球盒模型的概率问题

1、v1.0可编辑可修改11组合数学班级：XXXX姓名：XXXX学号：XXXXv1.0可编辑可修改11目录 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark2 o Current Document 班级：XXXX1. HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 姓名：XXXX1 HYPERLINK l bookmark6 o Current Document 学号：XXXX1.摘要1.关键词：1. HYPERLINK l bookmark16 o Current Document 1绪论1.问题的提出1.研究现状2.研究的目的和研究的内容

2、3.本文主要内容 4. HYPERLINK l bookmark20 o Current Document 2预备知识4.组合知识5.概率知识7.球盒模型9. HYPERLINK l bookmark54 o Current Document 3球盒模型基本结论 1.1 HYPERLINK l bookmark56 o Current Document 4本文研究1.3n个不同的球放入 m个不同的盒子的情况 1.4n个不同的球放入 m个全部相同的盒子的情况 15n个全部相同的球放入 m个不同的盒子的情况 16n个全部相同的球放入 m个全部相同的盒子的情况 2 0 HYPERLINK l boo

3、kmark86 o Current Document 5结论与展望21.论文总结21问题与展望22献22v1.0可编辑可修改 球盒模型的概率问题摘要：利用球盒模型来研究组合恒等式，目的是寻找和证明组合恒等式，用不同的方法计算此类问题，得到不同的等式，即组合恒等式，主要内容如下：球盒模型是指n个球随机放入 m个盒子的数学模型。尽管看上去这仅仅是一 个普通的组合或概率问题，但里面包含着许多组合工具，如发生函数、整数分拆、 Stirling 数等。选择这个问题讨论对象（或情况不同），会产生许多有趣的组合结论（主要是组合恒等式），实际上包括一个组合恒等式的组合解释。因为一个等式 的新的组合解释具有很高

4、的理论与实际应用价值，以本文就是由不同的方法，把 组合数学的知识与概率知识相结合得到不同的组合恒等式作为创新点。关键词：组合恒等式；发生函数；整数分拆；Stirling 数；概率1绪论问题的提出组合数学是研究任意一组离散性事物按照一定规则安排或配置的数学.特别是当指定的规则较简单时，计算一切可能的安排或配置的方法数，就成为它研究的主要问题.现 代组合数学有两个主要特点：其一，它大量应用了抽象代数学工具和矩阵工具促使问题 的提法和处理方法表现出极大的普遍性；其二，为了适应计算机科学的发展，它很注重对 方法的能行性和程序化问题进行研究.组合数学最早是同数论和概率论交叉在一起的.概率方法是解决离散数

5、学尤其是组 合数学中许多问题的强有力工具。该方法在组合数学中应用大致分为两类：一类是非构造性的概率方法，该类方法从本质上 讲，是一种粗糙的计数论证方法，常被用来断定具有某种特性的组合对象的存在 性；一类是构造性的概率方法，该方法是用概率的语言描述一些组合对象，然后借 助概率论中的方法与技巧解决组合分析的问题。非构造性概率方法就是用基本概率方法、期望的线性法在一些组合问题中的应用，如何用它们来证明一些命题和定理。构造性概率方法，即一些常见组合变量（以后统称组合数为组合变量）的概率表示，诸如Stirling 数、Bell数、调和数、Fibonacci数、错排数都可以表示为一些随机变量的 矩，这些概

6、率表示可以用来研究组合和式的计算与恒等式的证明。本文主要研究了概率 方法在一些重要组合数中的应用。组合数学是一门即古老又新颖的数学分支。它属于离散数学范畴，主要是研究一组 离散性对象的关系，按照一定规则安排或配置方法的数学。 最初是以游戏的形式出现的， 由于在娱乐中和美学中有很多研究的组合问题，现在无论在纯粹或在应用科学上都有重 要的价值。组合数学渗透到其它很多领域，同时其它学科方法（如概率论方法等）又为 组合数学提供了新的工具。在组合数学中，组合包等式的证明和寻找是一个很重要的内 容，而组合恒等式作为计数问题的结果，所以组合数学的一个重要分支是如何证明和寻 找组合包等式。研究现状组合数学在国

