2018年高考数学专题31直线平面平行的判定与性质热点题型和提分秘籍理

1、PAGE PAGE - 37 -专题31 直线、平面平行的判定与性质1以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理。2能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题。热点题型一 直线与平面平行的判定和性质 例1、如图所示，已知P、Q是正方体ABCDA1B1C1D1的面A1B1BA和面ABCD的中心。证明：PQ平面BCC1B1。证明：方法一，如图，取B1B中点E，BC中点F，连接PE、QF、EF，A1B1B中，P、E分别是A1B和B1B的中点，PE綊eq f(1,2)A1B1。同理QF綊eq f(1,2)AB。又A1B1綊AB，PE綊

2、QF。四边形PEFQ是平行四边形。PQEF。又PQ平面BCC1B1，EF平面BCC1B1，PQ平面BCC1B1。【提分秘籍】证明线面平行的关键点及探求线线平行的方法(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；(2)利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；(3)注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可。【举一反三】 如图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，且ABCD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？解析：AB平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、FH

3、，ABFG，ABEH。FGEH。同理可证EFGH。截面EFGH是平行四边形。又EFFG，EFGH为矩形。设ABa，CDb，又设FGx，GHy，则由平面几何知识可得eq f(x,a)eq f(CG,BC)，eq f(y,b)eq f(BG,BC)。两式相加得eq f(x,a)eq f(y,b)1，即yeq f(b,a)(ax)。S矩形EFGHFGGHxeq f(b,a)(ax)eq f(b,a)x(ax)。x0，ax0且x(ax)a为定值，当且仅当xax时，eq f(b,a)x(ax)eq f(ab,4)为最大值，此时xeq f(a,2)，即当截面EFGH的顶点E、F、G、H分别为棱AD、AC、

4、BC、BD的中点时，截面面积最大。热点题型二 平面与平面平行的判定和性质例2、如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC上一点，且A1B平面AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D。证明：连接A1C交AC1于点E，四边形A1ACC1是平行四边形，E是A1C的中点，连接ED。A1B平面AC1D，平面A1BC平面AC1DED，A1BED，E是A1C的中点，D是BC的中点。又D1是B1C1的中点，BD1C1D。又BD1平面AC1D C1D平面AC1DBD1平面AC1D 同理A1D1平面AC1D。又A1D1BD1D1，平面A1BD1平面AC1D。【提分秘籍】 平面平行的判定

5、定理，是利用了线面平行来推证的，即需要找到或证出两条相交直线平行另一平面。本题的证明就是运用了这一判定定理。【举一反三】 如图所示，平面平面，A、C，B、D，点E、F分别在线段AB、CD上，且eq f(AE,EB)eq f(CF,FD)，求证：EF平面。解析：当AB和CD在同一平面内时，由可知ACBD，ABDC是梯形或平行四边形。由eq f(AE,EB)eq f(CF,FD)，得EFBD。又BD，所以EF。热点题型三 平行关系中的探索性问题例3如图所示，斜三棱柱ABCA1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点。 (1)当eq f(A1D1,D1C1)等于何值时，BC1平面AB1D1?

6、(2)若平面BC1D平面AB1D1，求eq f(AD,DC)的值。解析：(1)如图所示，取D1为线段A1C1的中点，此时eq f(A1D1,D1C1)1。连接A1B，交AB1于点O，连接OD1。由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点。在A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1BC1。又因为OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1平面AB1D1。所以当eq f(A1D1,D1C1)1时，BC1平面AB1D1。(2)由平面BC1D平面AB1D1，且平面A1BC1平面BC1DBC1，平面A1BC1平面AB1D1D1O得BC1D1O

7、，所以eq f(A1D1,D1C1)eq f(A1O,OB)，又由题可知eq f(A1D1,D1C1)eq f(DC,AD)，eq f(A1O,OB)1，所以eq f(DC,AD)1，即eq f(AD,DC)1。【提分秘籍】与平行有关的探索性问题求解策略平行关系中的探索性问题，一般是先根据条件猜测点的位置再进行证明，多为中点或三等分点问题。【举一反三】 如图，四棱锥PABCD的底面是边长为a的正方形，侧棱PA底面ABCD，在侧面PBC内有BEPC于E，且BEeq f(r(6),3)a，试在AB上找一点F，使EF平面PAD。又在BCE中，CEeq r(BC2BE2)eq r(a2f(2,3)a2

