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1、D14无穷小无穷大1例3. 证明证:故取当时, 必有因此3. 左极限与右极限左极限 :当时, 有右极限 :当时, 有定理 3 .( P39 题*11 )函数极限的性质2. 函数极限的局部保号性P37定理31. 函数极限的局部有界性P36定理23. 函数极限的唯一性 P36定理14. 函数极限与数列极限的关系P37定理4 第一章 二、 无穷大 三 、 无穷小与无穷大的关系 一、 无穷小 第四节无穷小与无穷大当一、 无穷小量定义1 . 假设时, 函数那么称函数例如 :函数 当时为无穷小;函数 时为无穷小;函数 当为时的无穷小量 .时为无穷小.其中 为时的无穷小量 . 定理 1 . ( 无穷小与函数

2、极限的关系 )证:当时,有对自变量的其他变化过程类似可证 .二、 无穷大量定义2 . 假设任给 M 0 ,一切满足不等式的 x , 总有那么称函数当时为无穷大, 使对假设在定义中将 式改为那么记作(正数 X ) ,记作总存在注意:无穷小并不是很小的数，无穷大不是很大的数, 它是描绘函数的一种状态.2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !例如, 函数但不是无穷大 !例 . 证明证: 任给正数 M ,要使即只要取那么对满足的一切 x , 有所以假设 那么直线为曲线的铅直渐近线 .铅直渐近线说明:三、无穷小与无穷大的关系假设为无穷大,为无穷小 ;假设为无穷小, 且那么为无穷大.那么(自证

3、)据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明:换成也成立！四、 无穷小运算法那么P38-39定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .假设那么时, 有定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .证: 考虑两个无穷小的和 .设当时 , 有当时 , 有取那么当因此这说明当时,为无穷小量 .说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如，类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 夹逼准那么推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 假设那么定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设又设即当时, 有取那么当时 , 就有故即是时的无穷小 .例1. 求解: 利用定理 2 可知说明 : y = 0 是的渐近线 .内容小结1. 无穷小与无穷大的定义2. 无穷小与函数

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