1978-1999年高考数学试题与答案

1、1978年试题注意事项:理工科考生要求除作（一）-（四）题和（七）题外,再由（五）、（六）两题中选作一题.文科考生要求作（一） -（四）题,再由（五）、（六）两题中选作一题;不要求作第（七）题.考生解题作答时,不必抄题.但须准确地写明题号,例如（一）2、（五）等.（一）1.分解因式:x2-4xy+4y2-4z2.2.已知正方形的边长为a.求侧面积等于这个正方形的面积、高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.已知方程kx2+y2=4,其中k为实数.对于不同范围的k值,分别指出方程所代表图形的类型,并画出显示其数 量特征的草图.（如图）AB是半圆的直径,C是半圆上一点,直线MN切半圆于C点,AMMN

2、于M点,BNMN于N点,CDAB于D点. 求证:1)CD=CM=CN;2)CD2=AMBN.已知log189=a(a2),18b=5.求log3645.（ 本 题 和 第 （ 六 ） 题 选 作 一 题 ） 已 知 ABC 的 三 内 角 的 大 小 成（六）已知 、 为锐角,且3sin2 +2sin2 =1,3sin2 -2sin2 =0.（七）（文科考生不要求作此题）已知函数y=x2+(2m+1)x+m2-1（m为实数）.m是什么数值时,y的极值是0?求证:不论m是什么数值,函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线l1上.画出m=-1、0、1时抛物线的草 图,来检验这个结论.平行于l1的直

3、线中,哪些与抛物线相交 ,哪些不相交 ?求证:任一条平行于l1而与抛物线相交的直线 ,被各抛 物线截出的线段都相等.11979年试题理工农医类1.若(z-x)2-4(x-y)(y-z)=0,求证:x,y,z成等差数列. 2.化简:甲、乙二容器内都盛有酒精.甲有公斤 1公斤，乙有 2公斤.甲中纯酒精与水(重量)之比为m1:n1,乙中纯酒精 与水之比为m2:n2.问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少?叙述并且证明勾股定理.外国般只 , 除特许者外, 不得进入离我海岸线 D以内的区城 .设A及B是我们的观测站 ,A及B间的距离为S,海岸线 是过A,B的直线.一外国船在P 点.在A站测得BAP

4、= ,同时在B 站测得ABP= .问 及 满足什么简单的三角函数值不等式,就应当向此未经特许的外国 船发出警告,命令退出我海城?6.设三棱锥V-ABC中,AVB=BVC=CVA=直角.求证 eq oac(,:)ABC是锐角三角形.美国的物价从 1939年的100增加到四十年后 1979年的500.如果每年物价增长率相同 ,问每年增长百分之几?( 注 意 : 自然对数 1nx 是以 e=2.718 为底的对数 . 本题中增长率 x0.1, 可用自然对数的近似公式 :ln(1+x) x. 取 lg2=0.3,ln10=2.3来计算).设CEDF是一个已知圆的内接矩形，过D作该圆的切线与CE的延长线

5、相交于点A,与CF的延长线相交于点B.9.试问数列前多少项的和的值是最大?并求出这最大值.(这里取lg2=0.301)10.设等腰OAB的顶角为2 ,高为h.(1)在OAB内有一动点P,到三边 OA,OB,AB的距离分别为PD,PF, PE 并且满足关系 PDPF =PE2.求P点的轨迹.2(2)在上述轨迹中定出点P的坐标,使得PD+PE=PF.1980年试题(理工农医类)一、将多项式x5y-9xy5分别在下列范围内分解因式:(1)有理数范围; (2)实数范围 (3)复数范围.二、半径为1、2、3的三个圆两两外切.证明:以这三个圆的圆心为顶点的三角形是直角三角形. 三、用解析几何方法证明三角形

6、的三条高线交于一点.(a、b、N都是正数,a1,b1)五、直升飞机上一点P在地平面M上的正射影是A.从P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于飞机窗玻璃所 在的平面N(如图).证明:平面N必与平面M相交,且交线l 垂直于AB.写出f(x)的极大值M、极小值m与最小正周期T;试求最小的正整数 k,使得当自变量 x在任意两个整数间 (包括整数本身 )变化时,函数f(x)至少有一个值是M 与一个值是m.七、CD为直角三角形ABC中斜边AB上的高,已知ACD eq oac(,、)CBD eq oac(,、)ABC的面积成等比数列,求B(用反三角函数表 示).九、抛物线的方程是y2=2x,有一个

7、半径为1的圆,圆心在x轴上运动.问这个圆运动到什么位置时,圆与抛物线在 交点处的切线互相垂直.3附加题问a、b应满足什么条件,使得对于任意m值来说,直线(L)与椭圆(E)总有公共点.1981年试题(理工农医类)一、设A表示有理数的集合,B表示无理数的集合,即设A=有理数,B=无理数,试写出:(1)AB,(2)AB. 二、在A、B、C、D四位候选人中,(1)如果选举正、副班长各一人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果;(2) 如果选举班委三人,共有几种选法?写出所有可能的选举结果.三、下表所列各小题中,指出A是B的充分条件,还是必要条件,还是充要条件,或者都不是.四、写出余弦定理(只写一个公式

