数值天气预报第二章-review课件

1、 第二章 大气运动方程组数值天气预报数值天气预报的主要内容 数值天气预报的制作是一个计划详尽细致的系统工程，它是天气预报从定性描述到定量预报的一个重要的手段、技术和方法大气遵循的基本物理定理数学方程离散化数学物理方程组计算机程序目录几种坐标系中的大气基本方程组旋转坐标系中的大气运动基本方程组气候模式的基本方程组大气基本模式方程组的垂直坐标变换目录几种坐标系中的大气基本方程组旋转坐标系中的大气运动基本方程组气候模式的基本方程组大气基本模式方程组的垂直坐标变换大气运动的基本方程组物理规律数学表现形式牛顿第二定律质量守恒定律能量守恒定律气体试验定律水汽守恒定律运动方程连续方程热力学方程状态方程水汽方

2、程 大气运动遵循一定的物理规律。受流体力学及热力学方程组支配！（1）运动方程 气压梯度力 科氏力 重力 摩擦力牛顿第二定理：作用在空气微团上的外力 在旋转坐标系中，单位质量空气微团的相对加速度等于它所受的气压梯度力、科氏力、重力以及摩擦力的总和地球表面上空环绕着的厚度为1020多公里的大气层中大气的运动变化，遵循表面力质量力周围空气介质作用在空气微团表面上的力，表面力与作用面大小成比例作用在组成空气微团的所有质点上，与空气微团的质量或者体积成比例d/dt 表示个别变化（2）连续方程 大气运动遵循质量守恒定律表示在运动过程中，空气微团密度的变化是由于速度的辐合辐散引起的速度散度质量散度表示密度的

3、局地变化是由于穿过单位体积表面流入流出的质量差（即质量散度）造成的（3）状态方程Tv=(1+0.608q)T（4）热力学方程（大气是一个热力系统）大气动力学过程与热力学过程是相互联系相互制约的。热力学定律是控制大气运动的基本定律。能量转化与守恒定律是自然科学中最普遍的定律之一，把它应用到与热现象有关的宏观过程就表述为热力学第一定律。（4）热力学方程（大气是一个热力系统）设大气是理想气体，热力学第一定律为：非绝热加热项长波辐射，短波辐射，蒸发潜热， 感热，地表热通量等大气内能的变化大气膨胀对外界所作的功率外界对空气微团的加热率内能做功位温定义为：热力学方程可以写成：如果对于绝热过程而言：位温是个

4、守恒的量在单位时间内，单位质量空气微团自外界获得热量的一部分用于加热空气微团使其内能发生变化，另一部分消耗于空气膨胀反抗外界压力而做功。（4）热力学方程（大气是一个热力系统）（4）热力学方程（大气是一个热力系统）（4）热力学方程（大气是一个热力系统）源汇项还可以类似写出大气中云水、雪、雨水、冰晶、霰、雹等方程（5）水汽方程实际的数值预报过程中，需要对水汽的源和汇进行相应的处理大气中的水汽含量虽然比较少，但它的输送及水的相变的潜热变化却与大气中很多的天气现象有着非常紧密的关系，因此在进行大气的数值模拟和预报的时候必须考虑大气中的水汽过程。大气运动方程组目录几种坐标系中的大气基本方程组旋转坐标系中

5、的大气运动基本方程组气候模式的基本方程组大气基本模式方程组的垂直坐标变换前面给出的大气动量方程是以矢量的形式给出的，在实际的数值预报过程中，需要把这种矢量形式的方程展开成相应的标量形式的方程组。在实际的气象学研究和数值模拟及预报中，物理量个别变化首先是以Largrange 形式表示的，这样的表示主要是针对气体微团来进行的。然而在实际的应用中并不方便，主要是由于通常我们对于大气中各种物理量的观测是固定在观测点上的，并不是针对气体微团来进行的，因此需要把各种预报方程在相应的坐标系中展开。 与通常采用笛卡尔坐标系的方法不同，在大气科学中，通常采用球坐标系、柱坐标系以及局地直角坐标系等曲面正交坐标系来

