初三数学圆的综合的专项培优 易错 难题练习题(含答案)

1、初三数学圆的综合的专项培优易错难题练习题（含答案）一、圆的综合1.如图，四边形OABC是平行四边形，以O为圆心，OA为半径的圆交AB于D,延长AO交O于E,连接CD，CE，若CE是OO的切线，解答下列问题：（1）求证：CD是OO的切线；（2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC的面积.【答案】（1）证明见解析（2）24【解析】试题分析：（1）连接OD,求出/EOC=ZDOC，根据SAS推出E0居DOC，推出乙ODC=ZOEC=90，根据切线的判定推出即可；（2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4,根据平行四边形的面积公式=2COD的面积即可求解.试题解

2、析：（1）证明：连接OD,TOD=OA,ZODA=ZA,T四边形OABC是平行四边形，OCIIAB,.ZEOC=ZA，ZCOD=ZODA，.ZEOC=ZDOC，在厶EOC和厶DOC中，OE=ODZEOC=ZDOCOC=OC.EOCDOC（SAS）,.ZODC=ZOEC=90，即卩OD丄DC,.CD是OO的切线；（2）由（1）知CD是圆O的切线，.CDO为直角三角形，1Tcdo=2CD0D，又:OA=BC=OD=4,1=2心4=12平行四边形OABC的面积S=2Scd=24.uuru2.如图，ABC是OO的内接三角形，点D在BC上，点E在弦AB上（E不与A重合），且四边形BDCE为菱形.（1）求

3、证：AC=CE；（2）求证：BC2-AC2=ABAC；（3）已知OO的半径为3.AB5若匚不=3，求BC的长；AC3当需7为何值时，ABAC的值最大?AC3【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）BC=4.；2；2【解析】分析：（1）由菱形知/D=ZBEC，由/A+ZD=ZBEC+ZAEC=180。可得ZA=ZAEC，据此得证；（2）以点C为圆心，CE长为半径作OC,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,则BEBGCF=CG=AC=CE=CD，证厶BEF-BGA得二，即BFBG=BEAB，将BF=BC-CF=BC-BFBAAC、BG=BC+CG=BC+AC代入可得；(3)设AB=5k

4、、AC=3k，由BC2-AC2=ABAC知BC=2J6k,连接ED交BC于点M,RtADMC中由DC=AC=3k、MC=2BC6k求得DM=yCD2一CM2=j3k,可知OM=OD-DM=3-J3k,在RtACOM中，由OM2+MC2=OC2可得答案.设OM=d，贝MD=3-d,MC2=OC2-OM2=9-d2，继而知BC2=(2MC)2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=(3-d)2+9-d2，由(2)得ABAC=BC2-AC2，据此得出关于d的二次函数，利用二次函数的性质可得答案.详解：(1)四边形EBDC为菱形，ZD=ZBEC,T四边形ABDC是圆的内接四边形，.ZA+ZD=

5、180，又ZBEC+ZAEC=180,.ZA=ZAEC，.AC=CE；(2)以点C为圆心，CE长为半径作OC,与BC交于点F,于BC延长线交于点G,则CF=CG，由(1)知AC=CE=CD,.CF=CG=AC,四边形AEFG是OC的内接四边形,.ZG+ZAEF=180,又:ZAEF+ZBEF=180,.ZG=ZBEF,TZEBF=ZGBA,BEFBGA,.BE_BG在RtADMC中，DC=AC=3k,，即BFBG=BEAB,BFBATBF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC,BE=CE=AC,.(BC-AC)(BC+AC)=ABAC,即卩BC2-AC2=ABAC；(3)设AB

6、=5k、AC=3k，TBC2-AC2=ABAC,BC=2k,连接ED交BC于点M，T四边形BDCE是菱形，.DE垂直平分BC，则点E、O、M、D共线，.DM=Jcd2CM2=p3k,.OM=OD-DM=3-J3k,在RtACOM中，由OM2+MC2=OC2得(3-0,由(2)可知当a增大到30时，点O在半圆上，当0a30。时点O在半圆内，线段NO与半圆只有一个公共点B；当a增大到45时NA与半圆相切，即线段NO与半圆只有一个公共点B.当a继续增大时，点P逐渐靠近点N,但是点P,N不重合，a90，当45Wa90线段BO与半圆只有一个公共点B.综上所述0a30或45a90.【点睛】本题考查了切线的