8、即可),并加以证明. 五、解不等式(x为未知数):六、用数学归纳法证明等式对一切自然数n都成立.七、设1980年底我国人口以10亿计算.如果我国人口每年比上年平均递增2%,那么到2000年底将达到多少?要使2000年底我国人口不超过12亿,那么每年比上年平均递增率最高是多少? 下列对数值可供选用:lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.180604

9、八、在120的二面角P-a-Q的两个面 P和Q内,分别有点 A和点B.已知点 A和点B到棱a的距离分别为 2和4,且线段 AB=10.求直线AB和棱a所成的角;求直线AB和平面Q所成的角.过点A(2,1)的直线l与所给双曲线交于两点P1及P2,求线段P1P2的中点P的轨迹方程.过点 B(1,1)能否作直线m,使m与所给双曲线交于两点 Q1及Q2,且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存 在,求出它的方程;如果不存在,说明理由.十、附加题:计入总分.已知以AB为直径的半圆有一个内接正方形CDEF,其边长为1(如图). 设AC=a,BC=b,作数列u1=a-b,u2=a2-ab+b2,u3=

10、a3-a2b+ab2-b3,uk=ak-ak-1b+ak-2b2-+(-1)kbk;求证:un=un-1+un-2(n3).1982年试题 (理工农医类)一、填表:5(1)求(-1+i)20展开式中第15项的数值;在平面直角坐标系内,下列方程表示什么曲线?画出它们的图形.四、已知圆锥体的底面半径为R,高为H.求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h(如图).设0 x0,a1,比较loga(1-x)loga(1+x)的大小(要写出比较过程).如图:已知锐角AOB=2内有动点P,PMOA,PNOB,且四边形PMON的面积等于常数c2.今以O为极点,AOB 的角平分线OX为极轴,求动点P的轨迹的

11、极坐标方程,并说明它表示什么曲线.七、已知空间四边形,ABCD中AB=BC,CD=DA,M,N,P,Q分别是边AB,BC,CD,DA的中点(如图).求证MNPQ是一个矩形.6八、抛物线y2=2px的内接三角形有两边与抛物线x2=2qy相切,证明这个三角形的第三边也与x2=2qy相切. 九、附加题:计入总分.已知数列a1,a2,an,和数列b1,b2,bn,其中a1=p,b1=q,an=pan-1,bn=qan-1+rbn-1(n2),(p,q,r是 已知常数,且q0,pr0).(1)用p,q,r,n表示bn,并用数学归纳法加以证明;1983年试题(理工农医类 )一、本题共 5个小题 ,每一个小

12、题都给出代号为 A,B,C,D 的四个结论 ,其中只有一个结论是正确的 . 把正确结论的代号写在题后的括号内 .(1)两条异面直线,指的是在空间内不相交的两条直线.分别位于两个不同平面内的两条直线.某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线.不在同一平面内的两条直线.【 】(A)两条相交直线. (B)两条平行直线.(C)两条重合直线. (D)一个点.【 】(3)三个数a,b,c不完全为零的充要条件是(A)a,b,c都不是零. (B)a,b,c中最多有一个是零.(C)a,b,c中只有一个是零. (D)a,b,c中至少有一个不是零.【 】7【 】【 】(2)在极坐标系内,方程 =5cos 表示什么

13、曲线?画出它的图形.(2)一个小组共有 10名同学 , 其中4 名是女同学 ,6名是男同学 .要从小组内选出 3名代表,其中至少有 1 名女同学,求一共有多少种选法.四、 计算行列式(要求结果最简):六、 如图,在三棱锥SABC中,S在底面上的射影 N位于底面的高CD上;M是侧棱SC上的一点 ,使截 面MAB与底面所成的角等于NSC.求证SC垂直于截面MAB.8八、已知数列an的首项a1=b(b0),它的前n项的和Sn=a1+a2+an(n1),并且S1,S2,Sn,是一 个等比数列,其公比为p(p0且p1).(1)证明a2,a3 ,an,(即an从第2项起)是一个等比数列.九、 (1)已知a

14、,b为实数,并且eaba.(2)如果正实数a,b满足ab=ba,且a0)的图象是11【 】(5)用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比 20000大,并且百位数不是数字 3的没有重复数字的五位数 ,共 有(A)96个 (B)78个(C)72个 (D)64个【 】二、只要求直接写出结果 .(2)设a1,求arccosa+arccos(-a)的值. (3)求曲线 y2=-16x+64的焦点.(5)设函数f(x)的定义域是0,1,求函数f(x2)的定义域.(1)解方程 log4(3-x)+log0.25 (3+x)=log4(1-x)+log0.25 (2x+1).如图,设平面AC和BD相交于B

