2023年高三复习专项练习：第48练　数列的概念

1、专题6数列第48练数列的概念考点一由an与Sn的关系求通项公式1(2022长春外国语学校模拟)已知数列an的前n项和为Sn，当Snn2n时，a5等于()A20 B12 C8 D4答案C解析由题意知，a5S5S420128.2(2022郑州模拟)若数列bn满足：b13b27b3(2n1)bn2n，则数列bn的通项公式为()Abn2n1 Bbn2n1Cbneq f(1,2n1) Dbneq f(2,2n1)答案D解析由题意知b13b27b3(2n1)bn2n，当n1时，b13b27b3(2n11)bn12n2，由得，(2n1)bn2bneq f(2,2n1).当n1时，b1212也满足上式，即bn

2、eq f(2,2n1).3设Sn是数列an的前n项和，已知a13，an12Sn3(nN*)，则an_.答案3n解析a13，an12Sn3(nN*)，当n2时，由an12Sn3，得an2Sn13，两式相减，得an1an2Sn2Sn12an，an13an，eq f(an1,an)3，当n1时，a13，a22S132a139，则eq f(a2,a1)3.数列an是以3为首项，3 为公比的等比数列，an33n13n.考点二由数列的递推关系求通项公式4(2022南昌十中模拟)在数列an中，a12,2an12ann，则a9等于()A20 B30 C36 D28答案A解析因为a12,2an12ann，所以a

3、n1aneq f(n,2)，所以a9(a9a8)(a8a7)(a2a1)a1，所以a9eq f(8,2)eq f(7,2)eq f(1,2)2eq f(1278,2)2eq f(1,2)eq f(188,2)220.5已知数列an满足a1eq f(1,3)，aneq f(2n3,2n1)an1(n2，nN*)，则数列an的通项an等于()A.eq f(1,4n21) B.eq f(1,2n21)C.eq f(1,2n12n3) D.eq f(1,n1n3)答案A解析由数列an满足a1eq f(1,3)，aneq f(2n3,2n1)an1(n2，nN*)，整理得eq f(an,an1)eq f

4、(2n3,2n1)，eq f(an1,an2)eq f(2n5,2n1)，eq f(a2,a1)eq f(1,5)，所有的项相乘得eq f(an,a1)eq f(13,2n12n1)，整理得，aneq f(1,4n21).6数列an满足：a11，且an1an2n1，则an_.答案2nn2解析因为an1an2n1，所以anan12n11，an1an22n21，an2an32n31，a4a3231，a3a2221，a2a1211，将上述式子相加可得，ana12222n1(n1)eq f(212n1,12)n12nn3，因为a11，所以an2nn2，故数列an的通项公式为an2nn2.考点三数列的性

5、质7已知数列an满足anan1n2tn，则“t0”是“数列an为递增数列”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析若数列an是递增数列，则anan1n2tn0，即n(nt)0，由于nN*，所以nt0对任意的nN*成立，所以t1.由于eq blcrc)(avs4alco1(0，)(1，)，故“t0”是“数列an为递增数列”的充分不必要条件8(多选)(2022河北衡水中学模拟)已知数列an满足annkn(nN*,0k1)，下列命题正确的有()A当keq f(1,2)时，数列an为递减数列B当keq f(4,5)时，数列an一定有最大项C当0keq f(1,2

6、)时，数列an为递减数列D当eq f(k,1k)为正整数时，数列an必有两项相等的最大项答案BCD解析当keq f(1,2)时，a1a2eq f(1,2)，A错误；当keq f(4,5)时，eq f(an1,an)eq f(4,5)eq f(n1,n)，当n1，当n4时，eq f(an1,an)1，所以可以判断an一定有最大项，B正确；当0keq f(1,2)时，eq f(an1,an)keq f(n1,n)keq f(1,2)，当keq f(1,2)时，a1a2a3a4，当1keq f(1,2)时，令eq f(k,1k)m，mN*，解得keq f(m,m1)，则eq f(an1,an)eq

7、f(mn1,nm1)，当nm时，an1an，结合选项B，数列an必有两项相等的最大项，故D正确9已知数列an满足a128，eq f(an1an,n)2，则eq f(an,n)的最小值为()A.eq f(29,3) B. 4eq r(7)1C.eq f(48,5) D.eq f(27,4)答案C解析由an1an2n知，a2a121，a3a222，anan12(n1)，将上述式子相加得，ana1n2n，ann2n28，eq f(an,n)neq f(28,n)1，函数f(x)xeq f(28,x)1在(0,2eq r(7)上单调递减，在(2eq r(7)，)上单调递增，又xN*，而52eq r(7

