三角函数公式大全关系

1、本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！三角函数公式大全关系：倒数tan a cot a=1sin a CSC o=1cos a seca=1商的关系：sin a/cos a=tan a=sec a/csc acos a/sin a=cot a=csc a/sec a平方关系：sinA2( o)+c0sA2( o)=11+tanA2( o)=secA2( a)1+cotA2( o)=cscA2( a)平常针对不同条件的常用的两个公式sinA2( a)+cosA2( o)=1tan a *cot a=1一个特殊公式(sina+sin 0) * (sina-sin 0) =sin (a+ 0) *si

2、n (a- 0)证明：(sina+sin 0) * (sina-sin 0) =2 sin( (+a)/2 cos(a- 0)/2 *2 cos( 0+a)/2 sin(a- 0)/2=sin (a+ 0) *sin (a- 0)坡度公式我们通常半坡面的铅直高度h 与水平高度l 的比叫做坡度(也叫坡比)， 用字母 i 表示，即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角),那么i=h/l=tan a.锐角三角函数公式正弦：sin a=/ a的对边/ a的斜边余弦：cos a= / a的邻边/ a的斜边正切：tan a= / a的对边/

3、 a的邻边余切：cot a= / a的邻边/ / a的对边二倍角公式正弦sin2A=2sinA cosA余弦1.Cos2a=C0sA2(a)-SinA2(a)2.Cos2a=1-2SinA2(a)3.Cos2a=2CosA2(a)-1即 Cos2a=CosA2(a)-SinA2(a)=2CosA2(a)-1=1-2SinA2(a)正切tan2A= (2tanA) / ( 1-tanA2(A) )三倍角公式sin3 a=4sin a sin(兀/3+ a)sin(兀/3-公cos3 a=4cos a C0s( B3+ a)cos(兀/3- a)tan3a = tan a - tan(兀/3+a)

4、 - tan(兀/3-a)三倍角公式推导sin(3a)=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin 2a)+(1-2sin 2a)sina=3sina-4sinA3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-cosAa)cosa=4cosA3a-3cosasin3a=3sina-4sinA3a=4sina(3/4-sin 2a)=4sina(2sin2a=4sina(sin260-sin 2a)=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)

5、/2cos(60 -a)/2*2sin(60 -a)/2cos(60 -a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cosA3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosacos 2a-(铠/2r2=4cosa(cos2a-cos230)=4cosa(cosa+cos30 )(cosa-cos30)=4cosa*2cos(a+30 )/2cos(a-30 )/2*-2sin(a+30 )/2sin(a-30 )/2=-4cosasin(a+30 )sin(a-30)=-4cosasin90 -(60-a)sin-90 +(60+a)=-4cosacos(

6、60 -a)-cos(60 +a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得tan3a=tanatan(60 -a)tan(60 +a)现列出公式如下：sin2 a=2sin acos a tan2 a=2tan o/(1-tanA2( o)cos2a=cosA2( o)-sinA2( a)=2cosA2( a)-1=1-2sinA2( a)可别轻视这些字符，它们在数学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题和函数问题中三倍角公式sin3 a=3sin a-4sinA3( a)=4sin a sin(兀/3+ o)sin(兀/3- a)cos3 a=4C0SA3( a)-3

7、cos a=4cos a COS(兀/3+ a)COS(兀/3-)tan3 a=tan( a)*(-3+tan( o)A2)/(-1+3*tan( o)A2)=tan a - tan(兀/3+a) - tan(兀/3-a)半角公式sinA2( o/2)=(1-cos a)/2cosA2( o/2)=(1+cos o)/2tanA2( o/2)=(1-cos o)/(1+cos )tan( o/2)=sin M(1+cos o)=(1-cos o)/sin a万能公式sina=2tan( M2)/1+tanA2( /2) cos a=1-tanA2( /2)/1+tanA2( o/2)tan a

8、=2tan( o/2)/1-tanA2( o/2)其他sin a+sin(o+2：t/n)+sin(a+2兀*2/n)+sin(a+2兀*3/n)+sino+2Tt*(n-1)/n=0本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!cos o+cos( a+27t/n)+cos(o+2兀*2/n)+cos(a+2兀*3/n)+cosa+2Tt*(n-1)/n=0以及sir1A2( o)+sinA2( a-2 兀/3)+sinA2( a+2 兀/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式sin4A=-4*(cosA*s

9、inA*(2*sinAA2-1) cos4 A=1+(-8*cosAA2+8*cosAA4)tan4A=(4*tanA-4*tanAA3)/(1-6*tanAA2+tanAA4)五倍角公式sin5A=16sinAA5-20sinAA3+5sinA cos5A=16cosAA5-20cosAA3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanAA2+tanAA4)/(1-10*tanAA2+5*tanAA4)六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinAA2)cos6A=(-1+2*cosAA2)*(16*cosAA4-16*