7、外早已成为十分重要的学科，一些大公司，如旧M, AT&TTB有全世界最强的组合研究中心。美国一个重要的国家实验室Sandia国家实验室有一个专门研究组合数学的机构，主要从事组合编码理论和密码学的研究，在美国政府以及国际学 术界都具有很高的地位。日本的 NE公司还在美国的设立了研究中心，理论计算机科学 和组合数学已是他们重要的研究课题。由于 DN刚是组合数学中的一个序列结构，美国 科学院院士，近代组合数学的奠基人 Rota教授预言，生物学中的组合问题将成为组合 数学的一个前沿领域。美国的大学，国家研究机构，工业界，军方和情报部门都有许多 组合数学的研究中心，在研究上投入了大量的经费。高层次的软件

8、产品处处用到组合数 学，更确切地说就是组合算法。除此之外，欧洲也在积极发展组合数学，英国、法国、 德国、荷兰、丹麦、奥地利、瑞典、意大利、西班牙等国家都建立了各种形式的组合数 学研究中心。 组合数学是计算机软件产业的基础，中国最终一定能成为一个软件大国， 但是要实现这个目标的一个突破点就是发展组合数学。相对国外的发展情况，国内关于 组合方法的研究和使用情况还处于相当初始的阶段。 组合数学应用方面的有关文献报道 是极为有限的，而在广大的生产领域几乎是空白，极少数科研单位和高校等在极个别方 面有一些初步的尝试。这可能预示着在不久的将来组合技术在国内会有一个较快的发 展。组合数学与概率论中的离散型随

9、机理论密切相关，而球盒模型是用组合数学的知识 解决概率论中的离散型随机问题的重要数学方法。在离散型随机理论方面，组合数学与 相关的离散数学的方法占据了一个非常重要的中心位置。在这些方法中，组合列举的方 法和基本的有限差分的计算方法是最主要的。尤其是，在离散型概率理论中，随机现象 或随机实验被描述为是球放入盒子的随机分配模型。在本文中我们称之为n个球放入m个盒子里的球盒模型，此模型非常灵活，条件稍微 变换一点，甚至是一字之差，其算法也大相径庭。所以，在不同的分配条件下，所研究 的球盒模型分别与第一类、第二类 Stirling 数，以及发生函数、整数分拆等。各种情 况相互联系，从而产生许多有趣结论

10、。研究的目的和研究的内容本文研究的目的主要是利用组合数学知识与概率的的知识相结合，从而得到组合包等式的证明。其方法有很多，主要有组合分析法、生成函数法、矩阵方法、求导方法、 概率方法、无穷级分的方法、代数方法、机器证明、超几何级数等方法，但是目前应用 最为广泛的主要有以下两种方法：(1)发生函数方法1990年美国数学家 Wilf出版了(Generating Functionology )专著，并在专著中 详细论述了发生函数各种用途，如为序列成员找出一个准确公式、寻找递归关系、求序 列的平均数和其它的统计性质、根据序列发生函数的性质、找出这个序列的新信息、求 序列的渐近公式、证明单峰性、凸性、证

11、明组合包等式等等。Wilf在书中列出很多例子说明如何利用发生函数证明组合包等式。发生函数是解决离散数学问题的有效工具， 它是离散数学和连续分析的桥梁，所以发生函数是现代离散数学领域中重要的方法之 一，它能以某种统一性美妙之处已成为组合数学研究者的共识。发生函数”的英文原词是generating function 。它的另外两个译名是生成函数与母函数。发生函数方 法是现代离散数学领域中的重要方法， 它能以某种统一的程序方式处理和解决众多不同 类型的问题。(2)概率方法概率的概念形成于16世纪，与用投掷骰子的方法进行赌博有密切的联系。概率本 来最初就是开始于赌博，由赌博发展而来的。应用概率统计方法

