粘性流体动力学相似律及基本性质

1、粘性流体力学相似率及不可压缩粘性流体的基本性质水力学与山区河流开发保护国家重点实验室2009年4月1内容提要粘性流体力学相似率不可压缩粘性流体的基本性质2一、基本方程和边界条件的无量纲化 基本方程式中的各物理量以相应的同类物理量度量之，则有量纲的物理量都可变成无量纲的物理量。用以度量的那些物理量通称为特征物理量。用特征物理量去度量物理方程组中的物理量，则方程组可变成无量纲的物理方程组。 3(一) 特征物理量在粘性流体动力学的一般问题中，通常包括下列特征物理量。 这些特征物理量的具体形式将根据流场的具体形式来决定。以特征长度为例，在物体绕流的流场中可取物体的长度作为特征长度，在管流中可取管径作为

2、特征长度。 4以这些特征物理量度量各相应的物理量，可以得到各无量纲物理量。(带“*”表示无量纲物理量)： 5(二) 基本方程的无量纲化 6以无量纲物理量式代入此方程组，整理可得 7(2) 是与流体的物性有关的数。利用状态方程 上述各式中由特征物理量所组成的无量纲因子，它们都具有一定的物理意义。(1) 斯特罗哈数：它是与流场的不定常性有关的数。可以将这个无量纲数化为式中 8(3) 是与流体运动状态及物性有关的物理量，利用声速公式 可以将此无量纲数化为则可得M为马赫数。马赫数除了表示流速与声速之比外，还有另一个物理意义：惯性力与压差力之比。 由动量方程式知，单位质量流体的惯性力的量级为 单位质量流

3、体所受的压差力的量级为 令9（4） 它是与重力加速度有关的无量纲物理量。 由此可见，惯性力与压差力之比为因此佛罗德数 出动量方程知，单位质量流体的重力的量级为 于是惯性力与重力之比为表示惯性力与重力之比。 可见， 10 它是与粘性有关的无量纲物理量，称为雷诺数 雷诺数的物理意义可说明如下，由动量方程式知，单位质量的流体所承受的粘性力的量级为 于是惯性力与粘性力之比为 所以可见，雷诺数表示惯性力和粘性力之比。 11 这个无量纲数与热传导有关，它又可化为 为普朗特数 普朗特数的物理意义可叙述如下。由能量方程式知，单位质量流体因热传导吸收的热量的量级为 单位质量流体因对流运动引起的交换热的量级为 1

4、2于是对流热与传导热之比为 利用状态方程 可使此无量纲数变为 13斯特罗哈数：物性数马赫数：弗汝德数雷诺数普朗特数欧拉数14将上述无量纲数代入粘性流体基本方程组，可得其无量纲形式15利用完全类似的方法对对不可压缩流体方程式无量纲化，最后结果如下：16(三)边界条件的无量纲化 (1)流体在物面上的无量纲形式的运动学条件以无量纲物理量式代入流体在物面上的速度边界条件式，可得其无量纲形式(2)流体在物面上无量纲形式的热力学条件以无量纲物理量式代入流体在物面上的热力学边界条件式，得为了使物面热通量条件式无量纲化，还可以引入一个特征物理量 qb0它是边界上的特征热通量，于是无量纲热通量可写成 17将此关

5、系及各基本无量纲表达式代入热量条件式，可得称为努赛尔数 是表征物面热传导特性的无量纲参数。 于是边界热通量条件式 可写成 18(3)流体在自由面上无量纲形式的运动学条件 以无量纲物理量式代入液体在自由面上的边界条件式可得无量纲形式的自由面上的运动学条件上式可写成 (4)流体在自由面上无量纲形式的动力学条件为了使自由面上动力学条件式无量纲化，还可以引入一个特征物理量 J0，它是特征表面张力。 于是无量纲表面张力可写成由于J0=J=const 19将此式及式各无量纲物理量表达式代入自由表面动力学条件式可得无量纲形式的自由面动力学条件 式中“十”号用于凸自由面；“一”号用于凹自由面。式中=称作韦伯数

6、，它是表征表面张力特性的无量纲数。 20二、由无量纲方程和边界条件导出的相似律 相似问题在规划实验和工程实践中具有特别重要的意义。例如，在风洞中进行某一机翼绕流的模拟试验，所采用的机翼模型固然要与实际机翼几何相似，但是更重要的问题在于：在风洞中应规定怎样的特征量(例如，来流条件，介质条件等等)才有可能模拟实际机翼绕流的特性，由试验所测得的数据才有可能转换到实际机翼的绕流中去。因此我们必须研究粘性流体动力学问题的相似律。21几何相似， 长度，面积，体积运动相似，速度，加速度动力相似，重力（弗汝德数准则），粘性力（雷诺数准则），压力（欧拉数准则），表面张力（韦伯数准则），弹性力（柯西数准则）：动力

