狄利克雷判别法了解内容第三十九张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202240例7：证明：先证明此积分收敛第四十张，PPT共四十四页，创作于2022年6月25.08.202241再证明此积分收敛非绝对收敛第四十一张，PPT共四十四页，创作于2022年6月