12、，主要包括随机事件及其概率、随机变量及其概率分析、随机变量的数字特征及极限定理、参数估计、假设检 验、方差分析、回归分析、试验设计、概率论基础与统计计算。而本文主要是把组合数 学的有关知识与概率的方法结合，用概率的知识解决组合知识，用不同的方法得出不同 的结论，从而得出恒等式。本文主要内容本文主要是把组合数学与概率的知识相结合来研究球盒模型。所谓球盒模型， 最基本的情况就是将n个球放到m个盒子里，依据球和盒子是否有区别以及是否“许空n盒而“在种23=8种状态。引入了第二类斯特灵数 S2（n, m）和协同组合数 m :以及整数的分拆Pn,m等等。概率最基本的方法之一就是古典概型， 而古典概型是概

13、率论发展史 上首先被人们研究的概率模型。组合数学与古典概率关系密切，利用概率来研究组合问题，证明组合恒等式是目前研究的重要方法之一。而概率论发展初期的主要研究对象是 等可能的数学模型，这种数学模型就是我们通常称为的古典概型，它在概率论中有很重 要的地位。它概括了许多实际问题，有很广泛的应用。虽然古典概率问题多变，甚至很 复杂，但大致可归并为两类概型：摸球模型与投球模型，很多实际问题都可以转化为球 类模型。所以，如果球盒模型问题得到解决，那么很多与之有关的问题就迎刃而解（比 如分房问题等）。本文主要是建立一些常见的数学模型，利用球随机地放入盒里面，对球盒模型进行 计算。把球的分配问题与概率相结，

14、根据球的异同、盒子的异同以及不同的分配方法等 建立相关的概率模型，有机地把 Stirling 数、发生函数、整数分拆、经典计数等和概 率结合起来。通过构建球盒分配模型，用概率方法解读模型，进行归纳、分类、剖析， 巧妙地变换在各种条件下放回球，设计成概率模型，应用数学知识分析问题解决问题。 解题过程中认识到问题的实质，提高分析问题解题能力，达到研究的目的。概率问题蕴 含着许多丰富的数学思想和方法，构建模型，可以帮助我们解读概率问题的意义和本质。2预备知识2.1组合知识定义 集A的k个子集的族二=Ai, A 2,.A k称为A的一个k部分拆（简称分拆），如果这族子集满足性质：i）每个A非空ii）当

15、 i w j 时 Ai Aj=?;iii） A i A A每个A称为分拆冗的块。冗可以记成tt=A ?A2?.公，也可以把A的这个分拆记 ?成 A=A A A = Xi1 i k（注意在上述各种记法中A的位置秩序没有意义）定义元素取自集S的一个无序k元组xi, x 2, . . . Xk称为S上的一个k元可重 复组合，也成为S上的一个k元重集。k元重集中一个元出现的次数称为该元在这个重 集中的重数。定理把n个不同的球放入 m个不同的盒子里，第1个盒子中放ni个，第2个盒子中放 降个，第 m个盒子里放nm,且ni+n2+nm =m,则有尸5;4斗，,nJ =/!修！儿！2 a2x定义 数列ak：

16、 k 0 =a0, ai,a2所确定的幕级数f （x）akxk a0 aix为该数列的生成函数。定理 设从n元集合取k 5元去佛组仁数为与k；若限定元素 a,出现的次数集合为 M.（1_i_0=a-,a-a-的指数型为数列数型生成函数。定理多重集合8”/&g ”玛期，k个元的排列，若限定元素ai出现的次数集合为M（1_i_n） /巴这理排列白个数记为 Q,则数列指数型生成函数定理把k个不同的球放入n个不同的盒子中,限定盒4/ I y/KzM M（1_i_n）,则其分配方案数的生成函数为a,的容量集合为定理 （容斥原理）设A, A2,.An均为有限集合，则|4 口儿。u儿=同-X Z 44/4t