6、进行理论研究和进行数值天气预报。 实际地球是一个椭球体，其半径在赤道和极地相差22公里。这个差值比地球半径小得多，因而气象上一般都把地球当作球体，其平均半径为6371公里。球坐标系中的大气方程组球坐标系中的大气方程组球坐标系：大气是围绕地球运动通常采用球坐标作为坐标系。分别是在球面上点P 的经度、纬度和地心指向P点的长度，相对应的单位矢量分别为与纬圈相切指向东、与经圈相切指向北以及和地表面相垂直指向天顶。需要注意的是：这三个单位矢量随着在地球面上的位置不同而方向不同。 球坐标系中的大气方程组运动方程速度的定义：球坐标与直线坐标变元的关系球坐标系下的速度分量：球坐标系中的大气方程组运动方程球坐标

7、系中的大气方程组运动方程球坐标系中加速度矢量的分量展开式球坐标系中的大气方程组运动方程球坐标系中的大气方程组运动方程球坐标系中的方程组 利用球坐标描述大气运动最为适宜，但运动方程和连续方程比较复杂。因此除了研究全球范围的大气运动采用球坐标外，一般多采用局地直角坐标系。 对短期预报，在不太大的水平范围(例如1、2千公里)内，可以略去地球此率的影响。令 这相当于采用了一个新的坐标系，它的原点在观测点，x轴自该点指向正东，y轴指向正北，z轴指向天顶(垂直向上)。在这种定义下，显然对不同的观测点，坐标轴的方向是不同的。这种坐标称为局地直角坐标系或简称局地直角坐标系。 局地直角坐标中，运动方程和连续方程

8、的形式为:局地直角坐标系局地直角坐标系局地直角坐标系：单位矢量的方向与球坐标系中相应的单位矢量方向相同。该坐标系略去了单位矢量随空间变化对大气运动的影响，运动方程和连续方程中不出现地球曲率项。局地直角坐标系与笛卡尔坐标系的区别（1）局地直角坐标系中单位矢量的方向随地点不同而变化；笛卡尔坐标系则是固定不变的；（2）笛卡尔坐标系中(x,y,z)是完全独立的变量，而局地直角坐标系中则是近似独立的。对于任意连续可微的变量，在局地直角坐标系中交换混合微商的次序，两者不相等。（3）重力在局地直角坐标系中X，Y方向没有分量，而在笛卡尔坐标系中应该考虑X和Y方向的分量。交换次序这一项在高纬度地区值很大，不能忽

9、略，坐标系使用受到限制地图投影在实际天气分析和预报中，常需要把地球大气中观测的气象要素的分布直观画在地图上，而就数值天气预报往往依据地图上的气象要素，并在地图上进行预报；如果用差分方法求数值解，一般取正方形网格； 这些都要求把地球这一球面上的气象要素表示在一个平面上。因此我们要研究怎样将球面投影在平面上、这种投影的性质、投影图上大气运动方程组的形式以及如何计算地图投影放大系数等。一、基本概念地图投影就是按照一定的数学条件，假设将地球表面投影到一个简单的曲面上，如平面、圆锥面或圆柱面上，这种曲面称为投影面或映象面。投影面上的图形(即投映面)在几何形状、长度、面积等方面与实际球面上的相应图形不可能

10、全都一致。距离保持不变的投影称为等距投影。两条交线之间的夹角保持不变的投影叫做正形投影或保角投影。 只能在某一方面完善表示地图投影误差 气象中常用的地图投影有极射赤面投影(即极地投影)、兰勃托投影和麦卡托投影。 第一、三种投影可以看作是兰勃托投影在圆锥角为180度和零度时的特殊情况。它们都是正形投影，且在标准纬度上是等距的。所谓标准纬度就是投影面与地球表面相交的纬度。 映像比例尺：映象面上的距离与地球上相应的实际距离之比值称为地图放大系数或地图放大因子，一般用m表示，即:映像面：投影的投射面。有平面、圆锥、圆柱等等。映像平面：映像面沿某一经线切开所展成的平面。其大小和地球表面差不多缩小2千万倍