15、C,它们所成的一个二面角为45,P为面 AC内的一点,Q为面BD内的一点 . 已知直线 MQ 是直线PQ 在平面 BD内的射影 , 并且 M在 BC上.又设PQ与平面BD所成的角为 ,CMQ= (0 0)所表示的曲线关于直线y=x对称,那么必有(A)D=E (B)D=F(C)E=F (D)D=E=F【 】(8)在正方形SG1G2G3中E 、F分别是G1G2及G2G3的中点 ,D是EF的中点 ,现在沿 SE、SF及EF把这个 正方形折成一个四面体,使G1、G2、G3三点重合,重合后的点记为G.那么,在四面体S-EFG中必有 (A)SGEFG所在平面 (B)SDEFG所在平面(C)GFSEF所在平

16、面 (D)GDSEF所在平面【 】(9)在下列各图中,y=ax2+bx与y=ax+b(ab0)的图象只可能是14【 】(10)当x -1,0 时,在下面关系式中正确的是【 】二、 只要求直接写出结果.(3)在 xoy平面上 , 四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为 (0,0)、 (1,0)、(2,1)及(0,3), 求这个四边形绕 x 轴旋转一周所得到的几何体的体积.三、 如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是圆周上不同于A、B的任意一点. 求证:平面PAC垂直于平面PBC.四、 当sin2x0时,求不等式log0.5(x2-2x-15)log0.5(x+13)的解集.五、如图

17、,在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴(坐标原点除外)上给定两点A、B.试在x轴的正半轴 (坐标原点除外)上求点C,使ACB取得最大值.15六、 已知集合A和集合B各含有12 个元素,AB含有4个元素,试求同时满足下面两个条件的集合 C 的个数:七、过点M(-1,0)的直线l1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点.记:线段P1P2的中点为P;过点P和这个抛物 线的焦点 F的直线为 l2;l1的斜率为 k. 试把直线 l2的斜率与直线 l1的斜率之比表示为 k 的函数 ,并指出 这个函数的定义域、单调区间,同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数.九、 (附加题不计入总分) (1)求 y=xa

18、rctgx2的导数.1987年试题(理工农医类)一、本题每一个小题都给出代号为 A,B,C,D的四个结论 ,其中只有一个结论是正确的 ,把你认为正 确的结论的代号写在题后的括号内 .(A)X (B)T【 】(C)(D)S【 】(3)设a,b是满足aba-b (B)a+ba-b(C)a-ba-b (D)a-bDEBCEB=DEBCEB1,并且a1=b(b0),求四、如图,正三棱锥S-ABC的侧面是边长为 a的正三角形,D是SA的中点 ,E是BC的中点 ,求SDE 绕直 线SE旋转一周所得到的旋转体的体积.21六、给定实数a,a0,且a1设函数证明(1)经过这个函数图象上任意两个不同的点的直线不平

19、行于x轴; (2)这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形.1989年试题(理工农医类)一、选择题 :每一个小题都给出代号为 A、B、C、D的四个结论,其中只有一个是正确的 ,把你认为 正确的结论的代号写在题后的括号内 .【 】(2)与函数y=x有相同图象的一个函数是【 】22【 】【 】(A)8 (B)16(C)32 (D)48 【 】【 】【 】(8)已知球的两个平行截面的面积分别为 5 和8 ,它们位于球心的同一侧 ,且相距为1,那么这个 球的半径是(A)4 (B)3(C)2 (D)5 【 】【 】23【 】(11)已知f(x)=8+2x-x2,如果g(x)=f(2-x2),那么g(x)

20、在区间(-1,0)上是减函数在区间(0,1)上是减函数在区间(-2,0)上是增函数在区间(0,2)上是增函数 【 】(12)由数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有 (A)60个 (B)48个(C)36个 (D)24个 【 】二、填空题 :只要求直接填写结果.(14)不等式x2-3x4的解集是 .(16)已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+a7x7,那么a1+a2+a7= .(18)如图,已知圆柱的底面半径是 3,高是4,A、B两点分别在两底面的圆周上 ,并且AB=5,那么直线 AB与轴OO之间的距离等于 .三、解答题 .()求证:顶点A1在底面A

21、BCD的射影O在BAD的平分线上;()求这个平行六面体的体积.自点 A(-3,3)发出的光线 L射到 x轴上,被x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切,求光线L所在直线的方程.已知a0,a1,试求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2有解的k的取值范围.是否存在常数a,b,c使得等式24对一切自然数n都成立？并证明你的结论.(24) 设 f(x) 是定义在区间 (- ,+) 上以2 为周期的函数 , 对k Z,用 Ik 表示区间 (2k-1,2k+1, 已 知当xI0时f(x)=x2.()求f(x)在Ik上的解析表达式;()对自然数k,求集合Mk=

22、a使方程f(x)=ax在Ik上有两个不相等的实根.1990年试题（理工农医类）一、选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 ,把所选项前的字母填在题后 括号内.【 】(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于【 】(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2)内的解的个数是25(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【 】(5)【 】(A)-2,4 (B)-2,0,4(C)-2,0,2,4 (D)-4,-2,0,4 【 】(7)如果直线 y=ax2与直线y=3xb关于直线yx 对称,那么(C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6 【 】(A)圆(C)双