17、+（t尸1444/=!lf jFl尼&/舟定理 设Al, A 2,.An均为有限集合E的子集，则-4 44=1日-|4+ Z 44 - E 444 4斗（-1/A&4定理 把n个不同的球放入m个不同的盒子里，每个盒子可放多个，也可以不放，其不 同的方案数为mn定义 第二类Stirling 数:一个n元集的所有k部分拆的个数记为&（n, k）,称为第二 类Stirling 数（即:n个元素的集合划分为k个不相交的非空子集合的划法数，或者解释 为:n个完全不同的球放入k个相同的盒子里，不允许有空盒的方案数）。根据这个定义可以递推得到：S2（n,k尸kS 2（n-l,k）+S 2（n-l,k-1）其

18、代数定义为：/ = E(界.止X孙=ZI广5； 0;规范性：对于必然事件S,有P(S) = 1 ;可列可加性：设Ai, Ar 是两两互不相容的事件，即对于i wj , Ai4=i, j=1,2 ，则有 P(Ai A 尸P(Ai )+P(A2 )+；当 n -8 时频率 fn(A)在一定意义下接近于概率P(A)。因此，可以将概率P(A)用来表征事件A在一次实验中发 生的可能性的大小。定义 设离散型随机变量X所有可能取的值为Xk (k =1,2,)X取各个可能值的概率，即事件(X=Xk的概率，为P(X = x k) = p k, k =1,2, 由概率的定义,p k满足如下两个条件性：Pkk 1非

19、负性:0 pk /4 此表为X的概率分布表，它能清楚地表示 X取值的分布情况。为简单起见,概率的分布清况可以直接用式来表示，也可表示为概率分布列和概率分布表常常统称为概率分布，它是描述离散型随机变量的有力工具定义 离散随机变量E的一切可能值Xi与对应的概率P（己=Xi）的乘积的和叫做随机变量 上的数学期望，记作EE。如果随机变量咨只能取得有限个值而取得这些值的概率分别是尸（与），尸（三），”（为）则数学期望为”=再尸（8）十丑（丑）+ 由=Z，/（耳）如果随机变量己只能取在可数无穷多个值而概率分别是户（GL产（,一 ）一，尸）,则数学期望EE是下列级数的和：席=再产区）+工产（,rj +山产（

20、/0+=f=l假定这级数是绝对收敛的，因而级数的和与各项的排列次序无关。球盒模型球盒模型包括摸球问题和投球问题，摸球问题事实上是投球问题的逆过程，它们可 以相互转化。比如n个互异球中抽取r个球，可以看作r个球投入n个不同编号的盒子。 但摸球问题有它特有的思路和方法，即摸球问题中，“球”可以是带有颜色或编号的正的球，也可以是合格或不合格的产品、不同花色和点数的扑克牌、各种面值的硬币等等， 摸球的方式可以是无放回的，可以是有放回的，也可以是逐一地抽取或是一次性的抽取， 很多实际问题都可转化成球类模型。例如在魏宗舒等编著的概率论与数理统计教程 （第二版）中有这样一个习题 m只颜色各不同的球，有放回地

21、摸取 n次，求摸出的球的颜色数的数学期望。用概率方法证明或寻找组合包等式是一个很有趣的问题，也是一个重要方法。本节以此问题为基础，利用不同方法得到了一些关于第二类Stirling 数的有趣的组合恒等式。(1)问题的提出：m只颜色各不同的球，有放回地摸取 n次，求摸出的球的颜色数的数学期望。(2)分布律设X表示n次抽球所抽出的颜色数(X =1,2,m),事件表示“抽到第i种颜色 C i=1,2，,m), P(A)表示事件我发生的概率，由概率加法公式得内(4 儿=1一u a U 4)=I- 以区)+-十-】以彳Z)I L 2 J *I #.尸小二(川，(注意到尸（0 （4L力） /-/ti加一,(

