2019-2020年高三数学一轮复习-第7篇-第7节-立体几何中的向量方法课时训练-理

1、2019-2020年高三数学一轮复习 第7篇 第7节 立体几何中的向量方法课时训练 理【选题明细表】知识点、方法题号利用向量证明空间线面位置关系1、3、5、7、13利用空间向量求空间角2、4、6、8利用空间向量求距离9利用空间向量解决综合性问题10、11、12、14、15一、选择题1.若直线l的方向向量为a,平面的法向量为n,有可能使l的是(D)(A)a=(1,0,0),n=(-2,0,0)(B)a=(1,3,5),n=(1,0,1)(C)a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)(D)a=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析:若l,则an=0.而选项A中an=-2.选项B中an=1+5=

2、6.选项C中an=-1,选项D中an=-3+3=0,故选D.2.(2014海南海口模拟)在空间中,已知 QUOTE =(2,4,0), QUOTE =(-1,3,0),则异面直线AB与DC所成角的大小为(A)(A)45(B)90(C)120(D)135解析: QUOTE =(2,4,0), QUOTE =(-1,3,0),cos= QUOTE = QUOTE = QUOTE .=45.即AB与DC所成的角为45.3.(2014陕西西安模拟)如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,M、N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN= QUOTE a,则MN与平面BB1C1C的位置关系是(B

3、)(A)相交(B)平行(C)垂直(D)不能确定解析:分别以C1B1、C1D1、C1C所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.A1M=AN= QUOTE a,M(a, QUOTE a, QUOTE ),N( QUOTE a, QUOTE a,a), QUOTE =(- QUOTE ,0, QUOTE a).又C1(0,0,0),D1(0,a,0), QUOTE =(0,a,0), QUOTE QUOTE =0, QUOTE QUOTE . QUOTE 是平面BB1C1C的法向量,且MN平面BB1C1C,MN平面BB1C1C.4.(2014山东潍坊模拟)正三棱柱ABCA1B1C1中,

4、AB=AA1,则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为(C)(A) QUOTE (B) QUOTE (C) QUOTE (D) QUOTE 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,设AB=2,则C1( QUOTE ,1,0),A(0,0,2), QUOTE =( QUOTE ,1,-2),平面BB1C1C的一个法向量为n=(1,0,0),所以AC1与平面BB1C1C所成的角的正弦值为 QUOTE = QUOTE = QUOTE .5.如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是底面正方形ABCD的中心,M是D1D的中点,N是A1B1的中点,则直线NO、AM的位置关系是(C)(A)平行(B)

5、相交(C)异面垂直(D)异面不垂直解析:建立坐标系如图,设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),M(0,0,1),O(1,1,0),N(2,1,2), QUOTE =(-1,0,-2), QUOTE =(-2,0,1), QUOTE QUOTE =0,则直线NO、AM的位置关系是异面垂直.6.(2014大连模拟)在四棱锥PABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD平面ABCD,AB=PD=a.点E为侧棱PC的中点,又作DFPB交PB于点F.则PB与平面EFD所成角为(D)(A)30(B)45(C)60(D)90解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,D为坐标原点.则P(0,0,a),B(a

6、,a,0), QUOTE =(a,a,-a),又 QUOTE =(0, QUOTE , QUOTE ), QUOTE QUOTE =0+ QUOTE - QUOTE =0,所以PBDE,由已知DFPB,且DFDE=D,所以PB平面EFD,所以PB与平面EFD所成角为90.二、填空题7.(2014大庆模拟)已知平面和平面的法向量分别为a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且,则x=.解析:由题意得ab=x-2+6=0,x=-4.答案:-48.等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB,二面角CABD的余弦值为 QUOTE ,M、N分别是AC、BC的中点,则EM、AN所成角的余弦值等于.解