8、)eq f(r(3),3)a。在RtPBC中，BC2CECP，CPeq f(a2,f(r(3),3)a)eq r(3)a。又eq f(EG,CD)eq f(PE,PC)eq f(PCCE,PC)，EGAFeq f(2,3)a。点F为AB的一个三等分点。 1.【2017课标II，理19】如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中点。（1）证明：直线 平面PAB；（2）点M在棱PC 上，且直线BM与底面ABCD所成角为 ，求二面角的余弦值。【答案】(1)证明略；(2) 。【解析】（1）取中点，连结，因为为的中点，所以，由得，又所以四边形为平行四边形， 又

9、，故（2）由已知得，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则则，则因为BM与底面ABCD所成的角为45，而是底面ABCD的法向量，所以，即（x-1）+y-z=0又M在棱PC上，设由，得所以M，从而设是平面ABM的法向量，则所以可取m=（0，-，2）.于是因此二面角M-AB-D的余弦值为2.【2017天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2. （）求证：MN平面BDE；（）求二面角C-EM-N的正弦值；（）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线

10、BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.【答案】 （1）证明见解析（2） （3） 或 【解析】如图，以A为原点，分别以， ， 方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（）证明： =（0，2，0），=（2，0， ）.设，为平面BDE的法向量，则，即.不妨设，可得.又=（1，2， ），可得.因为平面BDE，所以MN/平面BDE.（）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得， .由已知，得，整理得，解得，或.所以，线段AH的长

11、为或. 3.【2017江苏，15】 如图，在三棱锥A-BCD中，ABAD， BCBD， 平面ABD平面BCD， 点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.求证：（1）EF平面ABC；（2）ADAC.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】证明：（1）在平面内，因为ABAD， ，所以.又因为平面ABC， 平面ABC，所以EF平面ABC.（2）因为平面ABD平面BCD，平面平面BCD=BD， 平面BCD， ，所以平面.因为平面，所以 .又ABAD， ， 平面ABC， 平面ABC，所以AD平面ABC，又因为AC平面ABC，所以ADAC.1.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台

12、中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.【答案】（）见解析；（）【解析】（II）解法一：连接,则平面，又且是圆的直径，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，过点作于点，所以可得故.设是平面的一个法向量. 由可得可得平面的一个法向量因为平面的一个法向量所以.所以二面角的余弦值为.解法二：连接，过点作于点，则有,又平面，所以FM平面ABC,可得过点作于点，连接，可得,从而为二面角的平面角.又,是圆的直径，所以从而，可得所以

13、二面角的余弦值为.2.【2016高考江苏卷】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且 ，.求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE平面A1C1F. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】证明：（1）在直三棱柱中，在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点.所以，于是又因为DE平面平面所以直线DE/平面（2）在直三棱柱中，因为平面，所以又因为所以平面因为平面，所以又因为所以因为直线，所以3.【2016高考天津理数】如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=

14、BE=2.（I）求证：EG平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（）详见解析（）（）【解析】依题意，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.（III）解：由，得.因为，所以，进而有，从而，因此.所以，直线和平面所成角的正弦值为.1.【2

15、015高考新课标2，理19】（本题满分12分）如图，长方体中,，点，分别在，上，过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形（）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；（）求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）详见解析；（）2.【2015江苏高考，16】（本题满分14分）如图，在直三棱柱中，已知，设的中点为，.求证：（1）；（2）.【答案】（1）详见解析（2）详见解析【解析】（1）由题意知，为的中点，又为的中点，因此又因为平面，平面，所以平面（2）因为棱柱是直三棱柱，所以平面因为平面，所以又因为，平面，平面，所以平面又因为平面，所以因为，所以矩形是正方形，因此因为，平面，所以平面又因

16、为平面，所以3.【2015高考安徽，理19】如图所示，在多面体，四边形，均为正方形，为的中点，过的平面交于F.（）证明：；（）求二面角余弦值.【答案】（）；（）.【解析】（）证明：由正方形的性质可知，且，所以四边形为平行四边形，从而，又面，面，于是面，又面，而面面，所以.（）因为四边形，均为正方形，所以，且，以为原点，分别以为轴，轴，轴单位正向量建立，如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标.而点为的中点，所以点的坐标为.设面的法向量.而该面上向量，由得应满足的方程组，为其一组解，所以可取.设面的法向量，而该面上向量，由此同理可得.所以结合图形知二面角的余弦值为.1（2014安徽卷）如图15，四

