怎样求点到平面的距离

1、怎样求点到平面的距离徐加生在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离。本文总结几种求点到平面距离的常用方法，供参考。一直接法根据空间图形的特点和性质，找到垂足的位置，直接向平面引垂线，构造可解的直角三角形求解。例1. （1998年全国高考题）已知斜三棱柱 ABC A1B1cl的侧面A1ACC1与底面ABC 垂直， ABC 90 ,BC 2,AC 2杂，且 AA 1 A1C,AA1 A 1C ； （I）求侧棱 A1A 与底 面ABC所成角的大小；（II）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角的大小；（III）

2、求顶点C 到侧面A1ABB1的距离。4 G图1简析：（I）如图1,取AC中点D,易得侧棱AA1与底面ABC所成的角为 A1AD 45。（II）由于 A1D 底面 ABC,过 D 作 DE AB 于 E,连 A 1E ,知 A1E AB ,则 A1ED 为所求二面角的平面角。易求得A1ED 60。（III）要求C到平面A1ABB1的距离，可直接作 CH 面A1ABB1于H , CH的长就是点 到平面的距离。关键是怎样求CH的长。注意到 BC AB ,连BH,则由三垂线定理得HB AB ,即 HBC为二面角的平面角。由（II）知 HBC 60，所以CH BCsin60 3 为所求。注：此法的关键是

3、要找到可解的直角三角形来求解。二.找垂面法找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到 平面的垂线段。例2.正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为 质，AiCi的中点为D。（1）求证BC1 平面AB1D ; （2）求点B到平面AB1D的距离。AB简析：（1）连A1B与AB1相交于O,连DO。由三角形中位线定理易得 BC/OD,则 BC1 /面ABD。（2）由于。为AB的中点，所以点 B到平面ABD的距离等于点 A1到平面八8户的 距离。由 B1D A1C1,得 B1D 面 A1ACC1,又 B1D 面 ABD,所以面 ABD 面 A1ACC1, 交

4、线为AD （找到了垂面）。过A1作A1H AD于H,则A1H 面ABD ,所以AH的长度就是点 A1到平面ABD 的距离。在 Rt A1AD 中，A1HA1D A1AAD所以点B到平面八81口的距离为.转化法当由点向平面引垂线发生困难时，可利用线面平行或面面平行转化为直线上（平面上）其他点到平面的距离。例3. （1991年全国高考题）已知 ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的 中点，GC垂直于ABCD所在平面，且 GC=2,求点B到平面EFG的距离。简析：如图3 ,连AC分别与BD相交于O ,与EF相交于H ,由EFGCHRt GCH OK GH OK 21 T E 8 等积法

5、11即利用三棱锥的换底法，通过积体计算得到点到平面的距离.本法具有设高不作高的特殊功效，减少了推理，但计算较为复杂。例4.同例3。简析：设B到面EFG的距离为h,VB GEF TS GEF h3，一1由于 S GEF 1 EF GH 2所以 VB GEF11h3另一方面，VB GEF V（2 2 . 22 (344、2)2 J1BEFGC SBEF2 -SBAD所以 2.11h 4, 332.11得h 即为B到平面 GEF的距离。11五.坐标向量法通过建立空间直角坐标系，用空间向量求模长的知识可求得点到平面的距离。例5. (2003年江苏高考题)如图 4,在直三棱柱 ABC A1B1c1中，底

6、面是等腰直角三角形，ACB 90 ,侧棱AA1 2, Dk E分别是CC1与A1B的中点，点 E在平面 ABD上的射影是 ABD的重心Go (I)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数表示)；(II)求点A1到平面AED的距离。图4a, 1),2a 2a 1G(T,T,3)简析：(I)易知 GBE为A1B与平面ABD所成的角。不难求出GBE arcsin o34所示的空间直角坐标系。(II)分别以CA、CR CC1为x轴、y轴、z轴，建立如图A1 (2a, 0, 2), E (a,设 |CA | 2a ,贝U A (2a, 0, 0), B (0, 2a, 0) , D (0, 0, 1),所以 GE (a,a,2),BD (0, 2a,1) 3 3,2 o 2.由 GE BD a 0 , 33解得a 1。所以A (2,0, 0),A1 (2, 0, 2), E (1, 1,1)易证平面AED 平面AAiE,交线为AE,所以点Ai在平面A