7、性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键6.如图，AB为eO的直径，弦CD/AB,E是AB延长线上一点，上CDB=ZADE.DE是eO的切线吗？请说明理由；求证：AC2二CD-BE.CE【答案】(1)结论：DE是eO的切线，理由见解析；(2)证明见解析.【解析】【分析】连接OD，只要证明OD丄DE即可；只要证明：AC=BD，VCDBsVDBE即可解决问题.【详解】(1)解：结论：DE是eO的切线.理由：连接ODQZCDB=ZADE，:.ZADC=ZEDB，QCD/AB，.ZCDA=ZDAB，QOA=OD，/.ZOA

8、D=ZODA，/.ZADO=ZEDB，QAB是直径，/ZADB=90o，/ZADB=ZODE=90o/.DE丄OD，DE是eO的切线.（2）QCD/AB,/.ZADC=ZDAB,ZCDB=ZDBE,AC=BD，AC=BD,QZDCB=ZDAB,ZEDB=ZDAB,:.ZEDB=ZDCB,:VCDB-VDBE,.CD=DB：BD=BE，：.BD2=CD-BE,:AC2=CDBE.【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型.7.已知：如图，ABC中，AC=3,ZABC=3O.（1）尺规作图：求作

9、厶ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法；（2）求（1）中所求作的圆的面积ASC【答案】（1）作图见解析；（2）圆的面积是9n.【解析】试题分析：（1）按如下步骤作图：作线段AB的垂直平分线；作线段BC的垂直平分线；以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆.如图所示（2）要求外接圆的面积，需求出圆的半径，已知AC=3,如图弦AC所对的圆周角是ZABC=3O，所以圆心角ZAOC=60,所以AAOC是等边三角形，所以外接圆的半径是3（2）连接OA，OBTAC=3,ZABC=30,ZAOC=60,AOC是等边三角形,.圆的半径是3,.圆的面积是S=nr2=9n.8矩形A

10、BCD中，点C(3,8),E、F为AB.CD边上的中点，如图1点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面内滑动，如图2,设运动时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动当t=0时，点F的坐标为；当t=4时，求0E的长及点B下滑的距离;求运动过程中，点F到点0的最大距离；4）当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值.咏SEC),且BD=2朽.过点D作DFIIBC,交AB的延长线于点F.求证：DF为OO的切线；若ZBAC=60,DE=j7，求图中阴影部分的面积.【答案】(1)详

11、见解析；(2)9运-2n.解析】分析】连结OD,根据垂径定理得到OD丄BC,根据平行线的性质得到OD丄DF，根据切线的判定定理证明；连结0B,连结0D交BC于P,作BH丄DF于H,证明OBD为等边三角形，得到厶ODB=60,oB=BD=2订3，根据勾股定理求出PE，证明ABE-AFD，根据相似三角形的性质求出AE,根据阴影部分的面积=BDF的面积-弓形BD的面积计算.【详解】证明：(1)连结0D,TAD平分/BAC交O0于D,ZBAD=ZCAD,二Bd=Cd，.0D丄BC,TBCIIDF,.OD丄DF,.DF为OO的切线；(2)连结OB,连结OD交BC于P,作BH丄DF于H,TZBAC=60,

12、AD平分ZBAC,.ZBAD=30,.ZBOD=2ZBAD=60,.OBD为等边三角形,ZODB=60,OB=BD=2,.ZBDF=30,TBCIDF,.ZDBP=30,在RtADBP中，PD=2BD=V3,PB/3PD=3,在RtADEP中，tpd=43,de=V7,.PE=J（77）2TOP丄BC,（73）2=2,.BP=CP=3,.CE=3-2=1,TZDBE=ZCAE,ZBED=ZAEC.BDE-ACE,AE：BE=CE：DE,即AE：5=1：*7,.ae=5门7TBEIIDF,ABE-AFD,BE_AEDFAD5j75_7即DF=1217解得DF=12,在RtABDH中，BH=阴影部