23、曲线的一支(B)椭圆(D)抛物线 【 】(2,3)(2,3) (D)(x,y)y=x+1 【 】26【 】(11)如图 , 正三棱锥 S-ABC的侧棱与底面边长相等 , 如果 E、F分别为SC 、AB的中点,那么异面直线 EF与SA所成的角等于(A)90 (B)60 (C)45 (D)30 【 】(12)已知h0.设命题甲为 :两个实数 a,b满足ab2h;命题乙为 : 两个实数 a,b 满足a1h且 b-1h.那么甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件甲是乙的充分条件甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 【 】(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如

24、果B必须站在 A的右边（A,B可以不相邻） ,那么不同的排法共 有(A)24种 (B)60种 (C)90种 (D)120种 【 】(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有(A)70个 (B)64个 (C)58个 (D)52个【 】(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C与C关于原点 对称,那么C所对应的函数是(A)y=-arctg(x-2) (B)y=arctg(x-2)(C)y=-arctg(x+2)(D)y=arctg(x+2) 【 】二、填空题 :把答案填在题中横线上 .(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5

25、的展开式中,x2的系数等于 .已 知 an 是 公 差 不 为 零 的 等 差 数 列 , 如 果 Sn 是 an 的 前 n 项 的 和 , 那函数 y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 .如图,三棱柱ABCA1B1C1中,若E、F分别为AB、AC的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2.三、解答题 .727(21)有四个数,其中前三个数成等差数列 ,后三个数成等比数列, 并且第一个数与第四个数的和是 16, 第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.(23)如图,在三棱锥S-ABC中,SA底面ABC,ABBCDE垂直平分SC,且分别交AC、

26、SC于D、E. 又SAAB,SBBC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.(24)设a0,在复数集C中解方程z2+2za.n2.()如果f(x)当x(-,1时有意义,求a的取值范围; ()如果a(0,1,证明2f(x)0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,那么a3+a5的值等于(A)5 (B)10 (C)15 (D)20 【 】(A)(0,0),(6,) (B)(-3,0),(3,0)(C)(0,0),(3,0) (D)(0,0),(6,0) 【 】(9)从 4台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台 ,其中至少要有甲型与乙型电视机各 1台,则不同的 取法共有(A)140

27、种 (B)84种 (C)70种 (D)35种 【 】(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【 】(11)设甲、乙、丙是三个命题 .如果甲是乙的必要条件 ;丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件 ,那 么丙是甲的充分条件,但不是甲的必要条件丙是甲的必要条件,但不是甲的充分条件丙是甲的充要条件丙不是甲的充分条件,也不是甲的必要条件 【 】(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【 】(13)如果奇函数f(x)在区间3,7上是增函数且最小值为5,那么f(x)在区间-7,-3上是(A)增函数且最小值为5 (B)增函数且最大值为5(C)减函数且最小值为5 (D)减函数且最大值为5

28、【 】(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 【 】(15) 设全集为 R,f(x)=sinx,g(x)=cosx,M=x f(x) 0,N=x g(x) 0, 那么集合 x f(x)g(x)=0 等 于【 】二、填空题 :把答案填在题中横线上 .已知正三棱台上底面边长为2,下底面边长为4,且侧棱与底面所成的角是 45,那么这个正三棱台的体积等于 .在(ax+1)7的展开式中,x3的系数是x2的系数与x 4的系数的等差中项,若实数29a1,那么a= .(20)在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC 两两互相垂直,且PAPBPCa.那么这个 球面的面积是 .三、解答题 .(

29、21)求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x 的最小值,并写出使函数y取最小值的x 的集合.(23)已知ABCD是边长为4的正方形,E、F分别是AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面, 且GC 2.求点B到平面EFG 的距离.根据函数单调性的定义,证明函数f(x)=-x3+1在(-,+)上 是减函数.已知n为自然数,实数a1,解关于x的不等式1992年试题(理工农医类)一、选择题 :在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .把所选项前的字母填在题后 的括号内 .【 】(2)如果函数 y=sin( x)cos( x)的最小正周期是4 ,那么常数 为【 】(3

30、)极坐标方程分别是 =cos 和 =sin 的两个圆的圆心距是【 】(4)方程sin4xcos5x=-cos4xsin5x的一个解是(A)10. (B)20. (C)50. (D)70 【 】30(5)已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等,则圆柱的全面积与球的表面积的比是 (A)6:5. (B)5:4. (C)4:3. (D)3:2 【 】个值,则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为【 】(7)若loga2logb20,则 (A)0ab1 (B)0bab1 (D)ba1 【 】(A)20. (B)70. (C)110. (D)160 【 】(9)在四棱锥的四个侧面中,直角三角形最多