7、析:过C点作CO平面ABDE,垂足为O,取AB中点F,连接CF、OF,则CFO为二面角CABD的平面角,设AB=1,则CF= QUOTE ,OF=CFcosCFO= QUOTE ,OC= QUOTE ,则O为正方形ABDE的中心,如图所示建立直角坐标系Oxyz,则E QUOTE ,M QUOTE ,A QUOTE ,N QUOTE , QUOTE = QUOTE , QUOTE = QUOTE ,cos= QUOTE = QUOTE .答案: QUOTE 9.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E是A1B1上的点,则点E到平面ABC1D1的距离是.解析:法一以点D为坐标原点,D

8、A,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,设点E(1,a,1)(0a1),连接D1E,则 QUOTE =(1,a,0).连接A1D,易知A1D平面ABC1D1,则 QUOTE =(1,0,1)为平面ABC1D1的一个法向量.点E到平面ABC1D1的距离是d= QUOTE = QUOTE .法二点E到平面ABC1D1的距离,即B1到BC1的距离,易得点B1到BC1的距离为 QUOTE .答案: QUOTE 三、解答题10.(2014高考辽宁卷)如图,ABC和BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,ABC=DBC=120,E、F分别为AC、DC的中点.(1)求证:

9、EFBC;(2)求二面角EBFC的正弦值.(1)证明:法一过E作EOBC,垂足为O,连OF.由ABCDBC可证出EOCFOC.所以EOC=FOC= QUOTE ,即FOBC.又EOBC,因此BC平面EFO,又EF平面EFO,所以EFBC.法二由题意,以B为坐标原点,在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴,BC所在直线为y轴,在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴,建立如图2所示空间直角坐标系.易得B(0,0,0),A(0,-1, QUOTE ),D( QUOTE ,-1,0),C(0,2,0).因而E(0, QUOTE , QUOTE ),F( QUOTE , QUOTE ,0),所以 Q

10、UOTE =( QUOTE ,0,- QUOTE ), QUOTE =(0,2,0),因此 QUOTE QUOTE =0.从而 QUOTE QUOTE ,所以EFBC.(2)解:法一在图1中,过O作OGBF,垂足为G,连EG.由平面ABC平面BDC,从而EO平面BDC,又OGBF,由三垂线定理知EGBF.因此EGO为二面角EBFC的平面角.在EOC中,EO= QUOTE EC= QUOTE BCcos 30= QUOTE ,由BGOBFC知,OG= QUOTE FC= QUOTE ,因此tanEGO= QUOTE =2,从而sinEGO= QUOTE ,即二面角EBFC的正弦值为 QUOTE

11、.法二在图2中,平面BFC的一个法向量为n1=(0,0,1).设平面BEF的法向量为n2=(x,y,z),又 QUOTE =( QUOTE , QUOTE ,0), QUOTE =(0, QUOTE , QUOTE ).由 QUOTE 得其中一个n2=(1,- QUOTE ,1).设二面角EBFC的大小为,且由题意知为锐角,则cos =|cos=| QUOTE |= QUOTE ,因此sin = QUOTE = QUOTE ,即所求二面角的正弦值为 QUOTE .11.(2014河北石家庄二模)如图,在三棱锥PABC中,PA底面ABC,ACBC,H为PC的中点,M为AH的中点,PA=AC=2,

12、BC=1.(1)求证:AH平面PBC;(2)求PM与平面AHB成角的正弦值;(3)设点N在线段PB上,且 QUOTE =,MN平面ABC,求实数的值.(1)证明:因为PA底面ABC,BD底面ABC,所以PABC,又因为ACBC,PAAC=A,所以BC平面PAC,又因为AH平面PAC,所以BCAH.因为PA=AC,H是PC中点,所以AHPC,又因为PCBC=C,所以AH平面PBC.(2)解:在平面ABC中,过点A作ADBC,因为BC平面PAC,所以AD平面PAC,又PA底面ABC,得PA,AC,AD两两垂直,所以以A为原点,AD,AC,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系则A(0

