2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二上学期入学考试数学试题（解析版）

1、试卷第 =page 1 1页，共 =sectionpages 3 3页第 Page * MergeFormat 16 页 共 NUMPAGES * MergeFormat 16 页2021-2022学年四川省绵阳南山中学高二上学期入学考试数学试题一、单选题1下列命题中，正确的是（）A直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B直线的倾斜角为，则直线的斜率为tanC直线的斜率为tan，则直线的倾斜角是D直线的倾斜角时，直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【答案】D【分析】直线的倾斜角与斜率的关系，即倾斜角存在斜率不一定存在，斜率存在倾斜角一定存在。【详解】A.直线的倾斜角时，直线的斜率分别在这两个区间

2、上单调递增,故错误，B.当时斜率不存在。C.只有当时，直线的倾斜角才是故选：D【点睛】本题主要考查了倾斜角与斜率的关系，属于基础题。2下列命题正确的是（）.A如果非零向量、的方向相反或相同，那么的方向必与、之一的方向相同B若，则、为三角形的三个顶点C设，若，则D若，则【答案】C【解析】根据向量的线性运算和性质，对四个选项逐一判断正误即可.【详解】当时，A选项错，若，则、三点共线或、为三角形的三个顶点，B选项错，若与不共线，则与不共线，C选项对，若，则或(与反向共线，且)，D选项错，故选：C.【点睛】本题主要考查了向量的有关概念和共线定理的运用，属于基础题.3设mn0，则关于x的不等式(mx)(

3、nx)0的解集是（）Ax|xmBx|nxmCx|xnDx|mx0在区间1,2上有解，则a的取值范围是()ABCD【答案】B【分析】x1，2时不等式x2ax50化为a-x+；求出f（x）=-x+的最小值，即可求出a的取值范围【详解】x1，2时，不等式x2ax50化为a-x+，设f（x）=-x+，x1，2，因为y=-x，y=，x1，2，都是减函数.则f（x）的最小值为f（2）=-2+=.所以a的取值范围是a故答案为B【点睛】(1)本题主要考查不等式的有解问题，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题有两个关键，其一是分离参数得到a-x+有解，其二是求出函数f（x）=-x+，x1

4、，2的最小值.10设的内角所对的边分别为，若三边的长为连续的三个正整数，且，则为A432B567C543D654【答案】D【详解】因为a，b，c为连续的三个正整数，且ABC，可得ac2，bc1又因为3b20acosA，由余弦定理可知cosA，则3b20a 联立，化简可得7c213c600，解得c4或c (舍去)，则a6，b5.又由正弦定理可得，sinAsinBsinCabc654.故选D.11若O，M，N在所在平面内，满足，且，则点O，M，N依次为的（）A重心，外心，垂心B重心，外心，内心C外心，重心，垂心D外心，垂心，重心【答案】D【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形五心的性质即

5、可判断出答案【详解】解：因为，所以，所以O为的外心；因为，所以（）0，即0，所以MBAC，同理可得：MABC，MCAB，所以M为的垂心；因为，所以，设AB的中点D，则，所以，所以C，N，D三点共线，即N为的中线CD上的点，且，所以N为ABC的重心故选：D12一个正方体的内切球、外接球、与各棱都相切的球的半径之比为ABCD【答案】C【详解】试题分析：设正方体的棱长为，那么其内切球的半径，外接球的半径（对角线的一半），与各棱都相切的球的半径（面对角线的一半），所以比值是，故选C【解析】球与正方体【方法点睛】考察了球与正方体的组合体的问题，属于中档题型，球与几何体的组合体的问题，尤其是相切，一般不画

6、组合体的直观图，而是画切面图，圆心到切点的距离是半径并且垂直，如果是内切球，那么对面切点的距离就是直径，而对面切点的距离是棱长，如果与棱相切，那么对棱切点的距离就是直径，而切点在棱的中点，所以对棱中点的距离等于面对角线长，而如果外接球，那么相对顶点的距离就是直径，即正方体的对角线是直径二、填空题13若直线和直线垂直，则_【答案】0或【分析】由，解得或，验证两条直线是否垂直由，得，解得即可得出【详解】若，解得或经过验证只有时，两条直线相互垂直若，因为直线和直线垂直，则，解得（验证分母不等于）综上可得或0,故答案为0或【点睛】本题考查了两条直线相互垂直的充要条件、分类讨论方法，属于中档题对直线位置

7、关系的考查是热点命题方向之一，这类问题以简单题为主，主要考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1） （）；（2）（），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点一定不能掉以轻心.14已知，若与夹角为钝角，则实数的取值范围是_【答案】且【分析】由且与不共线求解【详解】由题意得：且与不共线，即且，解得且故答案为：且15三棱锥的所有顶点都在半径为2的球的球面上.若是等边三角形，平面平面，则三棱锥体积的最大值为_.【答案】3【解析】作图，设，则，求出，根据图像得，底面三角形的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥的体积最大，进而求解可得答案【详解】

