2022年从梯子的倾斜程度谈起教案

1、1.1 从梯子的倾斜程度谈起 一 教学目标 一 教学学问点. 懂得正切的意义和与现实生活的联 1.经受探究直角三角形中边角关系的过程系. 2. 能够用 tanA 表示直角三角形中两边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,外能够用正切进行简洁的运算 . 二 才能训练要求 1. 经受观看、猜想等数学活动过程,进展合情推理才能,能有条理地,清楚地阐述自己的观点 . 2. 体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题 .提高解决实际问题的才能 . 3. 体会解决问题的策略的多样性,进展实践才能和创新精神 . 三 情感与价值观要求 1. 积极参加数学活动,对数学产生奇怪心和求知欲

2、. 2. 形成实事求是的态度以及独立摸索的习惯 . 教学重点 1. 从现实情境中探究直角三角形的边角关系 . 2. 懂得正切、倾斜程度、坡度的数学意义,亲密数学与生活的联系 . 教学难点 懂得正切的意义,并用它来表示两边的比 . 教学方法 引导探究法 . 教具预备 FLASH 演示教学过程 1. 创设问题情境,引入新课用 FLASH课件动画演示本章的章头图,提出问题,问题从左到右分层次显现： 问题 1 在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其他的边和角吗. 问题 2 随着改革开放的深化,上海的城市建设正日新月异地进展,幢幢大楼拔地而起 .70 岁月位于南京西路的国际饭店仍始终是上海最高的

3、大厦,但经过多少年的城市进展,“ 上海最高大 海最高的大厦叫什么名字吗 高度吗 . 厦” 的桂冠早已被其他高楼取代,你们知道目前上 .你能应用数学学问和适当的途径得到金茂大厦的实际通过本章的学习,信任大家肯定能够解决. 1.1.1从梯子的倾斜程这节课,我们就先从梯子的倾斜程度谈起. 板书课题度谈起 . . 讲授新课用多媒体演示如下内容： 师 梯子是我们日常生活中常见的物体. 我们常常听人们说这个梯子放的“ 陡” ,那个梯子放的“ 平缓” ,人们是如何判定的.“ 陡” 或“ 平缓” 是用来描述梯子什么的 .请同学们看下图,并回答疑题 用多媒体演示 1 在图中,梯子 AB和 EF哪个更陡 .你是怎

4、样判定的 .你有几种判定方法 . 生 梯子 AB比梯子 EF更陡 . 师 你是如何判定的 . 生 从图中很简洁发觉 ABCEFD,所以梯子 AB比梯子 EF陡. 生 我觉得是由于 AC ED,所以只要比较 BC、 FD 的长度即可知哪个梯子陡.BCFD,所以梯子 AB比梯子 EF 陡. 师 我们再来看一个问题 用多媒体演示 2 在下图中,梯子 AB和 EF 哪个更陡 .你是怎样判定的 . 师 我们观看上图直观判定梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,就比较困难了 .能不能从第 1 问中得到什么启示呢. AC和 ED是相等的,而水平宽度BC 生 在第 1 问的图形中梯子的垂直高度即和 FD 不一样长,由

5、此我想到梯子的垂直高度与水平宽度的比值越大,梯子应当越陡. 师 这位同学的想法很好,的确如此,在第2 问的图中,哪个梯子更陡,应该从梯子AB和 EF 的垂直高度和水平宽度的比的大小来判定. 那么请同学们算一下梯子AB和EF哪一个更陡呢？ 生AC4. 8, BC1 .5335.35EDFD1.313835, 313梯子 EF 比梯子 AB更陡 . 多媒体演示：想一想如图,小明想通过测量B1C1：及AC1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度；而小亮就认为,通过测量B2C2 及 AC2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度. 你同意小亮的看法吗. 1 直角三角形AB1C1 和直角三角形AB2C2有什