31、可有(A)1个. (B)2 个. (C)3个. (D)4个. 【 】(10)圆心在抛物线y2=2x上,且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是【 】(11)在(x2+3x+2)5的展开式中x的系数为(A)160. (B)240. (C)360. (D)800. 【 】(12)若0a0),那么l2的方程是(A)bx+ay+c=0. (B)ax-by+c=0.(C)bx+ay-c=0. (D)bx-ay+c=0. 【 】(14)在棱长为1的正方体ABCD-A1 B1C1D1中,M和N分别为A1B1和BB1的中点,那么直线AM 与CN所 成角的余弦值是【 】31(15)已知复数z的模为2,则

32、z-i的最大值为【 】是奇函数,它在(0,+ )上是减函数.是偶函数,它在(0,+)上是减函数.是奇函数,它在(0,+)上是增函数.是偶函数,它在(0,+ )上是增函数. 【 】(17)如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t), 那么(A)f(2)f(1)f(4). (B)f(1)f(2)f(4).(C)f(2)f(4)f(1). (D)f(4)f(2)0,S130. ()求公差d的取值范围.()指出S1,S2,S12中哪一个值最大,并说明理由.1993年试题(理工农医类)一、选择题 :在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 .把所选项前的字母填在

33、题后括 号内 .(1)如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么该双曲线的离心率为【 】【 】(A)45 (B)60 (C)90 (D)120 【 】(A)1 (B)-1 (C)i (D)-i 【 】 (5)直线bx+ay=ab(a0,bb,则【 】(11)已知集合E= cos sin ,0 2 ,F= tg sin ,那么EF为区间【 】(12)一动圆与两圆:x2+y2=1和x2+y2 -8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹为 (A)抛物线 (B)圆(C)双曲线的一支 (D)椭圆 【 】(A)三棱锥 (B)四棱锥(C)五棱锥 (D)六棱锥 【 】(14)如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么圆柱

34、体积的最大值是【 】(A)50项 (B)17项(C)16项 (D)15项 【 】(16)设a,b,c都是正数,且3a=4b=6c,那么【 】(17)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来 ,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡 ,则四张贺年卡不 同的分配方式有34(A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种 【 】(18)已知异面直线a与b所成的角为50,P为空间一定点, 则过点P且与a,b所成的角都是30 的直线有 且仅有(A)1条 (B)2条 (C)3条 (D)4条 【 】二、填空题 :把答案填在题中横线上 .(20)在半径为30m的圆形广场中央上空 , 设置一个照明光源 ,射向地面的光呈

35、圆锥形 ,且其轴截面顶角 为120.若要光源恰好照亮整个广场,则其高度应为m(精确到0.1m).(21)在50件产品中有4件是次品,从中任意抽出5件,至少有3件是次品的抽法共 种(用数字作答). (22)建造一个容积为 8m 3,深为2m的长方体无盖水池 . 如果池底和池壁的造价每平方米分别为 120 元 和80元,那么水池的最低总造价为 元.(23)设f(x)=4x-2x+1,则f-1(0)= .三、解答题 :解答应写出文字说明、演算步骤 .(26)如图,A1B1C1-ABC是直三棱柱,过点A1、B、C1的平面和平面ABC的交线记作l.()判定直线A1C1和l的位置关系,并加以证明;()若A

36、1A=1,AB=4,BC=3,ABC=90,求顶点到直线l的距离.出以M,N为焦点且过点P的椭圆方程.(29)已知关于x 的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根 , .证明: ()如果 2, 2,那么2 4+b且b4;()如果2 4+b且b4,那么 2, 1，且前n项和S 满足n 1 nlim S nn 1a1，那么a 的取值范围是 140210A(1,+) B(1,4) C(1,2) D(1, )x 2 y 2 116、设圆过双曲线 9 16 的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的 距离是 _。17、( x 2) 10 ( x 2 1)的展开式中x 的系数为_

37、（用数字作答）。18、如图，在直四棱柱 A B C D ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件_时，有A CB D 。1 1 1 1 1 1 1（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形。）f ( x ) 4sin(2 x )( x R )19、关于函数 3 ，有下列命题：由f(x )=f(x )=0可得x -x 必是的整数倍；1 2 1 2y f ( x )的表达式可改写为y 4 cos(2 x )6；y f ( x )的图象关于点( ,0)6对称；y f ( x )的图象关于直线 x 对称。6其中正确的命题的序号是 。（注：把你认为正确的命题的序号都填上。） 20、

38、（本小题满分10分）在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设a c 2b , A C 3。求sinB的值。以下公式供解题时参考： sin sin 2 sin cos ,sin sin 2 cos sin2 2 2 2 cos cos 2 cos cos , cos cos 2sin sin2 2 2 24117321、（本小题满分11分）如图，直线 l 和l 相交于点 M，l l ，点 Nl 。以 A ，B为端点的曲线段 C上的任一点到 l 的距离与 1 2 1 2 1 2到点N的距离相等，若AMN为锐角三角形， |AM|= ，|AN|=3且|BN|=6。建立适当的坐标系， 求曲线段