13、分的面积=厶BDF的面积-弓形BD的面积=BDF的面积-（扇形BOD的面积-BOD的面积)=2X123-601沪一手%(23仝-2n【点睛】考查的是切线的判定,扇形面积计算,相似三角形的判定和性质,圆周角定理的应用,等边三角形的判定和性质,掌握切线的判定定理,扇形面积公式是解题的关键12.如图1,已知OO是AADB的外接圆，ZADB的平分线DC交AB于点M,交O0于点C,连接AC，BC.（1）求证：AC=BC；（2）如图2,在图1的基础上做OO的直径CF交AB于点E,连接AF,过点A作OO的切线AH,若AH/BC，求ZACF的度数；（3）在（2）的条件下，若AABD的面积为6运,AABD与AA

14、BC的面积比为2：9,求CD的长.&|B1那【答案】（1）证明见解析；（2）30；（3）2吕解析】分析：(1)运用“在同圆或等圆中，弧相等，所对的弦相等”可求解；连接AO并延长交BC于丨交OO于J,由AH是OO的切线且AHIIBC得AI丄BC,易证ZIAC=30,故可得ZABC=60=ZF=ZACB，由CF是直径可得/ACF的度数；过点D作DG丄AB,连接AO,知ABC为等边三角形，求出AB、AE的长，在RtAAEO中，求出AO的长，得CF的长，再求DG的长，运用勾股定理易求CD的长.详解：(1)TDC平分ZADB，ZADC=ZBDC，二AC=BC.(2)如图，连接AO并延长交BC于I交OO于

15、JTAH是OO的切线且AHIIBC，AI丄BC，.BI=IC，TAC=BC，IC1.IC=2AC，.ZIAC=30，.ZABC=60=ZF=ZACB.TFC是直径，.ZFAC=90，.ZACF=180-90-60=30.(3)过点D作DGAB，连接AO由(1)(2)知ABC为等边三角形TZACF=30，AB丄CF,AE=BE,S二二AB2二27朽,ABC4AB=6悩3,AE二3朽.在RtAAEO中，设EO=x，则A0=2x,AO2=A2x=6,OO的半径为6,CF=12.1_1_S=ABxDGx=6、.：3xDGx=6弋3,ABD22DG=2.如图，过点D作DG丄CF，连接od.AB丄CF,D

16、G丄AB,CF/DG,四边形GZDGE为矩形，GE=2,CG=GE+CE=6+3+2=11,在RtAOGD中，OG=5,OD=6,DG二11,CD=、JDG2+CG2二、：11+112=点睛：本题是一道圆的综合题.考查了圆的基本概念，垂径定理，勾股定理，圆周角定理等相关知识.比较复杂，熟记相关概念是解题关键.13.如图，线段BC所在的直线是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BD=BC,且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E.点F是BD上一点，连接EF,分别交AB、BD于点G、H,且EF=BD.求证：EFIIBC；若EH=4,HF=2，求BE的长.2厂【答案】见解析；3v3【

17、解析】【分析】（1）根据EF=BD可得EF=BD，进而得到Be=Df，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.（2）连接DF，根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出/BHG，进而求出/BDE的度数，确定BE所对的圆心角的度数，根据ZDFH=90确定DE为直径，代入弧长公式即可求解.【详解】（1）TEF=BD,二EF=BD-Be=DfZD=ZDEF又BD=BC,ZDZC，.ZDEF=ZC.AB丄BC又EFIIBC，AB丄EF,弧BF=弧BE,1GF=GE=(HF+EH)=

18、3,HG=1DB平分ZEDF，又BFIICD,ZFBD=ZFDB=ZBDE=ZBFHHB=HF=2ZBHG=60.cosZBHG=HG=1HB2ZFDB=ZBDE=30ZDFH=90,DE为直径，DE=4、：3，且弧BE所对圆心角=60.TOC o 1-5 h z12.弧BE=x4：3兀=3兀63【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键.14.如图1,等腰直角厶ABC中，ZACB=90,AC=BC,过点A,C的圆交AB于点D,交BC于点E,连结DE若AD=7,BD=1,分别求DE,CE的长如图2

