九年级数学上-相似三角形综合练习题(共30小题)

1、九年级数学上-相似三角形综合练习题（共30小题）一解答题：eqoac(,1)如图，在ABC中，DEBC，EFeqoac(,AB)，求证：ADEEFC2如图，梯形ABCD中，ABCD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G（1）求证：CDFBGF；（2）当点F是BC的中点时，过F作EFCD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长3如图，点D，E在BC上，且FDAB，FEAC求证：ABCFDE4如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BFAE于eqoac(,F)，试说明：ABFEAD5如图，E是ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F在不添加辅助线的情况下，请你写出

2、图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明1eqoac(,6)已知：如图所示，在ABC和ADE中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点（1）求证：BE=CD；AMN是等腰三角形；（2）在图的基础上，将ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图中延长ED交线段BC于点eqoac(,P)求证：PBDAMN7如图，在43的正方形方格中，ABC和DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上（1）填空：ABC=_，BC=_；（

3、2）判断ABC与DEC是否相似，并证明你的结论8如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：（1）经过多少时间，AMN的面积等于矩形ABCD面积的？（2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由29如图，在四边形ABCD中，若ABDC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少

4、；（注意：全等看成相似的特例）（2）请你任选一组相似三角形，并给出证明eqoac(,10)如图ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，BAC=45，BDC=60，CEBD于E，连接AE（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；（eqoac(,3)）求BEC与BEA的面积之比eqoac(,11)如图，在ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q（1）求四边形AQMP的周长；（2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）；（3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明

5、你的结论12已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：ADMMCP313如图，已知梯形ABCD中，ADBC，AD=2，AB=BC=8，CD=10（1）求梯形ABCD的面积S；（2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿BADC方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿CDA方向，向点A运动，过点Q作QEBC于点E若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒问：当点P在BA上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样

6、的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由Q14已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与BDC相似？4eqoac(,15)如图，在ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B

7、点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，PBQ与ABC相似16如图，ACB=ADC=90，AC=，AD=2问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似17、已知，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N（不含A、eqoac(,B)），使得CDM与MAN相似？若能，请给出证明，若不能，请说明理由eqoac(,18)如图在ABC中，C=90，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动若Q、P分别同时从B、

8、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与CBA相似？519如图所示，梯形ABCD中，ADBC，A=90，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似eqoac(,20)ABC和DEF是两个等腰直角三角形，A=D=90，DEF的顶点E位于边BC的中点上（1）如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点eqoac(,N)，求证：BEMCNE；（2）如图eqoac(,2)，将DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并

9、证明你的结论21如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似622如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度（这棵树底部可以到达，顶部不易到达），他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面

10、镜请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案（1）所需的测量工具是：_；（2）请在下图中画出测量示意图；（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x24如图，李华晚上在路灯下散步已知李华的身高AB=h，灯柱的高OP=OP=l，两灯柱之间的距离OO=m。（1）若李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；（2）若李华在两路灯之间行走，则他前后的两个影子的长度之和（DA+AC）是否是定值请说明理由；（3）若李华在点A朝着影子（如图箭头）的方向以v匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动1的速度v2725问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻

11、在阳光下对校园中一些物体进行了测量下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm丙组：如图3，测得校园景灯（灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计）的高度为200cm，影长为156cm任务要求：（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）如图3，设太阳光线NH与O相切于点M请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602）26阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区（如图所示）

12、，已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BCeqoac(,27)已知：如图，ABCADE，AB=15，AC=9，BD=5求AE8（28已知：如图eqoac(,Rt)ABCeqoac(,Rt)BDC，若AB=3，AC=41）求BD、CD的长；2）过B作BEDC于E，求BE的长29（1）已知，且3x+4z2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长30如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S，S，S表示，123则不难证明S=S+S123（1）如图

13、，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S，S，S表示，123那么S，S，S之间有什么关系；（不必证明）123（2）如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S、S、S表示，123请你确定S，S，S之间的关系并加以证明；123（3）若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S，S，S表示，为123使S，S，S之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；123（4）类比（1），（2），（3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论9参考答案与试题解析一解答题（共30小题）解答：证明：DEBC，DEFC