39、C的方程。22、（本小题满分12分）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为 2米的无盖长方体沉淀箱，污水从 A 孔流入， 经沉淀后从B孔流出。设箱体的长度为a米，高度为b米。已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b 的乘积ab成反比。现有制箱材料60平方米。问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的 质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。23、（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABC A B C 的侧面A ACC 与底面ABC垂直，ABC=90，BC=2，AC=2 ，且AA1 1 1 1 1 1A C，AA =A C。1 1 1（）求侧棱A A与底面ABC所成角的大小；1（）求侧

40、面A ABB 与底面ABC所成二面角1 1的大小；（）求顶点C到侧面A ABB 的距离。1 124、（本小题满分12分）423设曲线C的方程是y=x -x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C 。1（）写出曲线C 的方程；1（）证明曲线C与C 关于点1t sA( , )2 2对称；（）如果曲线C与C 有且仅有一个公共点，证明1t 3s t4且t0。25、（本小题满分12分）已知数列b 是等差数列，b =1,b +b +b =145。 n 1 1 2 10（）求数列b 的通项b ；n n（）设数列b 的通项na log (1 n a1bn)（其中a0，且a1），记S 是数列a

41、 的前n nn项和。试比较S 与n13log ban 1的大小，并证明你的结论。1999 年普通高等学校招生全国统一考试一选择题：本大题共 14 小题；第（1）（ 10）题每小题 4 分，第（11）（ 14）题每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1） 如图，I 是全集，M、P 、S 是 I3 个子集，则阴影部分所表示的集合是（MP）S（MP）S（MP） S（MP） S（2） 已知映射 f ： A B ，其中，集合 A 3,2,1,1,2,3,4 ,集合 B 中的元素都是 A 中元素在映射 f 下的象，且对任意的 a A, 在 B 中和它对应的元

42、素是 a ，则集合 B 中元素的个数是（A）4（B）5（C）6（D）7（3）若函数 y f x的反函数是y g x,fab,ab0，则 g b等于（A） a（B） a1（C） b（D） b143 4（A） , （B） ,0（C） 0,（D） , N （ 4 ）函数 f xMsinx0在区间a,b上是增函数，且 g xMcosx在a,b上（A）是增函数 （B）是减函数f xM,fbM,则函数（C）可以取得最大值 M（D）可以取得最小值 M（5）若 f xsinx是周期为 的奇函数，则 f x可以是（A） sin x（B） cos x（C） sin 2 x（D） cos 2 x（6）在极坐标系中，

43、曲线 4 sin 3 关于（A）直线 5轴对称 （B）直线 轴对称 3 6（C）点 2, 3 中心对称 （D）极点中心对称（7）若干毫升水倒入底面半径为 2cm 的圆柱形器皿中，量得水面的高度为 6cm ， 若将这些水倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（A） 6 3cm（B） 6cm（C） 2 3 18cm（D） 33 12cm（8）若 2x3 a a x a x 2 a x 3 , 则 aa a0 1 2 3 0 242aa21 3的值为（A）1（B） 1（C）0（D）2（9）直线 3 x y 2 3 0 截圆 x2 y24 得的劣弧所对的圆心角为 （C） （D）6 4 3

44、 2（10）如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形，EFAB，EF 与面 AC 的距离为 2，则该多面体的体积为9 15（A） （B）5 （C）6 （D）2 232，EF（11）若 sin tg ctg ,则 2 2 2 4 4 4 4 2 （12）如果圆台的上底面半径为 5，下底面半径为 R，中截面把圆台分为上、 下两个圆台，它们的侧面积的比为 1：2，那么 R=（A）10 （B）15 （C）20 （D）25（13）已知两点 M1,54 4, 54,给出下列曲线方程： 44111 4 x 2 y 1 0 x 2 y 2 3x 2 x 2 y 2 1 2 2

45、y 2 1在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（A） （B） （C） （D）（14）某电脑用户计划使用不超过 500 元的资金购买单价分别为 60 元、70 元 的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买 3 片，磁盘至少买 2 盒， 则不同的选购方式共有（A）5 种 （B）6 种 （C）7 种 （D）8 种二填空题：本大题共 4 小题；每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上。（15）设椭圆x 2 y 2 1 a b 0 的右焦点为 F ，右准线为 l ，若过 F 且垂 a 2 b 2直于 x 轴的弦长等于点 F 到 l 的距离，则椭圆的率心率是_。1 1在一

46、块并排 10 龚的田地中，选择 2 龚分别种植 A、B 两种作物，每种 作物种植一龚，为有利于作物生长，要求 A、B 两种作物的间隔不小于 6 龚，则不同的选龚方法共有_种（用数学作答）。若正数 a 、 b 满足 ab a b 3, 则 ab 的取值范围是_。、 是两个不同的平面， m 、 n 是平面 及 之外的两条不同直线， 给出四个论断： m n n m 以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一 个命题：_。三、解答题：本大题共 6 小题；共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。（19）（本小题满分 10 分）3log x 2 2log x 1a0,