19、,连结CD,若CE=3,ACD的面积为10,求tanZBCD如图3,在圆上取点P使得ZPCD=ZBCD(点P与点E不重合)，连结PD,且点D是厶CPF的内心请你画出CPF，说明画图过程并求ZCDF的度数设PC=a,PF=b,PD=c，若(a-2c)(b-、；2c)=8,求厶CPF的内切圆半径长.aDBECBSCEi23【答案】(1)DE=1,CE=3、2；(2)tanZBCD=4；(3)135；2.【解析】【分析】由A、C、E、D四点共圆对角互补为突破口求解；找ZBDF与ZODA为对顶角，在O0中，ZCOD=2ZCAD，证明OCD为等腰直角三角形，从而得到ZEDC+ZODA=45,即可证明ZC

20、DF=135；过点D做DH丄CB于点H,以D为圆心，DH为半径画圆，过点P做eD切线PF交CB的延长线于点F,结合圆周角定理得出ZCPD=ZCAD=45,再根据圆的内心是三角形三个内角角平分线的交点，得出ZCPF=90，然后根据角平分线性质得出11ZDCF+ZCFD=2cf+2FC=450，最后再根据三角形内角和定理即可求解；证明/DCF+ZCFD=45,从而证明/CPF是直角，再求证四边形PKDN是正方形，最后以厶PCF面积不变性建立等量关系，结合已知(a-巨c)(b-f2c)=8，消去字母a，b求出c值，即求出厶CPF的内切圆半径长为上2c.2【详解】(1)由图可知：设BC=x.在RtAA

21、BC中，AC=BC.由勾股定理得:AC2+BC2=AB2，TAB=AD+BD,AD=7,BD=1，二x2+X2=82,解得：x=4迈.OO内接四边形，ZACD=90,ZADE=90,ZEDB=90,TZB=45，.BDE是等腰直角三形.DE=DB，又:DB=1,.DE=1，又：CE=BC-BE,.CE=4j2-迈=3迈.2)如图所示：1在厶DCB中过点D作DM丄BE，设BE=y,则DM=下y,2又:CE=3,BC=3+y,S=S+S,ACBACDDCB.x4：2x42=10+x（3+y）x1y,222解得：y=2或y=-11（舍去）.EM=1，CM=CE+ME=1+3=4，又:ZBCD=ZMC

22、D,.tanZBCD=tanZMCD,DM在RtADCM中，tanZMCD=,CM4.tanZBCD=4（3）如下图所示：过点D做DH丄CB于点H,以D为圆心，DH为半径画圆，过点P做eD切线PF交CBZCAD=45,.ZCPD=ZCAD=45,又点D是ACPF的内心，.PD、CD、DF都是角平分线,.ZFPD=ZCPD=45,ZPCD=ZDCF,ZPFD=ZCFD.ZCPF=90.ZPCF+ZPFC=90ZDCF+ZCFD=-ZPCF+-ZPFC=45。22.ZCDF=180-ZDCF-ZCFDF=90+45=135,即ZCDF的度数为135.2如下图所示过点d分别作DK丄pc,dm丄cf,DN丄PF于直线pc,cf和pf于点k,m,n三点,设厶PCF内切圆的半径为m,则DN=m,点D是厶PCF的内心，DM=DN=DK,又:ZDCF+ZCFD+ZFDC=180,ZFDC=45,ZDCF+ZCFD=45,又TDC,DF分别是ZPCF和ZPFC的角平分线,.ZPCF=2ZDCF,ZPFC=2ZDFC,.ZPCF+ZPFC=90,.ZCPF=90在四边形PKDN中,ZPND=ZNPK=ZPKD=90,.四边形PKDN是矩形,又:KD=ND,.四边形PKDN是正方形又:ZMBD=ZBDM=45,ZBDM=