2018年高考数学立体几何：空间向量在求空间角及距离中的应用题源探究

1、PAGE PAGE 11空间向量在求空间角及距离中的应用【考点梳理】 1.异面直线所成的角 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角l1与l2所成的角范围(0，)求法cos eq f(ab,|a|b|)cos |cos |eq f(|ab|,|a|b|) 2.求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，则sin|cosa，n|eq f(|an|,|a|n|). 3.求二面角的大小 (1)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小eq o(AB,sup6()，eq o(CD,sup6(). (2)如图，n1

2、，n2 分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角).4.利用空间向量求距离（1）两点间的距离设点，点，则（2）点到平面的距离如图所示，设为平面的一条斜线段，为平面的法向量，则点到平面的距离【教材改编】1(选修21 P111A组T1改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M为棱CC1上的中点，则A1M与D1C所成的角为()A30 B45C60 D90答案 B解析 以，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则D1(0,0,2)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，M(0,2,

3、1)，(2,2，1)，(0,2，2)，设A1M与D1C所成角为，cos |cos，|eq f(6,32r(2)eq f(r(2),2)，45.2. (选修21 P118A组T10改编)如图，棱长为a的正方体OEACBFGD中，P是AB上的一点，Q是CD上的一点当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，则PQ的最小值为()Aa B.eq f(r(2),2)aC.eq f(r(3),2)a D.eq f(r(5),2)a答案 B解析 建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，当点P为对角线AB的中点时，点P的坐标是eq blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)，f(a,2)，f(a,2)

4、.因为点Q在线段CD上，设Q(0，a，z)PQ eq r(blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)2blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)a)2blc(rc)(avs4alco1(f(a,2)z)2) eq r(blc(rc)(avs4alco1(zf(a,2)2f(1,2)a2).当zeq f(a,2)时，PQ的最小值为eq f(r(2),2)a.即点Q在棱CD的中点时，PQ有最小值eq f(r(2),2)a.故选B.3(选修21 P112A组T4改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为()A.eq

5、f(1,2) B.eq f(2,3)C.eq f(r(3),3) D.eq f(r(2),2)答案 B解析 以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，设棱长为1，则A1(0，0,1)，E(1,0，eq f(1,2)，D(0,1,0)，(0,1，1)，eq blc(rc)(avs4alco1(1，0，f(1,2)，所以有，即eq blcrc (avs4alco1(yz0，,1f(1,2)z0，)解得eq blcrc (avs4alco1(y2，,z2.)(1,2,2)平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)，cos，eq f(2,31)eq f(2,3).即所成的锐二面角的余弦值为eq f

6、(2,3).4(选修21 P97练习T3改编)如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是AB的中点，则D1B与CM所成角的余弦值为()A.eq f(r(10),5) B.eq f(r(15),10)C.eq f(r(15),15) D.eq f(r(15),5)答案 C解析 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为2，则M(2,1,0)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，(2，1，0)，(2,2，2)，cos，eq f(2,r(5)2r(3)eq f(r(15),15).D1B与CM所成角的余弦值为eq f(r(15),15)，故选C.5(选修21 P11

7、1练习T3改编)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为BC1的中点，则DE与平面BCC1B1所成角的正切值为()A.eq f(r(6),2) B.eq f(r(6),3)C.eq r(2) D.eq f(r(2),2)答案 C解析 设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2， 以D为原点，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， E为BC1的中点，D(0,0,0)，E(1,2,1)，(1,2,1)， 设DE与平面BCC1B1所成角的平面角为， 平面BCC1B1的法向量(0,1,0)， sin |cos，|eq blc|rc|(avs4alco1(f(2,r

8、(6)eq f(r(6),3)， cos eq r(1f(2,3)eq f(r(3),3)， tan eq f(f(r(6),3),f(r(3),3)eq r(2)，故选C.6(选修21 P98A组T4改编)正四面体ABCD棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为_答案 解析 |22()22222()1222122(12cos 120021cos 120)2，|eq r(2)，EF的长为eq r(2).7.(选修21 P118A组T12改编)如图将正方形纸片ABCD沿对角线AC折成直二面角，点E、F分别为AD、BC的中点，O是原正方形ABCD的中心，则折叠后EOF的大小为_答案 解析