6、么关系 . 2B 1 C 1和 EMBED Equation.3 B 2C 2和有什么关系 . AC 1AC 23 假如转变 B2 在梯子上的位置呢.由此你能得出什么结论. 师 我们已经知道可以用梯子的垂直高度和水平宽度的比描述梯子的倾斜程度,即用倾斜角的对边与邻边的比来描述梯子的倾斜程度 的三个问题,再来争论小明和小亮的做法 . . 下面请同学们摸索上面 生 在上图中,我们可以知道Rt AB1C1,和Rt AB2C2 是相像的 . 由于B 2C2AB 1C1A90 ,B2AC2B 1AC1,依据相像的条件,得Rt AB1C1Rt AB2C2. 生 由图仍可知：B2C2AC2, B1C1AC1

7、,得 B2C2/B1C1,Rt AB1C1Rt AB2C2. 生 相像三角形的对应边成比例,得到B 1 C1AC1,即B 1 C1B2C2. B2C2AC2A 1 C1AC2假如转变B2 在梯子上的位置,总可以得到Rt B2C2ARt Rt B1C1A,仍 能得B 1C 1B 2C 2B 1 C1B2C2AC 1AC2因此,无论B2在梯子的什么位置 除 A 外 ,AC1AC2总成立. 师 也就是说无论B2在梯子的什么位置A 除外 ,A 的对边与邻边的比值是不会转变的 . 现在假如转变A 的大小,A 的对边与邻边的比值会转变吗 . 生 A 的大小转变,A 的对边与邻边的比值会转变 . 师 你又能

8、得出什么结论呢 . 生 A 的对边与邻边的比只与A 的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关 . 也就是说,当直角三角形中的一个锐角确定以后,它的对边与邻边之比也随之确定 . 师 这位同学回答得很棒,现在我们再返回去看一下小明和小亮的做法,你作何评判 . 生 小明和小亮的做法都可以说明梯子的倾斜程度,由于图中直角三角形中的锐角 A 是确定的,因此它的对边与邻边的比值也是唯独确定的,与 B1、B2在梯子上的位置无关,即 与直角三角形的大小无关 . 生 但我觉得小亮的做法更实际,由于要测量 B1C1 的长度,需攀到梯子的最高端,危急并且复杂,而小亮只需站在地面就可以完成 . 师 这位同学能将数

9、学和实际生活紧密地联系在一起,值得提倡 . 我们学习数学就是为了更好地应用数学 . 由于直角三角形中的锐角A确定以后,它的对边与邻边之比也随之确定,因此我们有如下定义：多媒体演示 A 确定,那么A的对边与邻边之比便随之确如图,在Rt ABC中,假如锐角定,这个比叫做A的正切 tangent,记作 tanA ,即A 的对边 tanA=A 的邻边 . 留意： 1.tanA是一个完整的符号,它表示A的正切,记号里习惯省去角的符号“ ” . 2.tanA 没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中A 的对边与邻边的比 . 3.tanA 不表示“tan ” 乘以“A” . 4. 中学阶段,我们只学习直角三

10、角形中,A 是锐角的正切 . 摸索： 1. B 的正切如何表示 .它的数学意义是什么 . 2. 前面我们争论了梯子的倾斜程度,课本图 13,梯子的倾斜程度与 tanA 有关系吗 . 生1. B 的正切记作tanB,表示B 的对边与邻边的比值,即B 的对边 tanB= B 的邻边 . 2. 我们用梯子的倾斜角的对边与邻边的比值刻画了梯子的倾斜程度,因此,在图 1 3 中,梯子越陡,tanA 的值越大；反过来,tanA 的值越大,梯子越陡 . 师 正切在日常生活中的应用很广泛,例如建筑,工程技术等 . 正切常常用来描述山坡的坡度、堤坝的坡度 . 如图,有一山坡在水平方向上每前进 100 m,就上升