47、a 1.a a解不等式（20）（本小题满分 12 分）设复数 z 3cosi 2 sin.求函数 y arg z0 2的最大值以及对应的 值。（21）（本小题满分 12 分）45如图，已知正四棱柱 ABCD A B C D ，点 E 在棱 D D 上，截面 EAC D B ，且面 EAC 与底面1 1 1 1 1 1ABCD 所成的角为 45, AB a.求截面 EAC 的面积；求异面直线 A B 与 AC 之间的距离；1 1（III） 求三棱锥 B EAC 的体积。1（22）（本小题满分 12 分）右图为一台冷轧机的示意图。冷轧机由若干对轧辊组成，带钢从一端输入，经过各对轧辊 逐步减薄后输出

48、。（I） 输入带钢的厚度为 ，输出带钢的厚度为 ，若每对轧辊的减薄率不超过 r 。问冷轧机0至少需要安装多少对轧锟？（一对轧辊减薄率 输入该对的带钢厚度 从该对输出的带钢厚度输入该对的带钢厚度）（II） 已知一台冷轧机共有 4 对减薄率为 20%的轧锟，所有轧辊周长均为 1600 mm . 若第 k 对轧锟有缺陷，每滚动一周在带钢上压出一个疵点，在冷轧机输出的带钢上， 庇点的间距为 L . 为了便于检修，请计算 L 、 L 、 L 并填入下表（轧钢过程中，带钢宽度不变，k 1 2 3且不考虑损耗）。轧锟序号 k 疵点间距 L （单位： mm ）k（23）（本小题满分 14 分）1 2 3 41

49、600已知函数 y f x的图象是自原点出发的一条折线，当 n y n 1n0,1,2, 时，该图象46是斜率为 b n的线段（其中正常数 b 1 ），设数列 x 由 f xnnnn1,2,定义。（I） 求 x 、 x 和 x 的表达式；1 2 n求 f x的表达式，并写出其定义域；证明： y f x的图象与y x 的图象没有横坐标大于 1 的交点。（24）（本小题满分 14 分）如图，给出定点 Aa,0a0和直线l:x1.B 是直线 l 上的动点，BOA 的角平分线交 AB 于点 C 。 求点 C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 a 值的1978年试题答案（一）1.解:原式=(x2-

50、4xy+4y2)-4z2 =(x-2y)2-(2z)2=(x-2y-2z)(x-2y+2z).2.解:设直圆柱体的底面半径为r.则底面周长2r=a.3.解:lg(2+x)0,2+x1. x-1为所求的定义域.47（二）解:（注意:只要求考生作出全面而正确的分析,不要求写法和本题解完全一致.）（三）证明:1)连CA、CB,则ACB=90.ACM=ABC（弦切角等于同弧上的圆周角）, ACD=ABC（同角的余角相等）, ACM=ACD. ACMADC. CM=CD.48同理 CN=CD. CD=CM=CN. 2) CDAB,ACB=90, CD2=ADDB（比例中项定理）. 由1),可知 AM=A

51、D,BN=BD, CD2=AMBN.（四）解法一:log189=a,18a=9. 又 18b=5, 45=95=18a18b=18a+b, 设 log3645=x,则36x=45=18a+b, log1836x=log1818a+b但 36=218=49, log18(218)=log18(229).即 1+log182=2log182+log189=2log182+a. log182=1-a.以下解法同解法一.（五）解:A+B+C=180,又 2B=A+C. 3B=180,B=60,A+C=120.49以下同证法一.（七）解:(1)用配方法得50此 即 各 抛 物 线 顶 点 坐 标 所 满

52、 足 的 方 程 . 它 的 图 形 是 一 条 直 线 , 方 程 中 不当m=-1、0、1时,x,y之间的函数关系为分别作出它们的图象P1、P2、P3. 它们的顶点都在直线l1上.(3)设l:x-y=a为任一条平行于l1的直线.与抛物线y=x2+(2m-1)x+m2-1方程联立求解.消去y,得x2+2mx+m2-1+a=0. (x+m)2=1-a.因而当1-a0即a1时,直线l与抛物线相交,而1-a1时,直线l与抛物线不相交.51即直线l与抛物线两交点横坐标为因直线l的斜率为1,它的倾斜角为45. 直线l被抛物线截出的线段等于而这与m无关.因此直线l被各抛物线截出的线段都相等. _1979

53、年试题(理工农医类)答案1.证法一:(z-x)2-4(x-y)(y-z)=z2-2zx+x2+4zx-4xy-4yz+4y2=(x+z)2-22y(z+x)+4y2=(z+x-2y)2=0, z+x-2y=0即 z-y=y-x,所以,x,y,z成等差数列,证法二：令x-y=a,y-z=b,则 x-z=x-y+y-z=a+b.(z-x)2-4(x-y)(y-z)=(a+b)2-4ab=(a-b)2=0. a=b.即x-y=y-z,即y-x=z-y.所以,x,y,z成等差数列.3.解:52甲乙共含纯酒精甲乙共含水混合后,纯酒精与水之比为m1v1(m2+n2)+m2v2(m1+n1):n1v1(m2