14、，AED=C又EFAB，EFAD，A=FECADEEFC2解（1）证明：梯形ABCD，ABCD，CDF=FGB，DCF=GBF，答：CDFBGF（2）解：由（eqoac(,1)）CDFBGF，又F是BC的中点，BF=FC，CDFBGF，DF=GF，CD=BG，ABDCEF，F为BC中点，E为AD中点，EF是DAG的中位线，2EF=AG=AB+BGBG=2EFAB=246=2，CD=BG=2cm3解证明：FDAB，FEAC，B=FDE，C=FED，答：ABCFDE4解证明：矩形ABCD中，ABCD，D=90，BAF=AED答：BFAE，AFB=90AFB=eqoac(,D)ABFEAD（6分）5

15、解（1）证明：BAC=DAE，BAE=CAD，AB=AC，AD=AE，答：ABEACD，BE=CD由ABEACD，得ABE=ACD，BE=CD，M、N分别是BE，CD的中点，BM=CN又AB=AC，ABMACNAM=AN，即AMN为等腰三角形（2）解：（1）中的两个结论仍然成立（3）证明：在图中正确画出线段PD，由（eqoac(,1)）同理可证ABMACN，CAN=BAMBAC=MAN又BAC=DAE，MAN=DAE=BACAMN，ADE和ABC都是顶角相等的等腰三角形PBD和AMN都为顶角相等的等腰三角形，PBD=AMN，PDB=ANM，PBDAMN6、解：相似三角形有AEFBEC；AEFD

16、CF；BECDCF答：如：AEFBEC在ABCD中，ADBC，1=B，2=3AEFBEC7解：（1）ABC=135，BC=；（2）相似；BC=，EC=；答：，；又ABC=CED=135，ABCDEC108解：（1）设经过x秒后，AMN的面积等于矩形ABCD面积的，答：则有：（62x）x=36，即x23x+2=0，解方程，得x=1，x=2，经检验，可知x=1，x=2符合题意，1212所以经过1秒或2秒后，AMN的面积等于矩形ABCD面积的（2）假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似，由矩形ABCD，可得CDA=MAN=90，因此有或即，或经检验，t=或t=；解，得t=；解，得t=

17、都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与ACD相似9解：（1）任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：答：，；其中有两组（，）是相似的选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=证明：（eqoac(,2)）选择、证明在AOB与COD中，ABCD，CDB=DBA，DCA=CAB，AOBCOD选择、证明四边形ABCD是等腰梯形，DAB=CBA，在DAB与CBA中有AD=BC，DAB=CAB，AB=AB，DABCBA，ADO=BCO又DOA=COB，DOACOB10、解：（1）AD=DE，AE=CECEBD，BDC=60，在eqoac(,Rt)CED中，ECD

18、=30答：CD=2EDCD=2DA，AD=DE，DAE=DEA=30=ECDAE=CE（eqoac(,2)）图中有三角形相似，ADEAEC；CAE=CAE，ADE=AEC，ADEAEC；（3）作AFBD的延长线于F，设AD=DE=x，在eqoac(,Rt)CED中，可得CE=，故AE=ECD=30在eqoac(,Rt)AEF中，AE=，AED=DAE=30，sinAEF=，AF=AEsinAEF=1111解：（1）ABMP，QMAC，四边形APMQ是平行四边形，B=PMC，C=QMB答：AB=AC，B=C，PMC=QMBBQ=QM，PM=PC四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+

19、QB+AP+PC=AB+AC=2a（2）PMeqoac(,AB)，PCMACB，QMeqoac(,AC)，BMQBCA；（3）当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，点M是BC的中点，ABMP，QMAC，QM，PM是三角形ABC的中位线AB=AC，QM=PM=AB=AC又由（1）知四边形APMQ是平行四边形，平行四边形APMQ是菱形12解证明：正方形ABCD，M为CD中点，CM=MD=ADBP=3PC，答：PC=BC=AD=CMPCM=ADM=90，MCPADM13解（1）过D作DHAB交BC于H点ADBH，DHAB，四边形ABHD是平行四边形答：DH=AB=8；BH=AD=2CH=82=

20、6CD=10，DH2+CH2=CD2DHC=90B=DHC=90梯形ABCD是直角梯形SABCD=（AD+BC）AB=（2+8）8=40（2）BP=CQ=t，AP=8t，DQ=10t，AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，8t+2+10t=t+8+tt=38当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分第一种情况：0t8若PADQEC则ADP=CtanADP=tanC=，t=；eqoac(,；)若PADCEQ则APD=CtanAPD=tanC=，=t=；第二种情况：8t10，P、A、D三点不能组成三角形；第三种情况：10teqoac(,12)ADP为钝角三角形与eqoac(,Rt)CQE不相似；t=或