10、cosAA2+1)tan6A=(-6*tanA+20*tanAA3-6*tanAA5)/(-1+15*tanAA2-15*tanAA4+tanAA6)七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinAA2-112*sinAA4-7+64*sinAA6)cos7A=(cosA*(56*cosAA2-112*cosAA4+64*cosAA6-7)tan7A=tanA*(-7+35*tanAA2-21*tanAA4+tanAA6)/(-1+21*tanAA2-35*tanAA4+7*tanAA6)八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinAA2-1)*(-8*sinAA2+8*

11、sinAA4+1)cos8A=1+(160*cosAA4-256*cosAA6+128*cosAA8-32*cosAA2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanAA2-7*tanAA4+tanAA6)/(1-28*tanAA2+70*tanAA4-28*tanAA6+t anAA8) 九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinAA2)*(64*sinAA6-96*sinAA4+36*sinAA2-3)cos9A=(cosA*(-3+4*cosAA2)*(64*cosAA6-96*cosAA4+36*cosAA2-3)tan9A=tanA*(9-84*tanAA2+126*ta

12、nAA4-36*tanAA6+tanAA8)/(1-36*tanAA2+126*tanAA4-84*tanAA6+9*tanAA8)十倍角公式sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinAA2+2*sinA-1)*(4*sinAA2-2*sinA-1)*(-20*sinAA2+5+16*sinAA4)cos10A=(-1+2*cosAA2)*(256*cosAA8-512*cosAA6+304*cosAA4-48*cosAA2+1)tan10A=-2*tanA*(5-60*tanAA2+126*tanAA4-60*tanAA6+5*tanAA8)/(-1+45*tanAA2-210*t

13、a nAA4+210*tanAA6-45*tanAA8+tanAA10)N 倍角公式根据棣美弗定理，(cos 0+ i sin 8)An = cos(n 8)+ i sin(n 0)为方便描述，令 sinks, cos 0=c 考虑 n 为正整数的情形：cos(n 0)+ i sin(n 0) = (c+ i sn = C(n,0)*cAn + C(n,2)*cA(n-2)*(i s2 + C(n,4)*cA(n-4)*(i s4+ . +C(n,1)*cA(n-1)*(i s)A1 + C(n,3)*cA(n-3)*(i s)A3 + C(n,5)*cA(n-5)*(i s)A5 + . =

14、 比较两边的实部与虚部 实部：cos(n 0)=C(n,0)*cAn + C(n,2)*cA(n-2)*(i s2 + C(n,4)*cA(n-4)*(i s4 + .i*(虚部)：i*sin(n 9)=C(n,1)*cA(n-1)*(i sfi + C(n,3)*cA(n-3)*(i s3 + C(n,5)*cA(n-5)*(i s5 + .对所有的自然数n, 1. cos(n8):公式中出现的s都是偶次方，而sA2=1-cA2(平方关系)，因此全部都可以改成以c他就是cos 8)表示。2. sin(n耻(1)当n是奇数时：公式中出现的c都是偶次方，而cA2=1-sA2(平方关系)，因此全部

15、都可以改成以s(也就是sin 8)表示。(2)当n是偶数时： 公式中出现的 c 都是奇次方，而cA2=1-sA2( 平方关系)，因此即使再怎么换成s，都至少会剩c他就是cos 8)的一次方无法消掉。(例.cA3=c*cA2=c*(1-sA2)cA5=c*(cA2)A2=c*(1-sA2)A2)半角公式tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.sinA2(a/2)=(1-cos(a)/2cosA2(a/2)=(1+cos(a)/2tan(a/2)=(1-cos(a)/sin(a)=sin(a

16、)/(1+cos(a)和差化积sin 什sin d=2 sin( +-6/2 cos( 0-物/2sin 9-sin 小=2 cos(肝协 sin( 9- 6/2cos 什cos d=2 cos( + 6) cos( 0-物/2cos 0-cos 6=-2 sin(肝小) sin( 0-6)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1-tanAtanB)tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1-tanAtanB)两角和公式tan( a+ B)=(tan a+tan B)/(1-tan atan 份tan( a- B)=(tan

17、 a-tan B)/(1+tan dan B)cos( a+ 0=cos acos &sin osin Bcos( a-份=cos acos f-sin osin Bsin( a+ B)=sin acos B-cos osin Bsin( a- =sin acos B -cos asin 0积化和差sin osin 0 =-cos( a+ B)-cos( a-明 /2cos acos B = cos( a+ 0)+COS( a-份/2sin ocosB = sin( a+ B)+sin( o-份/2cos asin B = sin( a+ B)-sin( a-份/2双曲函数sh a = eAa

18、-eA(-a)/2ch a = eAa+eA(-a)/2th a = sin h(a)/cos h(a)公式一：设a为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin (2k 九+ a) = sin acos (2k 九+ a) = cos atan (2k 九+ a) = tan acot (2k 九+ a) = cot a公式二：设a为任意角，冗+a的三角函数值与a的三角函数值之间的关系:sin (九+ a) = -sin acos (九+ a) = -cos atan (九+ a) = tan acot (九+ a) = cot a公式三：任意角a与-a的三角函数值之间的关系:sin

