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文档简介

1、1连续概念首页则称 设函数 f 在某U (x0 )内有定义, 1.定义1 若 例如, 函数 在点 x = 2 连续， 因为 又如, 函数连续, 因为在点 x = 0， 注1 函数 f 在点 x 0 连续，则 x 0 必属于 f 的定义域 . 一、函数在一点的连续性(1)例如：这是因为又如：函数连续的等价定义一、函数的增量注意为狄利克雷函数.证注意:上述极限式绝不能写成例1由上面的定义和例题应该可以看出: 函数在点 x0类似于左、右极限，下面引进左、右连续的概念.要求这个极限值只能是函数在该点的函数值.极限存在是函数连续的一个必要条件)，而且还x0 连续，那么它在点 x0 必须要有极限(这就是说

2、,有极限与在点 x0 连续是有区别的. 首先 f (x) 在点 f 在点 x0 连续定义2很明显, 由左、右极限与极限的关系以及连续函数0既是左连续，又是右连续.点x定理4.1f 在有定义，若的定义可得： 从而它在 x = 0 不连续(见图4-1). 讨论函数在点 x = 0 的连续性.解 例2 而 所以 f 在点 x = 0 右连续, 但不左连续, 例3 讨论函数解 因为综上所述,所以,二、间断点的分类定义4定义.若f 在点 x0 无定义,或者在点 x0有定义但却由此,根据函数极限与连续之间的联系, 如果 f 在点 x0 不连续, 则必出现下面两种情况之一:或不连续点.在该点不连续,那么称点

3、 x0 为函数的一个间断点等于f (x0).根据上面的分析, 我们对间断点进行如下分类：1. 可去间断点: 若可去间断点.注 x0 是 f 的跳跃间断点与函数 f 在点 x0 是否有定 点. 3.第二类间断点: 若 f 在点 x0 的左、右极限至少 可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点.义无关.有一个不存在,证因为例3 所以并且 是 的一个可去间断点.注1.例4 讨论函数在 x = 0 处是否连续？若不连续，则是什么类型的2.若点x0是 的可去间断点,那么只要重新定 x0 连续.间断点？ 所以 f (x) 在 x = 0 处右连续而不左连续,从而不解因为断点是跳跃间断点. 连续. 既然它的左、右极限都存在，那么这个间例5解 因为由Heine定理可知，均不存在，点？三、区间上的连续函数若函数 f 在区间I上的每一点都连续,则称 f 为 I例如, 以及都是R上的连续函数；而函数是区间-1,1上的连续函数,在处的连续分别指右连续和左连续.数在该点连续是指相应的左连续或右连续.上的连续函数.对于闭区间或半开半闭区间的端点,函如果函数 f 在a,b上的不连续点都是第一类的,能要添加或改变某些分段点处的值).是由若干个小区间上的连续曲线合并而成(当然可一个分段连续函数.从几何上看,分段连续曲

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