11、为地图。世界地图比例尺1：2400万。极射赤面投影兰勃特投影墨卡托投影投影光源南极地球球心地球球心映像面平面圆锥面圆柱面 地图上的距离与地球上相应距离之比值称为实际比例尺，用s表示。即：即s的作用是将大曲而(地球表面)表示成小平面(地图)。缩小比例尺：映象平面图缩小成地图的缩小倍数称为缩小比例尺或地图比例尺，一般用表示。此即在标准纬度上地图对地球的实际缩小倍数，即 由上可知，的作用是将大平面(映象平面)缩小成小平面(地图)。值对整张地图来说是个常数，通常印在地图的下角，例如， 1：20，000，000地图直角坐标中的大气运动基本方程组地图投影坐标系是一种正交的曲线坐标系，实际做区域数值天气预报

12、的过程中，需要给出考虑到地图投影之后的模式方程组。取地图投影坐标系的三个坐标分量分别为X,Y,Z，沿X,Y,Z 坐标轴方向的风场分量分别为U,V,W。因此有式中dX,dY,dZ 为地图投影坐标系中的坐标变元，一般不等于相应的坐标线元。设在X 和Y 坐标轴方向的地图放大系数分别为m 和n，在Z 坐标轴方向的地图放大系数为1。那么有拉密系数对于地图投影坐标系来说， 为影像平面上的距离与地球表面上相应距离的比值，也即：普遍曲线正交坐标系中的方程组地球自转角速度在X，Y 和Z 方向的分量分别为：如下为曲线坐标系中的方程组：数值模式的初值条件和边值条件 前面给出的是数值天气预报的一般方程，对某个特定时间

13、的预报而言还需要给出定解条件。（1）初值条件：初始时刻气象要素的空间分布 要确定质点运动任意时可的速度，必须知道初始条件就是初始时刻各因变量（即气象要素）的空间分布边值条件：上下边界、内边界、侧边界边界条件就是气象要素在边界所要满足的条件，并且这种条件是随时间变化的。其中 表示边界。在实际的气象预报中，通常包括以下几种边界条件。(1) 下边界条件： 大气的下边界一般取在地球表面上，它是一个物质面。由于复杂地形的影响，一般下边界条件取为如下形式：(2) 上边界条件： 大气运动基本方程组是在大气为连续介质的假定下建立起来的，连续介质假定成立的极限高度可以看作大气的上界。 大气上界的高度比平流层、中

14、间层大气的高度要高得多。一般认为在大气的上界与外界无质量交换。因此上边界 条件可以取成如下形式：意味着在大气上界空气质量的垂直通量为零边值条件：上下边界、内边界、侧边界(3) 水平（侧）边界条件： 对于中尺度或者区域模式，由于模式是建立在一个大气中有限的区域内，因此，在模式的水平边界处， 需要有边界条件。详细内容在第四章介绍。(4) 内边界条件： 大气内部经常会出现气象要素的过渡带或者不连续面，例如锋面和逆温层、海洋和大气的界面等，在这种情况下 有关气象要素的梯度是不连续的，此时运动方程和连续方程都会失去意义，这时一般把这种不连续面看成大气的内边界。 至此，我们给出了进行数值预报的闭合方程组及