17、棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1A底面ABCD，四边形ABCD为梯形，ADBC，且AD2BC.过A1，C，D三点的平面记为，BB1与的交点为Q.图15(1)证明：Q为BB1的中点；(2)求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比；(3)若AA14，CD2，梯形ABCD的面积为6，求平面与底面ABCD所成二面角的大小 (2)如图1所示，连接QA，QD.设AA1h，梯形ABCD 的高为d，四棱柱被平面所分成上下两部分的体积分别为V上和V下，BCa，则AD2a.图1V三棱锥Q A1ADeq f(1,3)eq f(1,2)2ahdeq f(1,3)ahd，V四棱锥Q ABCDeq f(1,3)e

18、q f(a2a,2)deq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)h)eq f(1,4)ahd，所以V下V三棱锥Q A1ADV四棱锥Q ABCDeq f(7,12)ahd.又V四棱柱A1B1C1D1 ABCDeq f(3,2)ahd，所以V上V四棱柱A1B1C1D1 ABCDV下eq f(3,2)ahdeq f(7,12)ahdeq f(11,12)ahd，故eq f(V上,V下)eq f(11,7).方法二：如图2所示，以D为原点，DA，eq o(DD1,sup6()分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系设CDA，BCa，则AD2a.因为S四边形ABCDeq f(a2a,2)2s

19、in 6，所以aeq f(2,sin ).图2从而可得C(2cos ，2sin ，0)，A1eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,sin )，0，4)，所以DC(2cos ，2sin ，0)，eq o(DA1,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,sin )，0，4).设平面A1DC的法向量n(x，y，1)，由eq blc(avs4alco1(o(DA1,sup6()nf(4,sin ) x40，,o(DC,sup6()n2xcos 2ysin 0，)得eq blc(avs4alco1(xsin ，,ycos ，)所以n(sin ，cos ，1)又因为平面A

20、BCD的法向量m(0，0，1)，所以cosn，meq f(nm,|n|m|)eq f(r(2),2)，故平面与底面ABCD所成二面角的大小为eq f(,4).2（2014北京卷）如图13，正方形AMDE的边长为2，B，C分别为AM，MD的中点在五棱锥P ABCDE中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC分别交于点G，H.(1)求证：ABFG；(2)若PA底面ABCDE，且PAAE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长图13解：(1)证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以ABDE.又因为AB平面PDE，所以AB平面PDE.因为AB平面ABF，且平面ABF平面PD

21、EFG，所以ABFG.(2)因为PA底面ABCDE，所以PAAB，PAAE.建立空间直角坐标系Axyz，如图所示，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(2，1，0)，P(0，0，2)，F(0，1，1)，eq o(BC,sup6()(1，1，0)设平面ABF的法向量为n(x，y，z)，则eq blc(avs4alco1(no(AB,sup6()0，,no(AF,sup6()0，)即eq blc(avs4alco1(x0，,yz0.)令z1，则y1.所以n(0，1，1)设直线BC与平面ABF所成角为，则sin |cosn，eq o(BC,sup6()|eq blc|rc|(avs4alco1(

22、f(no(BC,sup6(),|n|o(BC,sup6()|)eq f(1,2).因此直线BC与平面ABF所成角的大小为eq f(,6).设点H的坐标为(u，v，w)因为点H在棱PC上，所以可设eq o(PH,sup6()eq o(PC,sup6()(01)即(u，v，w2)(2，1，2)，所以u2，v，w22.因为n是平面ABF的一个法向量，所以neq o(AH,sup6()0，即(0，1，1)(2，22)0，解得eq f(2,3)，所以点H的坐标为eq blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)，f(2,3)，f(2,3).所以PHeq r(blc(rc)(avs4alco1(f(4

23、,3)sup12(2)blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)sup12(2)blc(rc)(avs4alco1(f(4,3)sup12(2)2.3（2014湖北卷）如图14，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DPBQ(00)，则C(m，eq r(3)，0)，eq o(AC,sup6()(m，eq r(3)，0)设n1(x，y，z)为平面ACE的法向量，则eq blc(avs4alco1(n1o(AC,sup6()0，,n1o(AE,sup6()0，)即eq blc(avs4

