曲线拟合的最小二乘法powerpoint 演示文稿

1、第三章函数逼近与FFT计算方法 曲线拟合的最小二乘法1本节内容 曲线拟合 曲线拟合基本概念 最小二乘算法 最小二乘拟合多项式2曲线拟合能否找到一个简单易算的 p(x) ，使得 f(x) p(x)已知 f(x) 在某些点的函数值：xx0 x1xm f(x)y0y1ym但是 m 通常很大 yi 本身是测量值，不准确，即 yi f (xi) 这时不要求 p(xi) = yi , 而只要 p(xi) yi 总体上尽可能小 3 使 最小 使 最小曲线拟合 p(xi) yi 总体上尽可能小 使 最小 常见做法太复杂 不可导，求解困难 最小二乘法：目前最好的多项式曲线拟合算法4最小二乘曲线拟合的最小二乘问题

2、 这个问题实质上是最佳平方逼近问题的离散形式。可以将求连续函数的最佳平方逼近函数的方法直接用于求解该问题。已知函数值表 ( xi , yi )，在函数空间 中求 S*(x) ，使得其中 i 是点 xi 处的权。5最小二乘求解对任意 S(x) = span0, 1, , n，可设 S(x) = a00 + a11 + + ann(x)则求 S*(x) 等价于求下面的多元函数的最小值点k = 0, 1, , n最小值点6最小二乘求解( k = 0, 1, , n )这里的内积是离散带权内积，即，法方程G法方程7最小二乘求解法方程存在唯一解 det(G) 0Haar条件0, 1, , n 的任意线性

3、组合在点集 x0, x1, , xm 上至多只有 n 个不同的零点，则称 0, 1, , n 在点集 x0, x1, , xm 上满足 Haar 条件0, 1, , n 线性无关m n若 0, 1, , n Ca, b 在点集 x0, x1, , xm 上满足 Haar 条件，则法方程的解存在唯一8最小二乘求解设法方程的解为： a0* , a1*, , an* , 则 S*(x) = a0* 0 + a1* 1 + + an* n(x)结论S*(x) 是 f(x) 在 中的 最小二乘解9举例例：给定函数值表，求 f(x) 的最小二乘拟合函数 S*(x) xi0.240.650.951.241.

4、732.012.232.522.772.99yi0.23-0.26-1.10-0.450.270.10-0.290.240.561.00解：在坐标平面上描出上表中的数据点，根据点的分布情况，选取基函数 得法方程解得所以10举例最小二乘问题中，如何选择数学模型很重要，即如何选取函数空间 = span0, 1, , n ，通常需要根据物理意义，或所给数据的分布情况来选取合适的数学模型。11多项式拟合Hn= span1, x, ., xn, 即 i = xi, 则相应的法方程为此时 为 f(x) 的 n 次最小二乘拟合多项式多项式最小二乘曲线拟合12举例例：求下面数据表的二次最小二乘拟合多项式 得法

5、方程xi00.250.500.751.00f (xi )1.00001.28401.64872.11702.7183解：设二次拟合多项式为解得所以此组数据的二次最小二乘拟合多项式为(1) 若题目中没有给出各点的权值 i ，默认为 i = 1 (2) 该方法不适合 n 较大时的情形 （病态问题）13正交多项式拟合带权正交（离散情形）给定点集 以及各点的权系数 ，如果函数族 满足则称 关于点集 带权 正交若 0, 1, , n 是多项式，则可得正交多项式族14正交多项式拟合用正交多项式做最小二乘设多项式 p0, p1, , pn 关于点集 x0, x1, , xm 带权 0, 1, , m 正交，

6、则 f(x) 在 Hn 中的最小二乘拟合多项式为其中k = 0, 1, , n 误差离散形式的 2-范数15正交多项式的构造给定 和权系数 ，如何构造正交多项式族可以证明： 关于点集 带权 正交 三项递推公式：k = 1, , n-1其中( k = 0, 1, , n-1 )( k = 1, 2, , n-1 )16几点注记可以将构造正交多项式族、解法方程、形成拟合多项式穿插进行； n 可以事先给定，或在计算过程中根据误差来决定；该方法非常适合编程实现，只用递推公式，并且当逼近次数增加时，只要将相应地增加程序中的循环次数即可。该方法是目前多项式拟合最好的计算方法，有通用程序。17举例例：给定数

7、据点及权系数，求二次最小二乘拟合多项式 xi00.50.60.70.80.91.0yi 1.001.751.962.192.442.713.00i1111111解：通过直接计算，可得 Matlab 正交多项式最小二乘拟合函数: polyfit(x,y,n)Matlab 曲线拟合工具箱：cftool18非线性最小二乘有时需要其它函数，如 ， 等拟合给定的数据，这时建立的法方程是一个非线性方程组，称这类拟合问题为非线性最小二乘问题。xi1.001.251.501.752.00yi 5.105.796.537.458.46xi0.10.20.30.40.50.60.70.8yi 0.61.11.61.82.01.91.71.3例：用指数函数 拟合下面的数据例：用函数 拟合表中的数据19作业(1