8、根据可知，为三角形所在截面圆的直径，又平面平面，为等边三角形，所以在上，如图所示，设，则，当底面三角形的面积最大时，即底面为等腰直角三角形时，三棱锥的体积最大，此时，故答案为：3【点睛】关键点睛：解题关键是根据三角形的形状判断球心的位置，得出到平面的最大距离，难度属于中档题16已知，且，则的最小值为_【答案】【分析】利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件.【详解】因为，且，当且仅当时，等号成立，所以故答案为：.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化

9、成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、解答题17已知平面得量满足：，.（1）求与的夹角；（2）求向量在向量上的投影.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根据条件可以求出，根据向量夹角的余弦公式即可求出，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角；（2）可求出，从而得出，并求出，这样根据投影的计算公式即可求出投影【详解】解：（1），又，；（2），向量在向量上的投影为：【点睛】本题考查利用平面向量的数量积运算求向量夹角，以及向量投影的计算，考查运

10、算能力18在ABC中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角（）求最大角的余弦值；（）求以此最大角为内角，夹此角的两边之和为4的平行四边形的最大面积【答案】（）；（）【分析】（）第一步先将三边设为连续正整数，第二步，写出最大角的余弦定理，并小于0，第三步，解不等式；（）第一步，先设边，根据上一问的结果，写出面积公式，第二步，根据二次函数性质求最值【详解】（）设这三个数为n，n1，n2，最大角为，则cos ，化简得：n22n301nn2，n2cos （）设此平行四边形的一边长为a，则夹角的另一边长为4a，平行四边形的面积为：Sa（4a）sin a（4a）当且仅当a2时，Smax【解析】1余弦定理；

11、2三角形面积公式；19已知函数，若的解集为(1)求；(2)解关于的不等式【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）把不等式变形，利用韦达定理，求得的值（2）把不等式变形为一元二次不等式，分类讨论的值，求得它的解集【详解】(1)因为函数，所以不等式，即为，由于不等式的解集为可得，且 ，求得(2)关于的不等式，即 ，即当时，不等式即，它的解集为；当时，不等式 的解集为；当c2时，不等式的解集为20某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产救治新冠肺炎患者的无创呼吸机，需要投入成本y（单位：万元）与年产量x（单位：百台）的函数关系式为.据以往出口市场价格，每台呼吸机的售价为3

12、万元，且依据国外疫情情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完.(1)求年利润t（单位：万元）关于年产量x的函数解析式（利润=销售额-投入成本固定成本）；(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大年利润.【答案】(1)(2)8000台，1040万元【分析】（1）分别求出和时的解析式，即可得到年利润t（单位：万元）关于年产量x的函数解析式；（2）分别求出和时的最大值，比较大小，即可得到最大年利润.【详解】(1)当时，；当时，.所以.(2)当时，故当时，t取得最大值，为625，当时，因为，当且仅当，即时等号成立，所以，即当时，t取得最大值，为1040，综上所述，当年产量为8000台时，年利润最

13、大，且最大年利润为1040万元.21如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD为等边三角形，平面PAC平面PCD，PACD，CD2，AD3(1)求证：PA平面PCD；(2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取棱PC的中点N，连接DN，可得DNPC，利用面面垂直的性质定理可得DN平面PAC，从而得到DNPA，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）连接AN，由线面角的定义可得，DAN为直线AD与平面PAC所成的角，在三角形中，利用边角关系求解即可【详解】(1)证明：取棱PC的中点N，连接DN，由题意可知，DNPC，又因为平面PAC平面

14、PCD，平面PAC平面PCDPC，所以DN平面PAC，又PA平面PAC，故DNPA，又PACD，CDDND，CD，DN平面PCD，则PA平面PCD；(2)连接AN，由（1）可知，DN平面PAC，则DAN为直线AD与平面PAC所成的角，因为为等边三角形，CD2且N为PC的中点，所以DN，又DNAN，在中，sinDAN，故直线AD与平面PAC所成角的正弦值为22已知数列各项都是正数，对任意nN都有数列满足，（nN）(1)求数列，的通项公式；(2)数列满足cn，数列的前n项和为，若不等式对一切nN恒成立，求的取值范围【答案】(1)，nN；(2)【分析】（1）由数列的递推式，结合等比数列和等差数列的定义、通项公式，可得所求；（2）由等比数列的求和公式和数列的错位相减法求和，以及不等式恒成立思想，结合数列的单调性，计算可得所求范围【详解】(1)数列各项都是正数，对任意nN