9、 如图所示，以，方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，设正方形边长为2eq r(2)，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，D(0,0,2)E(1,0,1)，F(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,0)，cos，eq f(1,r(2)r(2)eq f(1,2)， EOF120. 8(选修21 P117A组T5改编)已知三点A(0,2,3)，B(2，1,6)，C(1，1,5)，则ABC的面积为_答案 解析 (2，1,3)，(1，3,2)，|eq r(14)，|eq r(14).cos，eq f(7,14)eq f(1,2).则sin，eq f(r(3),2).SABC

10、eq f(1,2)|sin，eq f(1,2)eq r(14)eq r(14)eq f(r(3),2)eq f(7r(3),2). 9. (选修21 P112A组T6改编)如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD，AB平面BCD，AB2eq r(3)，则点A到平面MBC的距离为_，平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值为_ 答案 解析 取CD的中点O，连接OB，OM，则OBCD，OMCD，又平面MCD平面BCD，则MO平面BCD.以O为原点，直线OC，BO，OM为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，OBOMeq r(3)，则各点的坐标分别为O(0,0,0)

11、，C(1,0,0)，M(0,0，eq r(3)，B(0，eq r(3)，0)，A(0，eq r(3)，2eq r(3)设(x，y，z)是平面MBC的法向量，则(1，eq r(3)，0)，(0，eq r(3)，eq r(3)由，得xeq r(3)y0；由，得eq r(3)yeq r(3)z0.取(eq r(3)，1,1)，(0,0,2eq r(3)，则距离deq f(2r(15),5).(1,0，eq r(3)，(1，eq r(3)，2eq r(3)设平面ACM的法向量为(x，y，z)，由得eq blcrc (avs4alco1(xr(3)z0，,xr(3)y2r(3)z0，)解得xeq r(3

12、)z，yz，取(eq r(3)，1,1)平面BCD的法向量为(0,0,1)，则cos，eq f(1,r(5).设所求二面角为，则sin eq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,r(5)2)eq f(2r(5),5). 10(选修21 P118A组T11改编)某几何体ABCA1B1C1的三视图和直观图如图所示 (1)求证：A1C平面AB1C1； (2)求二面角C1AB1C的余弦值 解析 (1)证明：由三视图可知，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面A1B1C1，B1C1A1C1，且|AA1|AC|4，|BC|3.以点C为原点，分别以CA、CB、CC1所在的直线为x轴、y轴、z

13、轴建立空间直角坐标系，如图所示由已知可得A(4,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,0)，A1(4,0,4)，B1(0,3,4)，C1(0,0,4)(4,0，4)，(4,0，4)，(0,3,0)0，0.A1CC1A，A1CC1B1.又C1AC1B1C1，A1C平面AB1C1.(2)由(1)得，(4,0,0)，(0,3,4)设平面AB1C的法向量为(x，y，z)，则，.，即eq blcrc (avs4alco1(3y4z0,4x0).令y4，得平面AB1C的一个法向量为(0,4，3)由(1)知，是平面AB1C1的一个法向量cos，eq f(12,20r(2)eq f(3r(2),10).故二

14、面角C1AB1C的余弦值为eq f(3r(2),10).11(选修21 P119B组T3改编)在四棱锥SABCD中，底面ABCD是直角梯形，DABCDA90，SA平面ABCD，CD2AB，E为SC中点(1)求证：BE平面SAD；(2)若SAAD2，且平面SBC与平面SAD所成的二面角的余弦值为eq f(r(6),3)，求四棱锥SABCD的体积解析 (1)证明：设点F为SD的中点，连接AF，EF，E点为SC的中点，EF为SDC的中位线，EFeq f(1,2)DC，又DABCDA90且CD2AB，ABeq f(1,2)CD，ABEF，四边形ABEF为平行四边形，BEAF，又AF平面SAD，BE平面SAD，BE平面SAD.(2)SA平面ABCD，则可建以A为原点的空间直角坐标系(如图所示)，SAAD2，A(0,0,0)，D(2,0,0)，S(0,0,2)，设B(0，m,0)，C(2,2m,0)，(0，