高等数学第九章第六节《多元函数微分学的几何应用》课件

1、第六节 多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线多元函数微分学的几何应用一、一元向量值函数及其导数二、空间曲线的切线与法平面三、曲面的切平面与法线一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例引入空间曲线的参数方程映射一元向量值函数定义设数集则称映射为一元向量值函数，通常记为：因变量自变量定义域注(1)一元向量值函数是一元函数的推广一元函数一元向量值函数自变量因变量实数

2、值实数值实数值n维向量(2)这里只研究n=3的情形表示法在中,若向量值函数的三个分量函数依次为则向量值函数可表示为或图形xyzOMr设当t 改变时,终点M的轨迹(记作曲线称为向量值函数的终端曲线，曲线也称为向量值函数的图形一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例定义设向量值函数在点的某一去心邻域内有定义,如果存在一个常向量对于任意给定的正数总存在正数使得当t 满足时,对应的函数值都满足:那么,常向量就叫做向量值函数当时的

3、极限，记作或注向量值函数当时的极限存在的充要条件:的三个分量函数当时的极限存在,且有:定义注向量值函数在连续的充要条件:设向量值函数在点的某一邻域内有定义,若则称向量值函数在连续.的三个分量函数都在连续.定义设向量值函数若在中的每一点都连续，则称在上连续,并称为上的连续函数.一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例定义设向量值函数在点的某一邻域内有定义,如果存在,那么就称这个极限向量为向量值函数在处的导数或导向量,记作或

4、注的三个分量函数都在可导.向量值函数在可导的充要条件:当在可导时,设向量值函数若在中的每一点都存在导向量在上可导.那么就称运算法则(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)设可导,是常向量,是任一常数，则几何意义xyzOr割向量向量向量值函数的终端曲线为空间曲线割向量切向量与t 的增长方向一致与t 的增长方向相反与t 的增长方向一致与t 的增长方向一致向量值函数的终端曲线在点M处的一个切向量,其指向与t 的增长方向一致.MN指向设一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例一、一元向量值函数及其导数（一）向量值函数的概念（二）向量

5、值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例例1设求例2例3(1)滑翔机在任意时刻t 的速度向量和加速度向量;(2)滑翔机在任意时刻t 的速率;(3)滑翔机的加速度与速度正交的时刻.设空间曲线的向量方程为求曲线在与相应的点处的单位切向量.一个人在悬挂式滑翔机上由于快速上升气流而位置向量为的路径螺旋式向上.求复习: 平面曲线的切线与法线已知平面光滑曲线切线方程法线方程若平面光滑曲线方程为故在点切线方程法线方程在点有有因 一、空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法位置.空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限平面.1. 曲线方程为参数方程的情况切线方程此处

6、要求也是法平面的法向量,切线的方向向量:称为曲线的切向量 .如个别为0, 则理解为分子为 0 .不全为0, 因此得法平面方程 说明: 若引进向量函数 , 则 为 r (t) 的矢端曲线, 处的导向量 就是该点的切向量.例1.求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程.切线方程法平面方程即即解: 由于对应的切向量为在, 故2. 曲线为一般式的情况光滑曲线当曲线上一点, 且有时, 可表示为处的切向量为 则在点切线方程法平面方程有或例2. 求曲线在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解: 方程组两边对 x 求导, 得曲线在点 M(1,2, 1) 处有:切向量解得切线方程即法平面方

7、程即点 M (1,2, 1) 处的切向量二、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点对应点 M,切线方程为不全为0 . 则 在且点 M 的切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为 在该点的切平面. 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都在同一平面上. 证:在 上,得令由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量的平面上 ,从而切平面存在 .曲面 在点 M 的法向量法线方程切平面方程曲面时, 则在点故当函数 法线方程令特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时, 切平面方程法向量用将法向量的方向余弦：表示法向量的方向角,并假定法向量方向分别记为则向上,例3. 求球面在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解:所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程 即法线方程法向量令例4. 确定正数 使曲面在点解: 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故又点 M 在球面上,于是有相切.与球面, 因此有1. 空间曲线的切线与法平面 切线方程法平面方程1) 参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2) 一般式情况.空间光滑曲面曲面 在点法线方程1) 隐式情况 .的法向量切平面方程2. 曲面的切平面与法线空间光滑曲面切平面方程法线方程2) 显式情况.法线的方向余弦法向量思考