22、 7 一左)= (-，C4儿儿/心，7 一左、二2(-1尸.片4a儿)所以尸团儿U （4444）尸4 4*.4. 4进一步思考设m种不同色的球（一球一色），有放回地抽，直到抽出所有颜色的球为止。设 随机变量Y表示抽出所有颜色的球所需抽球次数（Y=m,m+l）,记pn=P X=n qn=PY=n,贝U/=凡一几T用工 5,。 /开!、式仃一 Lm）nt -亚） 加得到一个关于Stirling数的有趣的组合恒等式3球盒模型基本结论把n个球放入m个盒子中去一共有多少种分配方法 n个球可能有多种状态，两个极 端情形是它们完全相同以及两两不同，m个盒子也是如此。球放入 m个盒子，最极端的情况是:球同与不

23、同、盒子同与不同以及分配后盒子空与不空共23 = 8种状态。这基本的8种状态涉及到第二类Stirling 数、整数分拆等的概念，根据第 2章的知识，我们 对放球问题有了进一步的了解，现在把有关n个球放到m个盒子的放球问题的结果给在卜表中。伏志jr）打卜皿个京广疗无穿食1仃区别TT区冽2J K则口山用无空工工3为区别无区别有空盘4TTI* 别X K刷无空盒5All * 则有IX别甘加盒6无别钉惮”J无空盒1纪区捌白空盒拒旧别北1”别元空含1到8种情况分配方案数的由来。分配门粟故卜面依次简单说明1根据定理，把n个不同的球放入m个不同的盒子里，每个盒子可放多个,也可以不放，其不同的方案数为 nno或

24、者说是m个字母的n元字的个数。2根据定理，把n个完全不同的球放入 m个不同的盒子，不允许有空盒的方案数为m!&（n,m）。或者说是。元集的有序 m部分拆。3根据定理把n个完全不同的球放入 m个相同的盒子里，不允许有空盒的方案数为S2 （n, m）,则把n个完全不同的球放入 m个相同的盒子里，允许有空盒的m方案数为i iS2（n，l）o或者说是n元集分拆成至多m个分部。4由定义知，把n个完全不同的球放入 m个相同的盒子里，不允许有空盒的方案数为S2（n, m）。或者说是n元集的所有m部分拆的个数。5根据定理m元集上的n元重集（即m元集上的n元可重复组合）的个数记为m 。或者说是方程：xi+X2+

25、x m=n的非负整数解。 n6根据定理，把n个完全相同的球放入 m个全部不同的盒子里，不允许有n 1空盒的方案数为，也即是方程Xi+X2+ - +X m=n的正整数解。m 1n个无区别的球放到m个无区别的盒子里，有空盒，相当于把正整数 n表示 成k(1 k1)称为n的一个k部分拆， 每个被加数ni称为此分拆的一个分部。n的k部分拆的个数记为P(n, k) ; n 的所有n分拆的个数记为P(n),即p(n) p(n,k)。所以n个无区别的球放到m个无区别的 k 1n盒子里，有空盒的分配方案数为p(n,k)0也可以简单地说是正整数n分拆成至k 1多m个分部。n个无区别的球放到m个无区别的盒子里，无

26、空盒，相当于 n的m部分拆的 个数，由第7种情况可知，其分配方案数记为 P(n, m)。也就是正整数n的m部分 拆。球盒问题，又称占位问题，其实质是分配问题，我们关心的是其分配方案。这里的 球可相同可不同，盒子可有标记可无标记，盒子的容量可有限制可无限制，盒子可空非 空，球在盒中次序可考虑也可不考虑，盒子的次序可考虑也可不考虑等。显然，这是一 个比较复杂的问题，本文就此问题深入研究。4本文研究我们己经知到球盒模型最极端的分配情况有8种，而条件稍微变化一点，哪怕是一字之差，算法都会截然不同。本章在原有的基础上进行创新，得到其它的分 配模型，即加入一个随机变量x,并且与概率相结合，得到组合包等式的

27、证明。用概率证明组合恒等式的主要思路是：针对所要证明的组合包等式构造出适当的 概率模型，求出该模型中有关事件的概率，然后根据概率的一些性质，推出应有 的结论。下面的中的条件都是nm,即球的个数不小于盒子的个数。4.1 n个不同的球放入m个不同的盒子的情况状态整个球育M别2行区别分配方案数mS21 ,)加个盒子有无空盒有区别有空盒有区别无空盒如果加入一个随机变量X,相应的问题又该如何解决呢请看下面的问题(1)随机变量X表示放球过程中有球的盒子数问题1:n个不同的球放入m个不同形状的盒子，放球的过程中允许有空盒, 盒子的容量无限制，随机变量 X表示放球过程中有球的盒子数，求 X的数学期望E(X)。