15、其相应的初、边值条件。从理论上来说，就可以采用数值的方法进行求解。 然而，在实际的大气数值模拟（预报）制作过程中还需要考虑到很多实际的问题，比如在Z 坐标系中，如何获得各个等高面的气象资料？等高面和地形相交后出现的侧边界问题如何处理？在局地直角坐标系中，如何保证球面的距离与局地直角坐标系中的距离更加接近，变形更少？在实际的数值求解中如何保证它稳定有效的数值积分？等等问题必须在构建数值模式的时候进行很好的处理。目录几种坐标系中的大气基本方程组旋转坐标系中的大气运动基本方程组气候模式的基本方程组大气基本模式方程组的垂直坐标变换 （1）在气象上采用P 坐标系的一个非常重要的事实是，大尺度大气运动在垂

16、直方向气压梯度力和重力在很高精度上满足静力平衡关系： 由于除了 外，总有 因此 总是成立的。这样保证了P是z 的单调函数。这就是P 坐标系可以代替z 坐标系的物理基础，同时这也是采用气压坐标系的物理约束，也意味着P 坐标系只适合于垂直运动不是很强烈的天气现象。数值模拟中P坐标应满足的物理要求偏微商和全微商的转换关系 把z坐标系中的方程组转换到p坐标系的关键是建立两坐标系因变量的偏微商和全微商的转换关系式。偏微商的转换关系式在t时刻，空间某一点的气压p由高度z唯一确定。反之，高度z也有气压p唯一确定。因此，对于任意一个因变量F，应有F(x,y,z,t)=F(x,y,p(x,y,z,t),t) (

17、1.68)P坐标系中的因变量F可以视为自变量z的复合导数偏微商和全微商的转换关系偏微商的转换关系式F(x,y,z,t)=F(x,y,p(x,y,z,t),t) (1.68)P坐标系中的因变量F可以视为自变量z的复合导数对(1.68)式两端对s(s代表x,y,t)求偏微商，应用复合函数的微分法则得到（1.69）偏微商和全微商的转换关系偏微商的转换关系式F(x,y,z,t)=F(x,y,p(x,y,z,t),t) (1.68)P坐标系中的因变量F可以视为自变量z的复合导数（1.70）（1.69）和（1.70）即z,p坐标系因变量x,y,t的偏微商的转换关系。偏微商和全微商的转换关系偏微商的转换关系

18、式F(x,y,z,t)=F(x,y,p(x,y,z,t),t) (1.68)P坐标系中的因变量F可以视为自变量z的复合导数（1.78）对(1.68)式两端对z求偏微商，则得到即z,p坐标系因变量F对垂直坐标的偏微商的转换关系偏微商和全微商的转换关系2.全微商的转换关系式引用偏微商的转换关系，推得z、p两坐标系中因变量全微商的转换关系式偏微商和全微商的转换关系2.全微商的转换关系式对于天气尺度的运动，根据量纲分析，决定p坐标系垂直速度的是方程右边的第四项w与符号刚好相反。当空气微团作上升运动的时候，w0,而0。当空气微团作下沉运动的时候，w0。P坐标系中的基本方程组1.运动方程在局地直角坐标系，

19、略去较小的科氏力项，则水平运动方程组可简化为转换到P坐标系中重力位势用位势梯度代替水平气压梯度力P坐标系中的基本方程组2.连续方程P坐标系中的基本方程组2.连续方程P坐标系中的基本方程组2.连续方程P坐标系中的基本方程组（1）适用于等压面分析，可直接应用等压面图上的气象资料近似计算各气象要素的时间或空间的偏微商；（2）连续方程形式简单，密度不在其中出现；（3）用静力学方程代替垂直运动方程，从而把对天气变化影响不大的垂直声波过滤掉；（4）由于下边界条件难于处理，所以不适合采用p坐标系中的基本方程组研究地形对大气运动的影响；（5）由于采用了静力近似假定，所以不适合采用p坐标系中的基本方程组来研究小