54、+n2)+n2v2(m1+n1). 4.解:略.(参考一般教科书)5.解:自P 向直线AB作垂线PC,垂足为C.设PC=d.在直角三角形PAC中,AC=dctg .在直角三角形PBC中,BC=dctg . S=AC+BC=d(ctg +ctg ).当 dD,即时,应向外国船发出警告.6.证法一:设VA=a,VB=b,VC=c, AB=p,BC=q,CA=r.于是 p2=a2+b2,q2=b2+c2,r2=c2+a2. 由余弦定理,所以CAB为锐角.同理,ABC,BCA也是锐角.53证法二:作VDBC,D为垂足,因VA垂直于平面VBC,所以 VABC又 BCVD,所以BC垂直于平面VAD,从而B

55、CAD即在ABC中,A在BC边上的垂足D介于B和C之间, 因此,B和C都是锐角.同理可证A也是锐角.7.解:年增长率x应满足 100(1+x)40=500, 即 (1+x)40=5, 取自然对数有 40ln(1+x)=ln5.答：每年约增长百分之四.8.证法一:连结CD.因CFD=90,所以CD为圆O的直径.由于AB切圆O于D, CDAB.又在直角三角形ABC中,ACB=90, AC2=ADAB,BC2=BDBA.54证法二:由BDFABC,得9.解法一:这个数列的第k项(任意项)为所以这个数列是递减等差列,且其首项为2.要前k项的和最大,必须前k项都是正数或0,而从第k+1项起以后都是负 数

56、.因此,k应适合下列条件:解此不等式组:由(1)得 k14.2由(2)得 k13.2因k是自然数,所以k=14,即数列前14项的和最大. 取 k=14. 前14项的和解法二:这数列的第k项(任意项)为55时,S有最大值.因k表示项数,是自然数,在此,=2-1.95650,由此可知这数列的前14项都是正数,从第15项起以后各项都是负数. 所以应取k=14,即数列前14项的和为最大,其值为10.解法一:(1)设坐标系如图，点P的坐标为(x,y).由题设x0. 直线OA的方程为y=xtg ,直线OB的方程为y=-xtg ,直线AB的方程为 x=h.又因为P点在AOB内,于是由条件PDPF=PE2得5

57、6x2sin2 -y2cos2 =(h-x)2, (1) 即 x2cos2 -2hx+y2cos2 +h2=0. 除以 cos2 (0)得(2)由条件PD+PE=PF得 xsin -ycos +h-x=xsin +ycos , 即 x+2ycos =h. ()由(1),()得x2sin2 -y2cos2 =4y2cos2 5y2cos2 =x2sin2 ,由 PD+PEPF可知y0,所以这里右端取正号.代入()得57解法二:设OP与正x轴的夹角为 ,则PD=OPsin( - )=OP(sin cos -cos sin ) =xsin -ycos ,PF=OPsin( + )=OPsin cos

58、 +cos sin =xsin +ycos .以下与上面的解法一相同。1980年试题 (理工农医类)1980年试题(理工农医类)答案二、证明:设O1、O2、O3的半径分别为1、2、3. 因这三个圆两两外切,故有O1O2=1+2=3,O2O3=2+3=5,O1O3=1+3=4,58根据勾股弦定理的逆定理,或余弦定理,O1O2O3为直角三角形.三、证明:取ABC最长的一边BC所在的直线为x轴,经过A的高线为y轴,设A、B、C的坐标分别为A(0,a)、B(b,0)、 C(c,0),根据所选坐标系,如图,有a0,b0.解(1)、(2),得:(b-c)x=0.b-c0,x=0.这就是说,高线CE、BD的

59、交点的横坐标为0,即交点在高线AO上. 因此,三条高线交于一点.四、证法一:令logbN=x,根据对数定义, bx=N.两端取以a为底的对数, logabx=logaN,xlogab=logaN. b1,logab0,证法二:令logbN=x,根据对数定义, N=bx=(alogab)x=axlogab, xlogab=logaN.59 b1,logab0,五、证明:用反证法.假如平面N与平面M平行,则PA也垂直于N,因此PA与PB重合,B点与A点重合,但这与题设矛盾, 所以平面N与平面M相交.设平面N与平面M的交线为l.PA平面M,PAl.又PB平面N,PBl.l平面PAB,lAB.六、解:

60、(1)M=1,m=-1,(2)f(x)在它的每一个周期中都恰好有一个值是M与一个值是m.而任意两个整数间的距离都1.因此要使任意两个整数间函数f(x)至少有一个值是M与一个值是m,必须且只须 使f(x)的周期1.可见,k=32就是这样的最小正整数. 七、解法一:设CD=h,AB=c,BD=x, 则 AD=c-x.即x2=c(c-x),即x2+cx-c2=0,取负号不合题意,60又依直角三角形的性质,有 AC2=ADAB=c(c-x).但x2=c(c-x),AC2=x2,解法二:由题设有(CDBD)2=(CDAD)(CDAB), BD2=ADAB.但 AC2=ADAB,BD=AC.两端乘以正数s