11、 60 m,那么山坡的坡度 即坡角 的正切 tan 就是60 3tan = 100 5 . 这里要留意区 分坡度和坡角 . 坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度 . 坡度越大,坡面就越陡 . . 例题讲解多媒体演示 例 1 如图是甲,乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡. tan 、tan 的分析：比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡,只需分别求出值,比较大小,越大,扶梯就越陡 . 解：甲梯中, tan = 的对边135525. 的邻边212乙梯中 tan =的对边63. 的邻边84由于 tan tan ,所以乙梯更陡 . 例 2 在 ABC中, C=90 , BC=12cm,AB=20

12、cm, 求 tanA 和 tanB 的值 . 分析：要求tanA,tanB 的值,依据勾股定理先求出直角边AC的长度 . 解：在 ABC中, C90 ,所以 AC=AB2BC2202122=16cm, A 的对边BC123,tanA=A 的邻边AC164B 的对边AC164.tanB=B 的邻边BC12334. 所以 tanA=4, tanB=3随堂练习 1. 如图, ABC 是等腰直角三角形,你能依据图中所给数据求出 tanC 吗. 分析：要求tanC. 需从图中找到C所在的直角三角形,由于BDAC,所以BDC 在 Rt B DC中. 然后求出C 的对边与邻边的比,即DC的值 . 解： AB

13、C是等腰直角三角形, BDAC,11 =15.1. 2.如图,某人从山CD2AC2 3 1.5. BD在 Rt BDC中, tanC DC15.脚下的点 A走了 200m后到达山顶的点 B,已知点B到山脚的垂直距离为 55 m,求山的坡度 . 结果精确到 0.001 分析：由图可知,A 解：依据题意：是坡角,A 的正切即 tanA 为山的坡度 . 在 Rt ABC中, AB=200 m, BC55 m,AC=200255251479538. 46=192.30m. TanA=BC550 .286 .AC192 .30所以山的坡度为0.286. . 课时小结 本节课从梯子的倾斜程度谈起,经受了探

14、究直角三角形中的边角关系,得出了 在直角三角形中的锐角确定之后,它的对边与邻边之比也随之确定,并以此为基础,在“Rt ” 中定义了tanAA 的对边. A 的邻边接着,我们争论了梯子的倾斜程度,工程中的问题坡度与正切的关系,明白了正切在 现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念 . . 课后作业 1. 习题 1.1 第 1、2 题 . . 2. 观看学校及邻近商场的楼梯,哪个更陡 . 活动与探究 江苏盐城 如图, Rt ABC 是一防 洪堤背水坡的横截面 图,斜坡 AB的长为12 m,它的坡角为45 ,为了提高该堤的防洪才能,现将背水坡改造成坡比为1：1.5 的斜坡 AD,求 DB的长

15、. 结果保留根号 过程 要求 DB的长,需分别在 Rt ABC 和 Rt ACD 中求出 BC 和 DC.依据题意,在 Rt ABC 中, ABC=45 ,AB 12 m ,就可依据勾股定理求出 BC；在Rt ADC中,坡比为 1：1.5 ,即 tanD=1：1.5 ,由 BCAC,可求出 CD. 结果 依据题 意,在 Rt ABC中, ABC=45 ,所以 ABC 为等腰直角三角形 .设 BC=ACxm,就 x2+x2122, x=62 ,所以 BCAC=62. 6AC1, CD-BC92-在 Rt ADC中, tanD=CD15.621即CD.1 5CD=92. 所以DB2 =32 m.

16、板书设计 1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起 一 1. 当直角三角形中的锐角确定之后,它的对边与邻边之比也随之确定 . 2. 正切的定义：在 Rt ABC中,锐角 A 确定,那么A 的对边与邻边的比随之确定,这个比叫做A 的正切,记作 tanA,即A 的对边tanA A 的邻边. 程度,是坡角的正切nA的值越大 . 梯子越陡 . 注： 1ta2 坡度通常表示斜坡的倾斜. 坡度越大,坡面越陡. 3. 例题讲解 略 4. 随堂练习5. 课时小结备课资料 例 1 浙江沼兴 如某人沿坡度 i 3： 4 的斜坡前进 10 米,就他所在的位置比原先的位置上升 _米. 分析：依据题意 如图 ：在 Rt ABC中 AC：BC3