20、尺度运动的规律。P坐标系中的基本方程组有如下优缺点坐标系的引入主要是为了克服P 坐标系与地形相交的问题，它实际上是P 坐标系的一种变形坐标系，因此这种坐标系与P 坐标系具有相同的物理约束；坐标系中的方程组为了研究地形对大气运动的影响，Phillips 在1957年设计了一种与气压p相联系的(x,y,t)坐标系，简称坐标系。由于坐标系的下边界条件极为简单，便于引入地形的动力作用，所以当今国内外大多采用坐标系的基本方程组进行数值天气预报或大气环流的数值模拟。这就是Phillips最早定义的坐标系。根据上述定义有: 这种坐标把下边界实际地形当成一个常值坐标面。因此不管怎样复杂的地形，大气方程组的下边

21、界条件都很简单。坐标系中的大气运动方程组PT为大气上界，取作常数或者为0；ps为地面气压坐标系定义坐标系中的方程组偏微商和全微商的转换关系偏微商的转换关系式F(x,y,p,t)=F(x,y,(x,y,p,t),t) (1.110)坐标系中的因变量F可以视为自变量p的复合导数对(1.110)式两端对s(s代表x,y,t)求偏微商，应用复合函数的微分法则得到（1.111）对(1.110)式两端对p求偏微商，应用复合函数的微分法则得到偏微商和全微商的转换关系2.全微商的转换关系式静力方程坐标系中的方程组水平运动方程利用静力方程，气压梯度力可以改写成：上式表明 坐标系中的水平气压梯度力是由两项组成的，

22、在地形陡峭的地区，两项的近似计算为： 这两项的数值都很大，但其符号相反，因此在地形陡峭的地区， 坐标系中的水平气压梯度力是两个大值的小差， 难于精确计算。这说明，采用坐标系中使得模式的下边界变得非常简单，但它并没有解决处理地形问题存在的困难，而是把P 坐标系中下边界难于处理的问题转化为水平气压梯度力的精确计算问题。在实际的数值预报中，可以采用静力扣除法或者先在等压面上计算气压梯度力，然后在把它插值到等面上去等方法来处理。坐标系中的方程组连续方程这个连续方程不再是一个诊断方程，它与P坐标系的连续方程相比变得更为复杂。但在实际的数值模式设计中，它却是一个非常有用的方程，不仅可以预报地面的气压倾向，

23、也可以用来诊断各个等 面上的垂直速度。垂直速度方程热力学方程状态方程在实际的数值模拟实践中，还需要把预报方程改写成相应通量形式的方程，这种通量形式的方程易于构造守恒的差分格式，也便于讨论大气中的能量转换关系。坐标系中通量形式的方程通过利用连续方程和动量方程、热量方程、水汽方程，很容易得到。坐标系的下边界条件非常简单，也便于讨论地形对大气运动的影响。但是，前面提到坐标系中的水平运动方程变得相对比较复杂，在地形陡峭的地区，气压梯度力很难精确计算。随着数值天气预报理论研究的进展和技术的进步，这个问题逐步得到改善。尽管坐标系存在一些问题，但它仍然是数值天气预报常用的一种坐标系，为其他追随地形坐标系的建

24、立，提供了非常重要的指导作用。 由于坐标的大气运动基本方程组能方便地包含各种复杂地形的影响并保持下边界条件非常简单，因此在数值天气预报(尤其是各种斜压原始方程模式)中普遍应用。但是在坐标里水平气压梯度力的计算变成了两大项的小差，误差很大。 为了克服这个缺点，目前它要有四类方法：插值法、扣除法、设计精确的差分格式、采用p-混合坐标。目录几种坐标系中的大气基本方程组旋转坐标系中的大气运动基本方程组气候模式的基本方程组大气基本模式方程组的垂直坐标变换气候模式方程组 由于气候系统具有向外源适应的特征，一些在天气尺度模式（中尺度模式）中显得不重要，时间尺度较长的物理过程则必须在气候模式中描述。因此，气候模式需要对气候系统各个子系统中的物理过程进行描述的同时，也要考虑它们之间复杂的相互作用。 早期的气候模式称为大气环流