溶液浓度的变化

1、设水箱里盛有体积为V（单位为L）、浓度为n0（单位为kg/L）的盐水，一个进水管，一个出水管，打开阀门时，进水的速率和出水速率q2（单位为L/min）.现在同时打开进水管和出水管的阀门，进水管注入的盐水浓度为叫，出水管盐水浓度n，经过一段时间，把阀门同时关闭，问此时水箱中盐水浓度是多少？解：设t时刻容器中含盐量为x,盐水体积为V+（q-q2）tT浓度为xn=V+（q-q）t12经过dt,在t+dt时刻，含盐量增加dX=（qn-qn）dt12qini-纽表示单位时间内进入容器的盐净含量；代入dx二qn-qdt112V+(q-q)t12初始条件x(0)=x0=n0V解此初值问题得到t时刻含盐量：x

2、(t)=n(V+(q一q)t)+(x一nV)0112r尊q2V+(q一q)t丿12盐水浓度n(t)二x(t)V+S1-q2)t-n(t)=n+(n-n)01,q1-q2V+(q一q)t丿12qi-q2=V+(qq)t丿12q1=q2=q，有n(t)=n1+(n0一n1)eyt、t(q1-q2)t丿幻tV牛吋qe-Vt弓对于特殊情况d孕汕zh(O)=mQ朗-15一一的）F+（q2两个桶如图6.Z1所示连接在一起*初始时桶A中有200升溶解了60克盐的水，桶B中有200升纯水.藏体以如图所示的速度泵入和泵出两个桶.求每一时刻心每个桶中L的含量.解：对A、B,设t时刻盐含量分别为x、y,进出流量按照

3、题设分别为q1=15L/L,q2=5L/min,q3=20L/min,此刻A、B中盐水浓度xn二1V+(q+q-q)t1123yV+(q一q一q)t2312经过一段极短的时间dt,含盐量增量分别变为:dx=(qn一qn)dt231dy=(qn一(q+q)n)dt1122代入数值条件：dxdt1040dydt1010初始条件：x(0)=60g,y(0)=0 x(t)=30e-0-05t+e-o.i5ty(t)=60(e-0.051一e-o.i5t解这个初值问题得到x(t)、y(t)分别为A、B在任一时刻t含盐量。浓度：将代入得到f()3(n(t)=Ve-oi20()3(n(t)=Ve-oI210

4、.ot升e-.0t5-e-轲题二i一容器内盛入盐水100A含盐孔莒。然后将含有2g“的盐水流入容器内.流量为3/Jmm.设渍入盐水与原有盐水搅拌而成均匀混合物。同时.此混合物戈以2血的流屋流出乜试求30mm时*容器内所含的盐量.若以同样的流量方刑的是淡水，则在30血(1时.容器内还剰下多少镒代入：x(t)=n(V+(q一q)t)+(x一nV)11201VV+(qq)t12V=100L,x0=50g,n1=2g/L,q1=3L/min,q2=2L/min,t=30min解得：此刻的含盐量x(30)=171.24g赵人器内有盐水100升，含柚:鼠为帝(千克人现以3升/分的流瓏谎进浓度为M克/升的擒

5、水，同时以同样的流連将混合均匀疳的桃水排岀问岡分佔容器内含啟fftZSJT+B时，容器内席盐爲.解：设t时刻盐水浓度为n(t)=n，在时间dt内，浓度的变化为dn=(n1-n)udt/V;V=100L,n1=0.01kg/L,u=3L/min；(n1-n)udt表示在dt内，盐水中纯盐的减小，推出dnu=dtkdtk=u/V=0.03/sn-nV1dnVd(n-n)=dtkdt?上n-nun-n11-kdt?ln(nn)=-kt+c1n=n+n(0)e-kt1代入n(0)=0.05kg/L,nO.Olkg/L，解得C=0.04kg/L:n=0.01+0.04e-0.03t(kg/L)含盐量m=

6、nV=m=1+4e-o.o3t(kg)代入t=30min解得m(30)=2.626kg根据结果v3,当t8时，盐水浓度nO.Olkg/L，容器含盐量m=nV=1kg.!解：盐水总体积V保持不变，进出盐水的流速u=3L/min。进入盐水的浓度为c0=O.O1kg/L；t时刻的浓度c=c(t)初始的含盐量m0=5kg；t时刻的含盐量m=m(t)符合m=m+(c-c)ut00?cm+cut00V+ut当t=30min时，代入解得：c=59/1900kg/L=3.105%(kg/L),含盐量m(30)=cV=3.105kgm/t+cu由v3c=00当tfg时cc=0.01kg/L，含盐量m(w)fCc

7、V=1.00kg.TOC o 1-5 h zV/t+u00浓度对时间的变化率dcu(c-c)=0uc0表示单位时间里进入容器的纯盐,uc表示单位时间里从容器流出dtV0的纯盐，V=100L，u=3L/min，c0=0.01kg/Ldcu(c-c)dcud(c-c)u=0?dt?0-dtdtVc-cVc-cV00?ln(cc)=-kt;k=u/V0c=c+be-kt0代入c0=0.01kg/L,k=u/V,u=3L/min；V=1OOL=k=-O.O3/s；当t=0时，c=m0/V=O.O5kg/L解得b=0.04kg/Lc=0.01+0.04e-o.o3t代入t=30min得c=0.02626

8、kg/L=含盐量m=cV=2.626kg从v3可知，当时间趋于无穷时，当tfg时cfc0=O.O1kg/L，含盐量m(g)fc0V=1.OOkg.一容器在开始时盛有盐水100升，其中含净盐10公升，然后以每分钟3升的速率注入清水，同时又以每分钟2升的速率将冲淡的溶液放出，容器中装有搅拌器，使容器中的溶液保持均匀，求过程开始后1小时溶液的含盐量解：t=0时，容器中纯盐为10L，初始浓度n(0)=10%；设t时刻盐水浓度为n，从t时刻到t+dt时刻，盐水体积100+t，浓度变化为dn，(100+t)dn表示dt内容器中纯盐量的减小2ndt:(100+t)dn=-2ndt?dn=0?Inn(100t

9、)2=cn100+tn(100+t)2=Cn(0)=0.1;1000=C?n00?mn(100+t)=1000(100+t)2100+tt=60min代入m=1000/160L=50/8L=6.25L微分方程应用题(2015.10.12)举报|今天09:03昊南俊|浏览19次悬赏：100学习理工学科数学一个水箱有100L水，入水口入水0.5千克盐/升水以2L/分钟的速率进入水箱，出水口以2L/min的速率流出混合后的盐水，10分钟后入水口和出水口都停止。此时流入水2L/min,出水2L/min,求10分钟后水箱内的盐的质量。提示：1.设盐含量为Q,则Q=.2要求出常数C等于多少。3.答案约定于7.4公斤盐希望大神给出详细过程！谢谢！解：设t时刻水箱中盐水浓度为n=n(t)，初始条件为n(0)=0；在时间dt内，浓度增加dn,增加的盐水质量为n0*udt,减少的盐水质量为=n*udt,所以盐水的浓度增加dn=(n-ndt0V其中佗=0.5kg/L为入水口进入盐水的浓度，n为出水口流出盐水的浓度，u=2L/min表示入水口和进水口的流速,V=100L为水箱中不变的盐水的体积,u(n0-n)dt表示在dt时间内，水箱中盐的质量增加，与总体积的比值为浓度的增加令k=u/V=0.02/min,整理上述微分方程得到d(n-n)0=-kdt