19、（-a） = -sin acos （- a） = cos atan （- a） = -tan acot （- a） = -cot a公式四：利用公式二和公式三可以得到冗-a与a的三角函数值之间的关系:sin （兀-a） = sin acos （九-a） = -cos atan （九-a） = -tan acot （九-a） = -cot a公式五：利用公式-和公式三可以得到2九-a与a的三角函数值之间的关系:sin （2 冗-a） = -sin acos （2 冗-a） = cos atan （2 冗-a） = -tan acot （2 Tt- a） = -cot a公式六：冗/2 士汲3冗/

20、2 肩a的三角函数值之间的关系：sin （冗/2+ a） = cos acos （冗/2+ a） = -sin atan （兀/2+ a） = -cot acot （兀/2+ a） = -tan asin （九/2- a） = cos acos （九/2- a） = sin atan （九/2- a） = cot acot （九/2- a） = tan asin （3 冗/2+ a） = -cos acos （3 冗/2+ a） = sin atan （3 兀/2+ a） = -cot acot （3 兀/2+ a） = -tan asin （3九/2- a） = -cos acos （3冗/

21、2- a） = -sin atan （3 兀/2- a） = cot acot （3 兀/2- a） = tan a（以上kC Z）A sin（cot+ 0）+ B sin（wt+（）=M（A2+B2 +2ABcos（ 9-协-sin wt + arcsin （A sin 什B sin 协 / aAa2 +Ba2;+2ABcos（ 9-协、表示根号，包括中的内容三角函数的诱导公式（六公式）公式一sin（- o） = -sin acos（- a） = cos atan （- a）=-tan a公式二sin（九/2- a） = cos acos（九/2- a） = sin a公式三sin（冗/2+

22、 a） = cos acos（冗/2+ a） = -sin a公式四sin（兀-a） = sin acos（ TT- a） = -cos a公式五sin（九+ a） = -sin acos（ Tt+ a） = -cos a公式六tanA= sinA/cosAtan （兀/2+ a） = cot atan （九/2 a） =cot atan （ tt a） = tan atan （九+ a） =tan a诱导公式记背诀窍 ：奇变偶不变，符号看象限万能公式sin a=2tan（ /2）/1+（tan（ /2）Zcosa=1-(tan( o/2)Z/1+(tan( o/2)2tan a=2tan(

23、/2)/1-(tan( /2)2其它公式(1) (sin o)A2+(cos a)A2=1 (平方和公式)(2)1+(tan o)A2=(sec(3)1+(C0t a)A2=(CSC a证明下面两式，只需将一式，左右同除(sina)A2 ,第二个除(cosa)A2即可(4)对于任意非直角三角形，总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证：A+B=兀-Ctan(A+B)=tan( 兀-C)(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tan Tt-tanC)/(1+tan TttanC)整理可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC得证同样可以得证，当x+

24、y+z=n Mn C Z)时，该关系式也成立由 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 可得出以下结论(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)(7)(cosA)A2;+(cosB)A2+(cosC)A2=1-2cosAcosBcosC本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持!(8) (sinA)A2+(sinB)A2+(sinC)A2=2+2cosAcosBcosC其他非重点三角函数csc(a) = 1/sin(a)se

25、c(a) = 1/cos(a)(seca)A2+(csca)A2=(seca)A2(csca)A2幕级数展开式sin x = x-xA3/3!+xA5/5!-+(-1)A(k-1)*(xA(2k-1)/(2k-1)!+ o (- OGX 丐cos x = 1-xA2/2!+xA4/4!-+(-1)k*(xA(2k)/(2k)!+ (_ OGXV CXarcsin x = x + 1/2*xA3/3 + 1 *3/(2*4)*xA5/5 +(|x|1)arccosx=兀-(x + 1/2*xA3/3 + 1 *3/(2*4)*xA5/5 +)(|x|1)arctan x = x - xA3/3

26、+ xA5/5 -(x1)无限公式sinx=x(1-xA2/ 7tA2)(1-xA2/4 7tA2)(1-xA2/9 7tA2)cosx=(1-4xA2/ tta2)(1-4xa2/9 tta2)(1-4xa2/25 7rA2) tanx=8x1/( 7tA2-4xA2)+1/(97tA2-4xA2)+1/(25 7tA2-4xA2)+ secx=4 41/( tta2-4xa2)-1/(97tA2-4xA2)+1/(257rA2-4xA2)-+ (sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8 (1/4)tan 7t/4+(1/8)tan 兀/8+(1/16)tan W16+=1/ 兀a

27、rctan x = x - xA3/3 + xA5/5 -(x1)和自变量数列求和有关的公式sinx+sin2x+sin3x+sinnx=sin(nx/2)sin(n+1)x/2)/sin(x/2)cosx+cos2x+cos3x+cosnx=cos(n+1)x/2sin(nx/2)/sin(x/2)tan(n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+ +sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+ +cosnx)sinx+sin3x+sin5x+sin(2n-1)x=(sinnx)A2/sinxcosx+cos3x+cos5x+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)编辑本段内容规律三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。三角函数本质：根据右图，有sin 0=y/ r; cos 0=x/r; tan 0=y/x; cot 0=x/y。深刻理解