24、alco1(mxr(3)y0，,f(r(3),2)yf(1,2)z0，)可取n1eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),m)，1，r(3).又n2(1，0，0)为平面DAE的法向量，由题设易知|cosn1，n2|eq f(1,2)，即eq r(f(3,34m2)eq f(1,2)，解得meq f(3,2).因为E为PD的中点，所以三棱锥EACD的高为eq f(1,2).三棱锥EACD的体积Veq f(1,3)eq f(1,2)eq r(3)eq f(3,2)eq f(1,2)eq f(r(3),8).5（2014山东卷）如图13所示，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，底面A

25、BCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M是线段AB的中点图13(1)求证：C1M平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1eq r(3)，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值17解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB2CD，所以ABDC，又M是AB的中点，所以CDMA且CDMA.连接AD1.因为在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，CDC1D1，CDC1D1，所以C1D1MA，C1D1MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因此，C1MD1A.又C1M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1，所以C1M平面A1ADD1.所以A(eq r(

26、3)，0，0)，B(0，1，0)，D1(0，0，eq r(3)因此Meq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，0)，所以eq o(MD1,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，r(3)，eq o(D1C1,sup6()eq o(MB,sup6()eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(3),2)，f(1,2)，0).设平面C1D1M的一个法向量n(x，y，z)，由eq blc(avs4alco1(no(D1C1,sup6()0，,no(MD1,sup6()0，)得eq blc(avs4alco1(r(

27、3)xy0，,r(3)xy2r(3)z0，)可得平面C1D1M的一个法向量n(1，eq r(3)，1)又eq o(CD1,sup6()(0，0，eq r(3)为平面ABCD的一个法向量因此coseq o(CD1,sup6()，neq f(o(CD1,sup6()n,|o(CD1,sup6()|n|)eq f(r(5),5)，所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为eq f(r(5),5).方法二：由(1)知，平面D1C1M平面ABCDAB，点过C向AB引垂线交AB于点N，连接D1N.由CD1平面ABCD，可得D1NAB，因此D1NC为二面角C1 AB C的平面角在RtBNC中

28、，BC1，NBC60，可得CNeq f(r(3),2)，所以ND1eq r(CDeq oal(2,1)CN2)eq f(r(15),2).在RtD1CN中，cosD1NCeq f(CN,D1N)eq f(f(r(3),2),f(r(15),2)eq f(r(5),5)，所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为eq f(r(5),5).1下面四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB平面MNP的图形是() A BC D解析：由线面平行的判定定理知可得出AB平面MNP，故选A。答案：A2在空间中，下列命题正确的是()A平行直线在同一平面

29、内的射影平行或重合B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行3设平面，直线a，b，a，b，则“a，b”是“”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：因为“a，b”，若ab，则与不一定平行；反之若“”，则一定有“a，b”，故选B。答案：B4如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AEEBAFFD14，又H，G分别为BC，CD的中点，则()ABD平面EFGH，且四边形EFGH是矩形BEF平面BCD，且四边

30、形EFGH是梯形CHG平面ABD，且四边形EFGH是菱形DEH平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形解析：由AEEBAFFD14知EF綊eq f(1,5)BD，所以EF平面BCD。又H，G分别为BC，CD的中点，所以HG綊eq f(1,2)BD，所以EFHG且EFHG，所以四边形EFGH是梯形，故选B。答案：B5已知a，b表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是()A若a，b，则abB若ab，a，b，则C若ab，a，则b或bD若直线a与b异面，a，b，则解析：A中，a与b还可能相交或异面，此时a与b不平行，故A不正确；B中，与可能相交，此时设m，则am，bm，故B不正确；D中，与可

31、能相交，如图所示，故D不正确，故选C。答案：C6如图所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是棱BC，CC1的中点，P是侧面BCC1B1内一点，若A1P平面AEF，则线段A1P长度的取值范围是()A.eq blcrc(avs4alco1(1，f(r(5),2) B.eq blcrc(avs4alco1(f(3r(2),4)，f(r(5),2)C.eq blcrc(avs4alco1(f(r(5),2)，r(2) Deq r(2)，eq r(3)答案：B7如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，点E为AD的中点，点F在CD上。若EF平面AB1C，则线段EF的长度等于_。解析：EF平面AB1C，EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，EFAC，F为DC的中点。故EFeq f(1,2)ACeq r(2)。答案：eq r(2)8如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