28、先求随机变量X的分布律为X2 R +kASAft,2) * *nff* * a所以X的数学期望为*田 *)=-根据定义的第二条，即式 pk 1得到下列组合包等式k 1从而变形得到恒等式：工川:昂)初以上是用概率的方法得出的组合恒等式，如果用组合学的方法证明又 该怎样证明呢下面予以说明。设有n只不同的球，有m个盒子，它们的编号为1,2,m。由定理知把这n只球放入盒子中，允许有空盒且不限制放入盒子内的球数，总共有mn种方式。这是由于每一个球放到m个盒子中一共有m#方式。于是由乘法规则，有 n只不同的球放到m个有编号的盒子中去共有 吊种方式。另一方面，由定理知n只不同的球放入特定的k个不同编号的盒子

29、中去，并且没有一个空盒的方式数为k! S2（n, k） o而从m个盒子中选取k个盒子的方式数 m （显然，有 km-k个盒子为空），于是由乘法规则知，将n只不同的球放到m个不同的盒子中且恰有k个盒子为空的方式总数为 m ?S2（n,k）?k!。其中1 km时，m 0k4.2 n个不同的球放入m个全部相同的盒子的情况分配方案数iW方,（此曷（从曲状态个球阳个盒子有无空盒有区别 无区别 无空盒3有区别无区别有空盒问题2: n个不同的球放入m个形状全部相同的盒子，放球的过程中允许有空盒，随机 变量X表示放球过程中有球的盒子数，求 X的数学期望E（X） om个盒子是无区别的，相当于选出的 x个盒子，即

30、n个有区别的球放入x个无区别的盒子，求不允许有空盒的放法数。随机变量 X的分布律为X124 t4 1- 和F耳V V 5, Ed) -pi4工白风力V 5i(/, Ji所以X的数学期望为v1.0可编辑可修改 石二戏AL如果本题再变换一下结论：(1)恰好有一个空盒的概率 Pi是多少(2)恰好有r(r 随机变量X表示放球过程中有球的盒子数问题3 n个全部相同的球放入 m个形状全部不同的盒子，放球的过程中允许有空盒，随机变量X表示放球过程中有球的盒子数，求 X的数学期望E(X)0m 个盒子是有区别的，n个球是无区别的，如果放球的过程中允许有空盒，相当于求方程X1+X2+ +Xk = n的非负整数解得

31、个数。而x表示有球的盒子数，即己个盒子有球，且不允许有空盒的放法，相当于求方程x1 + x 2 + +x5= n的正整数解的个数。所以随机变量 X的分布律为v1.0可编辑可修改 所以X的数学期望为根据定义的第二条，即由式pk 1得到下列组合包等式k 1这就是m元集上的n元重集（即m元集的n元可重复组合）的个数的概率方法证明，其组合解释为：现有m个红球，n-1个白球，并把红球和白球放在一个盒子里。现从这m+n-1个球中无放回地取出n个球的组合，问共有多少种不同的取法即（式的证明如下：m n 1止的k,应有k k 1而取法必定是下列情形之一：有k个红球，n-k个白球，其中（k=0,1,2,m）,对

32、于周m n 1种选法，并事先规定 n 10成立，然后按照加k n kn法法则对k求和即得:W +- 1FTv1.0可编辑可修改比较组合恒等式的概率方法证明以及组合方法证明可知，概率法证明简单、 明确、可行。如果我们进一步考虑此问题：现有m个红球, 红球被取出。m由PXi1可以得到的证明。i 0因为ft - tit-1 1加一2冷r=d =、J=打斗阳一k R im所以数学期望为 EX n2mLy，由EXkP Xk 1” （n - 1 /阳、t=台（门一#.隈j森+卅实际上，等价十卜列Vandermode积公式：帮，E l、r fi另外，由数学期望的定义得n-1个白球，事件Xi表示第i个fl/J