21、t=时，PAD与CQE相似第一种情况：当0t8时过Q点作QEBC，QHAB，垂足为E、HAP=8t，AD=2，PD=CE=t，QE=t，QH=BE=8t，BH=QE=tPH=tt=tPQ=，DQ=10t：DQ=DP，10t=，解得t=8秒12：DQ=PQ，10t=解得：t=，t=，化简得：3t252t+180=08（不合题意舍去）t=第二种情况：8t10时DP=DQ=10t当8t10时，以DQ为腰的等腰DPQ恒成立第三种情况：10t12时DP=DQ=t10当10t12时，以DQ为腰的等腰DPQ恒成立综上所述，t=或8t10或10t12时，以DQ为腰的等腰DPQ成立14解：设经x秒后，PBQBC

22、D，由于PBQ=BCD=90，答：（1）当1=2时，有：（2）当1=3时，有：，即，即；，经过秒或2秒，PBQBCD15解：设经过秒后t秒后，PBQ与ABC相似，则有AP=2t，BQ=4t，BP=102t，答：当PBQABC时，有BP：AB=BQ：BC，即（102t）：10=4t：20，13解得t=2.5（s）（6分）当QBPABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（102t）：20，解得t=1所以，经过2.5s或1s时，PBQ与ABC相似（10分）解法二：设ts后，PBQ与ABC相似，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=102t分两种情况：1）当BP与AB对应时，有（2）当BP与B

23、C对应时，有=，即=，即=，解得t=2.5s，解得t=1s所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与ABC相似16解：AC=，AD=2，CD=要使这两个直角三角形相似，有两种情况：答：（1）当eqoac(,Rt)ABCeqoac(,Rt)ACD时，有（2）当eqoac(,Rt)ACBeqoac(,Rt)CDA时，有=，AB=，AB=3；=3故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似17解：分两种情况讨论：若CDMMAN，则=边长为a，M是AD的中点，答AN=eqoac(,a)若CDMNAM，则边长为a，M是AD的中点，AN=a，即N点与B重合，不合题意所以，能在边AB上找一点

24、N（不含A、B），使得CDM与MAN相似当AN=a时，N点的位置满足条件18解：设经过x秒后，两三角形相似，则CQ=（82x）cm，CP=xcm，答：C=C=90，当或时，两三角形相似（1）当时，x=；（2）当时，x=所以，经过秒或秒后，两三角形相似19解（1）若点A，P，D分别与点B，C，P对应，即APDBCP，答：=，=，AP27AP+6=0，AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，=，又A=B=90，APDBCP当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又A=B=90，APDBCP（2）若点A，P，D分别与点B，P，C对应，即APDBPC=，=，AP=

25、检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，14=，又A=B=90，APDBPC因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、6处20解：（eqoac(,1)）ABC是等腰直角三角形，MBE=45，BME+MEB=135答：又DEF是等腰直角三角形，DEF=45NEC+MEB=135BEM=NEC，而MBE=ECN=45，BEMCNE（2）与（eqoac(,1)）同理BEMCNE，又BE=EC，则ECN与MEN中有，又ECN=MEN=45，ECNMEN21解：以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似，所以ABCPAQ或ABCQAP，答：当ABCPAQ时，当ABCQAP时，当AQPBAC

26、时，当AQPBCA时，=，所以，所以，即，即=，解得：t=6；，解得：t=；，所以t=；，所以t=30（舍去）故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与ABC相似22解：MAC=MOP=90，AMC=OMP，MACMOP，答：即，解得，MA=5米；同理，由NBDNOP，可求得NB=1.5米，小明的身影变短了51.5=3.5米23、解：（1）皮尺，标杆；（2）测量示意图如图所示；答：（3）如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，DEFBAC，1524解：（1）由题意可知：BAC=EDF=90，BCA=EFDABCDEF答：，即，DE=1200（cm）所以，学校旗杆的高度是12m（2）解法一：与类似得：，即，GN=208在eqoac(,Rt)NGH中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，NH=260设O的半径为rcm，连接OM，NH切O于M，OMNH则OMN=HGN=90，又ONM=HNG，OMNHGN，又ON=OK+KN=OK+（GNGK）=r+8，解得：r=12景灯灯罩的半径是12cm解法二：与类似得：，即，GN=208设O的半径为rcm，连接OM，NH切O于M，OMNH则OMN=HGN=90，又ONM=HNG，OMNHGN，即，MN=r，又ON=OK+KN=O