13、,0,0),P(0,0,2),B(1,2,0),C(0,2,0),H(0,1,1),M(0, QUOTE , QUOTE ).设平面AHB的法向量为n=(x,y,z), QUOTE =(0,1,1), QUOTE =(1,2,0),由 QUOTE 得 QUOTE 令z=1,得n=(2,-1,1).设PM与平面AHB所成角为,因为 QUOTE =(0, QUOTE ,- QUOTE ),所以sin =|cos|=| QUOTE |=| QUOTE |即sin = QUOTE .(3)解:因为 QUOTE =(1,2,-2), QUOTE = QUOTE ,所以 QUOTE =(,2,-2),又因

14、为 QUOTE =(0, QUOTE ,- QUOTE ),所以 QUOTE = QUOTE - QUOTE =(,2- QUOTE , QUOTE -2).因为MN平面ABC,平面ABC的一个法向量 QUOTE =(0,0,2),所以 QUOTE QUOTE =3-4=0,解得= QUOTE .能力提升12.(2014吉林长春模拟)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC,则下面结论错误的为(C)(A)ACBD(B)ACD是等边三角形(C)AB与平面BCD所成的角为60(D)AB与CD所成的角为60解析:取BD中点O,连接AO、CO,则AOBD,COBD,BD平面AOC,ACBD,又

15、AC= QUOTE AO=AD=CD,ACD是等边三角形,而ABD是AB与平面BCD所成的角,应为45.又 QUOTE = QUOTE + QUOTE + QUOTE (设AB=a),则a2=a2+2a2+a2+2a QUOTE a(- QUOTE )+2a QUOTE a(- QUOTE )+2a2cos,cos= QUOTE ,AB与CD所成的角为60.13.空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD与ADEF,设M,N分别是BD,AE的中点,给出如下命题:ADMN;MN平面CDE;MNCE;MN,CE异面.则所有的正确命题为.解析:如图,设 QUOTE =a、 QUOTE =b、 QUO

16、TE =c,则ab=cb=0. QUOTE = QUOTE - QUOTE = QUOTE (b+c)- QUOTE (a+b)= QUOTE (c-a), QUOTE QUOTE = QUOTE (c-a)b= QUOTE (cb-ab)=0,故ADMN; QUOTE =c-a=2 QUOTE ,故MNCE,故MN平面CDE,故正确;正确时一定不正确.答案:14.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上.(1)求异面直线D1E与A1D所成的角;(2)若二面角D1ECD的大小为45,求点B到平面D1EC的距离.解:建立如图所示的空间直角坐标系.(1)

17、由A1(1,0,1),得 QUOTE =(1,0,1),设E(1,a,0),又D1(0,0,1),则 QUOTE =(1,a,-1). QUOTE QUOTE =1+0-1=0, QUOTE QUOTE ,则异面直线D1E与A1D所成的角为90.(2)m=(0,0,1)为平面DEC的一个法向量,设n=(x,y,z)为平面CED1的法向量,则cos= QUOTE = QUOTE =cos 45= QUOTE ,z2=x2+y2,由C(0,2,0),得 QUOTE =(0,2,-1),则n QUOTE ,即n QUOTE =0,2y-z=0,由、,可取n=( QUOTE ,1,2),又 QUOTE

18、 =(1,0,0),所以点B到平面D1EC的距离d= QUOTE = QUOTE = QUOTE .探究创新15.(2014高考江西卷)如图,四棱锥PABCD中,ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD.(1)求证:ABPD;(2)若BPC=90,PB= QUOTE ,PC=2,问AB为何值时,四棱锥PABCD的体积最大?并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.(1)证明:ABCD为矩形,故ABAD;又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以AB平面PAD,故ABPD.(2)解:过P作AD的垂线,垂足为O,过O作BC的垂线,垂足为G,连接PG.故PO平面ABCD,BC平面POG,BCPG,在RtBPC中,PG= QUOTE ,GC= QUOTE ,BG= QUOTE .设AB=m,则OP= QUOTE = QUOTE ,故四棱锥PABCD的体积为V= QUOTE QUOTE m QUOTE = QUOTE .因为m QUOTE = QUOTE = QUOTE ,故当m= QUOTE ,即AB= QUOTE 时,四棱锥PABCD的体积最大.此时,建立如图所示的坐标系,各点的坐标为O(0,0,0),B( QUOT