33、 + /i i ， 1 . 2 二 Lk(4.10)()-ri-l 3rff+w?-n/日+用-21 /收+掰-m、2+r-,JlJ ?J而 F(X.X, =1)- L/+/-1_nin-1)(/+ m l)”i + 加一 2)E(月)= (莺 + & i+ X. )- = m(m 1)(乂*J十虫尤)因此()=( % +/+ =皿mmn(mn - 1)n + rtii.心-D,fi(/ + m-】N + rn -2)n + m - 1尸（x：=D =尸（m n 1由分布律P(X k) k mk 1直接用数学期望的定义得np “广1(411)例如，当n=5,m=3时，左右两边都等于105.现在

34、，以另一种方法研究随机变量 X TOC o 1-5 h z (柏*P(X -A)=4-1, L Xt+l -(X Xi+2 - 0,万足 _ 0)由容斥原理得P(乂 = 之=I, 1,=0,凡启一0,，*用=0)e-*f ffj - k、二 Z(T.占=卜 7Tl J般地因此也就是，对任意m(k me n),有下列恒等式成立 1、(4.12)4 D例如，当n=5,k=2时，对任意的2 & m 5 ,等式左边右边都等于4。v1.0可编辑可修改 4.4 n个全部相同的球放入 m个全部相同的盒子的情况状态个球切个盒子7无区别无区别H无区别无区别仃无空余仃空盆分配方案数Z /（，+心 fn）产（血网）

35、整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。所谓整数的分拆，就是把 个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便是这个自然数的一个分拆。整数分拆的要求通常是将一个自然数拆成两个（或两个以上）自然数的和，并使这些自然数的积最大（或最小）；或拆成若干个连续自然数的和等 等。随机变量X表示放球过程中有球的盒子数问题4:n个全部相同的球放入m个全部相同的盒子，放球的过程中允许有空盒，随机变量x表示放球过程中有球的盒子数，求 x的数学期望E（X） o因为随机变量X是表示放球过程中有球的盒子数，所以相当于 n个全部相同的球放入x个全部相同的盒子，求无空盒的放法数，即为正整数n的无序分拆。先求随

36、机变量X的分布律为X12 嘴事A-* S加al H. 11既他， * *乃1*打乩砌只*网产+必砌所以X的数学期望为/rr+ tn. frj)JRTX用此芯抑+瓯1ffM显然有恒等式jWZ 尸5M人P H 4肛尹5,幻 汽果）L+巩劝 /u#），二 I即变形为恒等式V灯二汽一堀 tmI概率论为我们证明组合包等式提供了更好的方法，从概率论的角度看待问题往往能使问题简化，它将在证明组合恒等式方面得到越来越广泛的应用。在数学各分支中，不 少组合恒等式往往不是显而易见的，证证明有一定的难度，这就使它们的应用受到限制。 若能对一些重要而又复杂的组合包等式给以证明，则会给其应用带来不少方便。5结论与展望论

37、文总结所谓球盒模型，就是将n个球放到m个盒子里，依据球和盒子是否有区别以 及是否允许空盒而存在23= 8种状的及基础上建立有关的概率模型，利用求概率或 求数学期望的方法，对组合包等式进行证明。古典概型是概率的基础，鉴于古典 概率问题中，计数常常涉及组合数，使得用构造随机试验，利用概率模型来诊释、 证明某些组合包等式。通过构造概率模型，证明一些重要的组合包等式，并将之 拓展，使概率证法在证明组合包等式中得到充分体现。用概率证明组合恒等式的 主要思路是：针对所要证明的组合恒等式构造出适当的概率模型，求出该模型中 有关事件的概率然后根据概率的一些性质推出应有的结论。在解决一些组合包等 式时，构造概率模型后，从不同的角度考虑其概率或随机变量的数字特征，即可 证明组合