8、)6，且eq f(a5,5)eq f(48,5)eq f(29,3)eq f(a6,6)，eq f(an,n)的最小值为eq f(48,5).10设Sn是数列an的前n项和，若a1eq f(1,2)，an11eq f(1,an)，则S2 023_.答案eq f(2 023,2)解析在数列an中，a1eq f(1,2)，an11eq f(1,an)，则a21eq f(1,a1)1，a31eq f(1,a2)2，a41eq f(1,a3)eq f(1,2)，以此类推可知，对任意的nN*，an3an，即数列an是以3为周期的周期数列，2 02336741，因此，S2 023674S3a1674eq

9、blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)12)eq f(1,2)eq f(2 023,2).11(多选)斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例作图规则是在以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形中的每个正方形里面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线它来源于斐波那契数列，又称为黄金分割数列现将斐波那契数列记为an，a1a21，anan1an2(n3)，边长为斐波那契数an的正方形所对应扇形面积记为bn(nN*)，则()A3anan2an2(n3)Ba1a2a3a2 021a2 02

10、31C.eq f(,4)(b2 023b2 022)a2 021a2 024Db1b2b3b2 022eq f(,4)a2 022a2 023答案AD解析由递推公式anan1an2(n3)，可得an2an1an2anan1，an2anan1，所以an2an22anan1anan13an(n3)，A选项正确；又由递推公式可得a11，a2a3a1，a3a4a2，类似的有anan1an1(n2)，累加得a1a2a3ananan1a2an21，故a1a2a3a2 021a2 0231，B选项错误；由题可知扇形面积bneq f(,4)aeq oal(2,n)，故bnbn1eq f(,4)(aeq oal

11、(2,n)aeq oal(2,n1)eq f(,4)(anan1)(anan1)eq f(,4)an1an2，故b2 023b2 022eq f(,4)a2 021a2 024，C选项错误；由anan1an2(n3)，得aeq oal(2,1)a2a1，aeq oal(2,2)a2a2a2(a3a1)a3a2a2a1，aeq oal(2,3)a3a3a3(a4a2)a4a3a3a2，类似的有aeq oal(2,n)ananan(an1an1)an1ananan1，累加得aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,3)aeq oal(2,n)aeq oal(2,1)(a3

12、a2a2a1)(a4a3a3a2)(an1ananan1)an1an，又bneq f(,4)aeq oal(2,n)，所以b1b2b3bneq f(,4)(aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)aeq oal(2,3)aeq oal(2,n)eq f(,4)an1an，所以b1b2b3b2 022eq f(,4)a2 022a2 023，D选项正确12设x表示不超过x的最大整数，如3.144，3.143.已知数列an满足：a11，an1ann1(nN*)，则eq blcrc(avs4alco1(f(1,a1)f(1,a2)f(1,a3)f(1,a2 023)等于()A1 B2 C3

13、D4答案A解析由an1ann1，得anan1n(n2)又a11，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1n(n1)(n2)21eq f(nn1,2)，则eq f(1,an)eq f(2,nn1)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,n)f(1,n1).所以eq f(1,a1)eq f(1,a2)eq f(1,a2 023)2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2)f(1,2)f(1,3)f(1,2 023)f(1,2 024)2eq blc(rc)(avs4alco1(1f(1,2 024)eq f(4 046,2 024).所以eq blcrc(a

14、vs4alco1(f(1,a1)f(1,a2)f(1,a2 023)eq blcrc(avs4alco1(f(4 046,2 024)1.13设f(n)为正整数n(十进制)各位数上数字的平方和，例如f(123)12223214，记a1f(n)，ak1f(ak)，k1,2,3,4，若n2 021，则a2 021_.答案37解析a1f(2 021)4419，a2f(9)81，a3f(81)65，a4f(65)61，a5f(61)37，a6f(37)58，a7f(58)89，a8145，a942，该数列从第5项开始是周期为8的周期数列，a2 021a537.14若数列an满足eq f(1,a1)eq f(1,2a2)eq f(1,3a3)eq f(1,nan)eq f(3n,2n1)，若eq f(,an)2恒成立，则的最大值是_答案2解析由题意得eq f(1,a1)eq f(1,2a2)eq f(1,3a3)eq f(1,nan)eq f(3n,2n1)，eq f(1,a1)eq f(1,2a2)eq f(1,3a3)eq f(1,n1an1)e