7、相似必然要求几何相似和运动相似几何边界相似的两个流场，知果它们是力学相似，则它们应满足完全相同的无量纲方程和无量纲定解条件。于是，两种流场力学相似的充分和必要条件是：(1) 流体边界几何相似；(2) 有相同的无量纲方程，(3) 有相同的无量纲边界条件。下面我们分别予以讨论。 22(一) 流体边界几何相似 当两个流场的无量纲几何边界完全相同时，则这两种流场的边界便是几何相似。故流场边界几何相似的充分和必要条件是：边界上各对应点满足 或式中“A”，“B”表示两个相似流场。 23(二)有相同的无量纲方程 欲使无量纲方程相同，必须使两种流场的无量纲方程式中下列各无量纲系数相等： 斯托罗哈数 雷诺数 R

8、e=普朗特数 马赫数 佛罗德数 Fr= 无量纲第二粘性系数 比热比 24于是相似条件可写成 式中，下标“A”、“B”表示两个相似流场。25在实际问题中要保证两个流场都满足上述条件是困难的。例如，在相同的重力条件下，若两个流场取相同的介质，则两个流场的 且两个流场的 和温度T*的关系相同。这时，物性比条件式和普朗特式得到自然满足。由雷诺数条件式和几何相似条件式可得再由式斯托罗哈条件式及马赫数条件式可得到26由此可见，重力场中介质相同的两个流场，若要全面相似，则必须两种流场完全相同。若要满足人为规定的几何线性尺度比例 则必然要破坏相似条件式雷诺数准则或弗汝德数准则。应当指出，在实际问题中，尽管使两

9、个流场全面相似很困难，但是在很多情况下，并不一定要求全部相似。若某个相似条件在流场中影响很小，则可不必追求满足这个相似条件。例如若重力场的作用对流场影响不大，则可不必追求两个流场的佛罗德数Fr相同，即不必满足弗汝德准则这样就为我们选择特征物理量增加了一个自出度。只满足一部分相似条件的两个流场称为局部相似流场。 27(三)有相同的无量纲边界条件 欲使无量纲边界条件相同，必须使两种流场的无量纲边界条件的系数相同，即努赛尔数相同或和韦伯数We相同或28不可压缩粘性流动的基本特性 流动的有旋性、涡量的扩散性和能量的耗散性是粘性流体运动的重要特性。一、粘性流动的有旋性 为方便起见，我们只讨论粘性系数常数

10、的不可压缩粘性流动。连续方程式和运动方程式是求解V，p的封闭方程组。对于无界流场中的物体绕流问题，物面条件为 由场论知 29代入运动方程可得 再将连续方程式代入。可得由场论知 于是运动方程式可写成30若假定运动无旋，则速度必有势，即 代入连续方程式，可得由此可见，在无旋运动的假设下，速度势方程与理想流体无旋运动的速度势方程完全相同，而且动量方程可写成 由此方程可以得到拉格朗日积分式式中31由此可以得出结论：在无旋运动的假设下，不但速度势方程与理想流体的速度势方程相同，而且粘性流动的流场中的压力分布与理想流体中的压力分布也完全相同。但是这个结论在一般情况下是不正确的，因为我们讨论的是粘性流动，上

11、述方程式除应满足物面法向速度连续边界条件式外，尚需满足物面上的相对速度为零的条件。这个条件对于理想流体流动并不要求满足。对于方程式(12127)、（12128)而言，只要给出理想流体流动的边界条件就可得到唯一解；而在给出过多的边界条件下，除个别情况外，方程式(12127)、(12128)不可能有解。既然解不存在，也就表明原先所作的无旋运动的假定不可能成立。从而证明了粘性流体作无旋运动的不可能性，即粘性流动必然有旋。32二、粘性流动的旋涡扩散性 由流体运动学知，流体质点加速度a可写成 对此式取旋度式中 因此上式可写成33由场论知故由场论知 由不可压条件知 故上式可写成 或上式纯属不可压缩流体的运动学物理量之间的关系式。34若质量力有势即 则运动方程式可写成 对此式两边取旋度由场论知, 又在不可压缩条件下， 故由场论知35考虑到 上述关系式可写成 将此关系代入 上式 可得 此方程是不可压缩粘性流动的N-S方程的另一种形式。将运动学关系式(12130)代入上式，可得此式称作涡量输运方程。由第六章讨论的佛里德曼定理知，涡管强度保持性的必要和充分条件是12-13436对于不可压缩流体，则变成但是粘性流动的涡量输运方程式(12-134)并不满足此条件，因此涡管强度不可能保持。于是我们可以得出结论：不可压缩粘性流动的涡量不具保持性，而具有扩散性。故方程式(12